Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Discusión de sistemas no homogéneos. Método de Gauss 01

     

    Discute por Gauss según el parámetro a:

     

     

    Solución:

     

     

    Veamos para qué valores de a se anula –a2 – a + 2:

     

     

    Si a ¹ –2 y a ¹ 1, el sistema es compatible determinado.         

    Si a = –2, tenemos que los términos de la última fila son todos nulos, es decir:

     

     

    El sistema es compatible indeterminado.

    Si a = 1, los términos de la última y penúltima fila son nulos, excepto los términos de la última columna, o sea:

     

     

    El sistema es incompatible.

     

     

  • Resolución de sistemas no homogéneos. Método de Gauss 07

     

    Resolver el sistema adjunto, por los métodos de Gauss y Gauss–Jordan:

     

     

    Solución:

    Por Gauss:

     

     

    Sistema escalonado equivalente al dado:

     

     

    Sistema compatible indeterminado.

    Los pivotes usados están en las columnas x, z, t, por lo que éstas serán las incógnitas principales.

     

     

    Por Gauss-Jordan:

    Se parte de la última matriz del método de Gauss, y como tiene tres filas se ha de conseguir una matriz de orden tres unitaria.

     

     

     

     

  • Resolución de sistemas no homogéneos. Método de Gauss 06

     

    a)    Resuelve  por Gauss el sistema:

     

     

    b)    Añade una tercera ecuación, para que sea indeterminado.

    c)    Añade una tercera ecuación, para que sea incompatible.

    d)    Interpreta geométricamente lo que has hecho en cada caso.

     

    Solución:

    a)

     

    Sistema escalonado equivalente al dado:

     

     

     

    Si damos a z un valor real λ, se tiene que: x = 6 + λ y sustituyendo en la primera ecuación tendremos:

     

     

    El sistema es compatible indeterminado ya que tiene infinitas soluciones debido a los valores que puede tomar el parámetro λ.

    b)  Entre las diferentes formas que se puede resolver este problema, una de ella es añadir al sistema dado el resultado que se obtiene al sumar ambas ecuaciones.

     

     

    c)  Se hace lo mismo que en el apartado anterior, pero cambiando el valor del término independiente.

     

     

    d)  En el primer caso son dos planos que se cortan en una recta (las infinitas soluciones son los infinitos puntos que tiene una recta).

    En el segundo caso son tres planos que se cortan en una recta.

    En el tercer caso los planos se cortan, dos a dos, en una recta.