Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Matriz inversa 01

     

    Calcula la inversa de la siguiente matriz por determinantes:

     

     

     

    Solución:

    Matriz inversa:

     

     

     

    Una matriz A es regular, o sea, tiene inversa si: │M│≠ 0 (no se puede dividir por cero), luego lo primero que debemos hacer es averiguar si el determinante de la matriz M, es diferente de cero.

     

     

     

    Por tanto, la matriz dada tiene inversa.

    Matriz adjunta de M:

     

     

     

    Los elementos de la anterior matriz son los adjuntos de la matriz inicial y sus valores son:

      

    M11 = 0; M12 = –2; M21 = 1; M22 = 3

     

     

    Matriz transpuesta de la adjunta de M:

     

     

    Matriz inversa de M:

     

     

     

     

  • Rango de una matriz 04

     

    Halla el rango de la siguiente matriz:

     

     

     

     

    Solución:

    Como existen elementos no nulos, por ejemplo, a11 = 1, el rango de la matriz es como mínimo 1.

     Si orlamos a este menor una fila y una columna tenemos:  

     

     

     

    lo que nos indica que el rango es al menos 2.

    Si, ahora, orlamos la tercera columna y la tercera fila, obtenemos:

     

     

     

    Como ya no podemos seguir orlando pues no tenemos más filas para orlar con la columna que queda, y el mayor menor diferente de cero es de orden 3, éste será el rango de la matriz dada.

     

     

  • Rango de una matriz 03

     

    Calcula le rango de la matriz A para los distintos valores de t:

     

     

     

    Solución:

    El rango de la matriz  es como máximo 3, ya que no existen suficientes filas para tener un menor de orden 4.

     

     

     

    Si t ¹ 0, el rango de la matriz A es tres.

     

     

    Si t = 0:

        

      

     

     

      El rango de la matriz A es 2. 

     

     

  • Rango de una matriz 02

     

    Calcula por determinantes el rango de la siguiente matriz:

     

     

     

     

    Solución:

    Hallaremos el mayor determinante cuyo valor sea diferente de cero, para lo cual haremos ceros en la primera columna ya que tenemos como pivote el primer elemento de la primera fila. 

     

      El rango de la matriz dada es menor que 4.  

    Ahora estudiaremos los determinantes de orden 3. 

     

     

      Los dos anteriores determinantes son iguales a cero, por tener dos filas proporcionales.

     

     

      

      Por tanto el rango de la matriz dada es igual a 3.   

     

     

  • Rango de una matriz 01

     

    Calcula m y n para que:

     a)     rg (M) = 1, siendo:

      

     b)     rg (N) = 1, siendo:

      

     

    Solución:

    a)     Para que el rango de M sea igual a 1, el mayor menor complementario de M ha de ser igual a 1, por tanto:    

     

     

    b)