Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Discusión y resolución de sistemas homogéneos. Método de Gauss 01

     

    Estudia según los valores de b el sistema y resuélvelo en los casos que procedan:

     

     

     

    Solución:

     Para que el sistema sea compatible: b + 4 = 0, por tanto b = –4, pero si b ¹ –4 el sistema es incompatible.

    Si b = –4, tenemos el siguiente sistema escalonado equivalente al inicial:

     

     

    Se trata de un sistema homogéneo por lo que es compatible determinado cuya única la solución es la trivial, es decir: x = y = 0.

    Si eliminamos la última ecuación se obtiene un sistema compatible indeterminado con infinitas soluciones:

    y = λΠx = 5λ

     

     

     

  • Resolución de sistemas homogéneos. Método de Gauss 02

     

    Resuelve el siguiente sistema:

     

     

     

    Solución:

    Cuando los términos independientes de un sistema son ceros, el sistema se llama homogéneo y siempre tiene solución, en este caso: x = y = z = 0. A esta solución se le llama trivial.

    En los sistemas homogéneos, no hace falta poner la columna de los ceros.

     

     

     

    Sistema escalonado equivalente al inicial:

     

     

    2y = 5z y = (5/2)z

     

    Si damos a z un valor 2λ, λÎÂ, se tiene que: y = 5λ y sustituyendo en la primera ecuación tendremos:

    x – 5λ + 2λ = 0

     

    x – 3λ = 0

     

    x = 3λ

     

    Se trata de un sistema homogéneo compatible indeterminado, ya que tiene infinitas soluciones debido a los valores que puede tomar el parámetro λ.

     

     

     

  • Resolución de sistemas homogéneos. Método de Gauss 01

     

    Resuelve el siguiente sistema:

     

     

    Solución:

    Cuando los términos independientes de un sistema son ceros, el sistema se llama homogéneo y siempre tiene solución, en este caso: x = y = z = t = 0. A esta solución se le llama trivial.

    En los sistemas homogéneos, no hace falta poner la columna de los ceros.

     

     

    Ahora pasaremos la cuarta columna a la segunda posición:

     

     

    Sistema escalonado equivalente al inicial:

     

     

    Si damos a z un valor λÎÂ, se tiene que: y = –2λ y sustituyendo en la segunda ecuación tendremos:

    t + 3(–2λ) – (λ) = 0

     

    t – 6λ – λ = 0

     

    t – 7λ = 0

     

    t = 7λ

     

    Ahora se sustituye en la primera ecuación:

     

    x + (–2λ) – (λ) = 0

     

    x – 2λ – λ = 0

     

    x – 3λ = 0

     

    x = 3λ

     

    El sistema es compatible indeterminado ya que tiene infinitas soluciones debido a los valores que puede tomar el parámetro λ.

     

     

     

  • Eliminación de parámetros por el método de Gauss 03

     

    Elimina los parámetros de las relaciones siguientes:

     

     

     

    Solución:

     

     

    Intercambiando las filas y columnas segunda y tercera se obtiene:

     

     

    Como el número de ecuaciones que nos ha quedado es igual al número de incógnitas, no se pueden eliminar los parámetros. (El sistema es compatible determinado)

     

     

     

  • Eliminación de parámetros por el método de Gauss 02

     

    Elimina las incógnitas x e y del siguiente sistema:

     

     

     

    Solución:

    Primero pasaremos las incógnitas que no deseamos eliminar al segundo miembro:

     

     

    Ahora multiplicamos la primera fila por –2 y la sumamos a segunda fila. Después a la tercera fila le sumamos la primera.

     

     

    Intercambiando la segunda y la tercera fila, se obtiene:

     

     

    Para que el sistema sea compatible se ha de cumplir que:

     

    –30 + 16z + 14t = 0 8z + 7t – 15 = 0