Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Tipos de matrices 03

     

    Sean las matrices:

     

     

    a)  ¿Qué dimensiones tienen M y N?

    b)  ¿Son iguales?

    c)  ¿Cuánto valen los elementos a22 y a31?

     

    Solución:

    a)  La matriz M es de dimensión 3×2 y N es de dimensión 2×2.

    b)  Las matrices M y N no son iguales porque no son del mismo orden.

    c)  El elemento a22 (fila dos columna dos) de ambas matrices es –3. En M, el elemento a31 (fila tres columna uno) es igual a 0. No existe en la matriz N.

     

     

     

  • Tipos de matrices 02

     

    Halla las matrices opuesta y transpuesta de la matriz:

     

     

     

    Solución:

    La matriz opuesta de A se obtiene cambiando de signo todos elementos de A:

     

     

    La matriz transpuesta de A se obtiene cambiando filas por columnas:

     

     

     

     

  • Tipos de matrices 01

     

    Nombra y da el orden o dimensión de las siguientes matrices:

     

     

    Solución:

    a)    Matriz cuadrada (tiene el mismo número de filas y columnas) de orden o dimensión 2 (dos filas y dos columnas).

    b)    Matriz fila de orden 1×4 (una fila y cuatro columnas).

    c)    Matriz columna de orden 3×1 (tres filas y una columna).

    d)    Matriz nula (todos sus elementos son ceros) de orden 2×3 (dos filas y tres columnas).

    e)    Matriz diagonal (los elementos de la diagonal principal son diferentes de cero y diferentes entre sí) de orden 3.

    f)    Matriz escalar (los elementos de la diagonal principal son diferentes de cero e iguales) de orden 3.

    g)    Matriz unitaria (los elementos de la diagonal principal son unos) de orden 3.

    h)    Matriz simétrica (los elementos a ambos lados de la diagonal principal son iguales) de orden 3.

    i)     Matriz triangular (los elementos que se encuentran a un lado de la diagonal principal son ceros) de orden 3.

     

     

  • Discusión y resolución de sistemas homogéneos. Método de Gauss 04

     

    Sea el siguiente sistema:

     

     

    Halla el valor de k para que el sistema tenga soluciones diferentes de la trivial y resuélvelo en este caso.

     

     

    Solución:

     

     

    Sistema escalonado equivalente al inicial:

     

     

    Si k + 2 = 0, es decir, si k = –2, la última ecuación es una identidad y se puede suprimir quedando el sistema de la forma siguiente:

     

     

    El anterior sistema posee menos ecuaciones que incógnitas, luego se trata de un sistema compatible indeterminado.

    z = λΠy = 4λ

    x + 4λ – 6λ = 0 x = 2λ   

     

    Si k ¹ –2, el sistema es compatible determinado y únicamente tiene la solución trivial, o sea: x = y = z = 0.

     

     

     

     

     

  • Discusión y resolución de sistemas homogéneos. Método de Gauss 03

     

    Discute según los valores del parámetro k el siguiente sistema y resuélvelo en los casos que procedan:

     

     

     

     

    Solución:

     

     

    Sistema escalonado equivalente al inicial:

     

     

    Si k – 3 = 0, es decir, si k = 3, la última ecuación es una identidad y se puede suprimir quedando el sistema de la forma siguiente:

     

     

    El anterior sistema posee menos ecuaciones que incógnitas, luego se trata de un sistema compatible indeterminado.

    y = λΠz = 3λ

    x + 3λ – λ = 0 x = –2λ

       

    Si k ¹ 3, el sistema es compatible determinado y únicamente tiene la solución trivial, o sea: x = y = z = 0.