Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Cálculo de determinantes 05

     

    Desarrollar el determinante siguiente y decir cuándo se anula.

     

    Solución:

     

    En el segundo paso hemos restado la primera columna multiplicada por d a todas las otras columnas.  En el tercer paso hemos restado a la tercera y a la cuarta filas la segunda. En el sexto paso hemos restado a la cuarta columna la tercera. El determinante final es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.

    Por tanto, el determinante se anula si y sólo si d = 0 o c = d o b = c.

    Para comparar el desarrollo sin factorizar es:

    2dc2b – dcb2 – dc3 – 2cd2b + d2b2 + d2c2

     

     

     

  • Cálculo de determinantes 04

     

    Comprueba la igualdad:

     

     

    Solución:

    Restamos a la segunda y a la tercera columna la primera:

     Ahora se desarrolla por los elementos de la tercera fila:

     

     

     

     

  • Cálculo de determinantes 03

      

    Prueba sin desarrollar que:

     

    es múltiplo de 7.

      

     

    Solución:

    Si sumamos a la tercera columna la segunda multiplicada por 10 más la primera multiplicada por 100, se obtiene el determinante siguiente equivalente al determinante dado.   

    Los elementos de la última columna son divisibles por siete, luego:

    El determinante dado es múltiplo de siete porque cualquier número multiplicado por siete es un múltiplo suyo.

     

     

     

     

  • Propiedades 05

     

    Sea el determinante:

     

    Comprueba que su valor es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea por sus adjuntos correspondientes.

    Solución:

    Un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea cualquiera por sus respectivos adjuntos.

    Primero hallaremos el valor del determinante por Sarrus:

    Ahora averiguaremos el valor del determinante por los adjuntos de la tercera fila, ya que tiene un cero:

     

     

     

     

     

     

  • Propiedades 04

     

    Sea el determinante:

     

     

    Comprueba que si los elementos de una línea son combinación lineal de las otras, es decir, si los elementos de una línea resultan de sumar los elementos de otras líneas paralelas previamente multiplicadas por números reales, el determinante vale cero.

     

    Solución:

    Supongamos que:

     

    Sustituyendo en la primera fila del determinante, se obtiene el siguiente determinante:

     

    El último determinante es nulo por tener una fila con todos sus elementos igual a cero.

    Por tanto, si una columna (o fila) es combinación lineal de otras, el determinante es nulo. Recíprocamente, si un determinante es cero, tiene una fila (o columna) combinación lineal de las demás.