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Discusión y resolución de sistemas homogéneos. Método de Gauss 01
Estudia según los valores de b el sistema y resuélvelo en los casos que procedan:
Solución:
Para que el sistema sea compatible: b + 4 = 0, por tanto b = –4, pero si b ¹ –4 el sistema es incompatible.
Si b = –4, tenemos el siguiente sistema escalonado equivalente al inicial:
Se trata de un sistema homogéneo por lo que es compatible determinado cuya única la solución es la trivial, es decir: x = y = 0.
Si eliminamos la última ecuación se obtiene un sistema compatible indeterminado con infinitas soluciones:
y = λΠ→ x = 5λ
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Resolución de sistemas homogéneos. Método de Gauss 02
Resuelve el siguiente sistema:
Solución:
Cuando los términos independientes de un sistema son ceros, el sistema se llama homogéneo y siempre tiene solución, en este caso: x = y = z = 0. A esta solución se le llama trivial.
En los sistemas homogéneos, no hace falta poner la columna de los ceros.
Sistema escalonado equivalente al inicial:
2y = 5z → y = (5/2)z
Si damos a z un valor 2λ, λÎÂ, se tiene que: y = 5λ y sustituyendo en la primera ecuación tendremos:
x – 5λ + 2λ = 0
x – 3λ = 0
x = 3λ
Se trata de un sistema homogéneo compatible indeterminado, ya que tiene infinitas soluciones debido a los valores que puede tomar el parámetro λ.
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Resolución de sistemas homogéneos. Método de Gauss 01
Resuelve el siguiente sistema:
Solución:
Cuando los términos independientes de un sistema son ceros, el sistema se llama homogéneo y siempre tiene solución, en este caso: x = y = z = t = 0. A esta solución se le llama trivial.
En los sistemas homogéneos, no hace falta poner la columna de los ceros.
Ahora pasaremos la cuarta columna a la segunda posición:
Sistema escalonado equivalente al inicial:
Si damos a z un valor λÎÂ, se tiene que: y = –2λ y sustituyendo en la segunda ecuación tendremos:
t + 3(–2λ) – (λ) = 0
t – 6λ – λ = 0
t – 7λ = 0
t = 7λ
Ahora se sustituye en la primera ecuación:
x + (–2λ) – (λ) = 0
x – 2λ – λ = 0
x – 3λ = 0
x = 3λ
El sistema es compatible indeterminado ya que tiene infinitas soluciones debido a los valores que puede tomar el parámetro λ.
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Eliminación de parámetros por el método de Gauss 03
Elimina los parámetros de las relaciones siguientes:
Solución:
Intercambiando las filas y columnas segunda y tercera se obtiene:
Como el número de ecuaciones que nos ha quedado es igual al número de incógnitas, no se pueden eliminar los parámetros. (El sistema es compatible determinado)
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Eliminación de parámetros por el método de Gauss 02
Elimina las incógnitas x e y del siguiente sistema:
Solución:
Primero pasaremos las incógnitas que no deseamos eliminar al segundo miembro:
Ahora multiplicamos la primera fila por –2 y la sumamos a segunda fila. Después a la tercera fila le sumamos la primera.
Intercambiando la segunda y la tercera fila, se obtiene:
Para que el sistema sea compatible se ha de cumplir que:
–30 + 16z + 14t = 0 → 8z + 7t – 15 = 0
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