Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Cálculo de determinantes 01

     

    Calcula el determinante de la matriz:

     

    Solución:

    Por la regla de Sarrus:

     

    Otra manera de realizar el cálculo del determinante es añadir las dos primeras filas en la parte inferior del determinante y realizar el producto de las diagonales que posean tres elementos.

     

     

     

     

  • Problemas con matrices 03

     

    Un constructor construye chales de lujo (C. L.), chales adosados (C. A.) y viviendas de protección oficial (V. P. O.). Se sabe que cada C. L., tiene 3 cuartos de baño, 2 aseos y 2 cocinas; cada C. A., tiene 1 cuarto de baño, 1 aseo y una cocina y cada V. P. O., tiene 1 aseo y una cocina. Por otra parte, cada cuarto de baño tiene una ventana grande y pequeña; cada aseo tiene una ventana pequeña y cada cocina tiene 2 grandes y una pequeña.

    a)  Hallar la matriz A que expresa el número de habitaciones (cocinas, cuartos de baño y aseos) en función de cada tipo de vivienda.

    b)  Hallar la matriz B que expresa el número de ventanas grandes y pequeñas en función del tipo de habitáculo.

    c)  Hallar la matriz C que expresa el número de ventanas grandes y pequeñas en función del tipo de vivienda. ¿Puede calcularse C como resultado de una operación matricial entre A y B?

    d)  Si al final del año ha construido 10 CL, 20 CA y 50 VPO, ¿cuántas ventanas grades y pequeñas ha empleado en la construcción?

    e)  Si el número de ventanas grandes y pequeñas se expresa por medio de la matriz D, ¿cómo puede obtenerse ésta a partir de la matriz C?

     

    Solución:

     

     

     a)

     

     b)

     

    c) 

     

     

    Por lo tanto, sí se puede calcular la matriz C como producto de matrices A y B. 

     d)

    Ventanas grandes: 10·7 + 20·3 + 50·2 = 230

    Ventanas pequeñas: 10·7 + 20·3 + 50·2 = 230

     e)

     

     

     

     

     

     

     

     

  • Problemas con matrices 02

     

    Un constructor hace una urbanización con tres tipos de viviendas: S (sencillas), N (normales) y L (lujo). Cada vivienda tipo S tiene una ventana grande, 7 medianas y 1 pequeña. Cada vivienda de tipo N tiene 2 ventanas grandes, 9 medianas y 2 pequeñas. Y cada vivienda de tipo L tiene 4 ventanas grandes, 10 medianas y 3 pequeñas.

    Cada ventana grande tiene 4 cristales y 8 bisagras; cada ventana mediana tiene 2 cristales y 4 bisagras y cada ventana pequeña tiene 1 cristal y 2 bisagras.

    a)  Escribe una matriz que describa el número  y tamaño de las ventanas en cada tipo de vivienda y otra matriz que exprese el número de cristales y el número de bisagras en cada tipo de ventana.

    b)  Calcula una matriz que exprese el número de cristales y el número de bisagras en cada tipo de ventana.

     

    Solución:

     

     

    a)

     

     

    b)  Se puede calcular la matriz (C), número de cristales y de bisagras necesario de cada tipo de vivienda, como producto de matrices (A) y (B). 

     

     

     

     

     

  • Problemas con matrices 01

     

    Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1,2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1,3 horas de administración.

    a)  Representar la información en dos matrices.

    b)  Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.

     

     

    Solución:

     

     

    a)  Matriz modelo–terminación

     

     

    Matriz horas–terminación:

     

     

    b)  Matriz horas–modelo:

     

     

     

    En el modelo A se invierte 17650 horas de taller y 705 horas de administración y en el modelo B se invierte 11490 horas de taller y 459 horas de administración.

     

     

     

  • Potencia n-ésima de una matriz 03

     

    Halla An siendo:

     

     

    Demuéstralo.

     

     

    Solución:

     

     

    De todo lo anterior podemos observar que todas las matrices halladas son iguales excepto el elemento situado en la fila uno columna 3, el cual toma los siguientes valores: 5, 10, 15, 20, …, cosa que nos hace pensar que su término general es 5n (ver término general de una sucesión), luego:

     

     

    Veamos si esto es cierto por el método de inducción completa, es decir, si podemos verificar que la expresión hallada se cumple para n+ 1, entonces será válida para cualquier n.

    Lo que debemos comprobar es que:

     

     

     

     

    Luego es cierto.