Discusión y resolución de sistemas homogéneos. Método de Gauss 01

Estudia según los valores de b el sistema y resuélvelo en los casos que procedan:

Solución:

 Para que el sistema sea compatible: b + 4 = 0, por tanto b = –4, pero si b ¹ –4 el sistema es incompatible.

Si b = –4, tenemos el siguiente sistema escalonado equivalente al inicial:

Se trata de un sistema homogéneo por lo que es compatible determinado cuya única la solución es la trivial, es decir: x = y = 0.

Si eliminamos la última ecuación se obtiene un sistema compatible indeterminado con infinitas soluciones:

y = λΠ→ x = 5λ

Resolución de sistemas homogéneos. Método de Gauss 02

Resuelve el siguiente sistema:

Solución:

Cuando los términos independientes de un sistema son ceros, el sistema se llama homogéneo y siempre tiene solución, en este caso: x = y = z = 0. A esta solución se le llama trivial.

En los sistemas homogéneos, no hace falta poner la columna de los ceros.

Sistema escalonado equivalente al inicial:

2y = 5z → y = (5/2)z

Si damos a z un valor 2λ, λÎÂ, se tiene que: y = 5λ y sustituyendo en la primera ecuación tendremos:

x – 5λ + 2λ = 0

x – 3λ = 0

x = 3λ

Se trata de un sistema homogéneo compatible indeterminado, ya que tiene infinitas soluciones debido a los valores que puede tomar el parámetro λ.

Resolución de sistemas homogéneos. Método de Gauss 01

Resuelve el siguiente sistema:

Solución:

Cuando los términos independientes de un sistema son ceros, el sistema se llama homogéneo y siempre tiene solución, en este caso: x = y = z = t = 0. A esta solución se le llama trivial.

En los sistemas homogéneos, no hace falta poner la columna de los ceros.

Ahora pasaremos la cuarta columna a la segunda posición:

Sistema escalonado equivalente al inicial:

Si damos a z un valor λÎÂ, se tiene que: y = –2λ y sustituyendo en la segunda ecuación tendremos:

t + 3(–2λ) – (λ) = 0

t – 6λ – λ = 0

t – 7λ = 0

t = 7λ

Ahora se sustituye en la primera ecuación:

x + (–2λ) – (λ) = 0

x – 2λ – λ = 0

x – 3λ = 0

x = 3λ

El sistema es compatible indeterminado ya que tiene infinitas soluciones debido a los valores que puede tomar el parámetro λ.

Eliminación de parámetros por el método de Gauss 03

Elimina los parámetros de las relaciones siguientes:

Solución:

Intercambiando las filas y columnas segunda y tercera se obtiene:

Como el número de ecuaciones que nos ha quedado es igual al número de incógnitas, no se pueden eliminar los parámetros. (El sistema es compatible determinado)

Eliminación de parámetros por el método de Gauss 02

Elimina las incógnitas x e y del siguiente sistema:

Solución:

Primero pasaremos las incógnitas que no deseamos eliminar al segundo miembro:

Ahora multiplicamos la primera fila por –2 y la sumamos a segunda fila. Después a la tercera fila le sumamos la primera.

Intercambiando la segunda y la tercera fila, se obtiene:

Para que el sistema sea compatible se ha de cumplir que:

–30 + 16z + 14t = 0 → 8z + 7t – 15 = 0