Ejercicios resueltos de Matemáticas
Bullet (black) RSS icon



  • Rango de una matriz 02

     

    Halla los valores de k para que la matriz:

     

     

    a)  No tenga inversa.

    b)  Tenga rango 2

    c)  Tenga rango 3.

     

    Solución:

    Antes de contestar a los diferentes apartados hallaremos un matriz triangular equivalente a la matriz dada.

     

     

    A las filas 2ª, 3ª y 4ª les restamos la 1ª.

     

     

    A la 4ª fila le restamos la 3ª y a la 3ª le restamos la 2ª multiplicada por (k+4)/3.

     

     

    A la tercera se le suma la cuarta

     

     

    A la 4ª fila le restamos la 3ª multiplicada por k.

     

     

    Ahora estudiaremos el rango de la matriz hallada para los diferentes valores de k.

     

     

    Si k = 0 o k = 3, el rango de la matriz es menor de 4.

     Si k = 0 la matriz queda:

     

     

    Dividimos la 2ª fila por –3 y la intercambiamos por la primera.

     

     

    A la 2ª fila le restamos la primera multiplicada por 4.

     

     

    A la 3ª fila le sumamos la 2ª.

     

     

    Rango 3.

    Si k = 3 la matriz queda:

     

     

    Rango 3

    Conclusión:

    a)  Si k = 0 o k = 3, la matriz no tiene inversa.

    b)  La matriz nunca tiene rango 2

    c)  Si k = 0 o k = 3, el rango de la matriz es 3.

     

     

     

     

  • Rango de una matriz 01

     

    Calcula el rango de las matrices:

     

     

    Solución:

    El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes, es decir, que sus elementos no son todos nulos.

     

     

    El rango de la matriz A es 2. Sus dos filas son linealmente independientes.

     

     

    El rango de la matriz B es uno, ya que únicamente tiene una fila linealmente independiente.

     

     

     

     

  • Sistemas de ecuaciones con matrices 02

     

    Halla las matrices X e Y sabiendo que:

     

     

    Solución:

    Multiplicamos por 2 los dos miembros de la primera ecuación y por 3 los de la segunda ecuación, con el fin de eliminar la incógnita Y (también podíamos haberla multiplicado por 3 la primera y por –2 la segunda para eliminar la incógnita X) y después sumamos ambas ecuaciones.

     

     

     

    Sustituyendo en la segunda ecuación tenemos que:

     

     

     

     

     

     

  • Sistemas de ecuaciones con matrices 01

     

    Hallar X e Y sabiendo que:

     

     

    Solución:

    Multiplicamos los dos miembros de la primera ecuación por –3 con el fin de eliminar la incógnita Y (también podíamos haberla multiplicado por –2 y de esta forma eliminar la incógnita X) y después sumamos ambas ecuaciones.

     

     

     

    Sustituyendo en la primera ecuación:

     

     

     

     

     

  • Combinación lineal de matrices 02

     

    Dadas las matrices:

     

     

    escribe las siguientes matrices como combinación lineal de ellas:

     

     

     

    Solución:

    Para que una matriz X se pueda expresar como combinación línea (C. L.) de las matrices, A1, A2 … An, se debe verificar que:

    a1·A1 + a2·A2 +….+ an·An = X

     

    siendo: a1, a2an números reales.

     

    a)

    a·A + b·B + g·C + λ·D = M

     

     

    1 – 2 + λ = –1 λ = 0

    2 A – B + 2 C = M

    b)

    a·A + b·B + g·C + λ·D = N

     

     

    –1 – 5 + λ = 0 λ = 6

    –B + 5 C + 6 D = N

    c)

     

     

    6 D = P

    d)

     

     

    –4 – 1 + λ = 1 λ = 6

    –4 B + C + 6 D = Q