Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Discusión y resolución de sistemas no homogéneos. Método de Gauss 03

     

    Estudia según los valores del parámetro l y resuelve en los casos que proceda.

     

     

    Solución:

     

     

    Para tener como pivote el 1, vamos poner como primera fila la última.

     

     

    El sistema es siempre incompatible.

     

     

     

  • Discusión y resolución de sistemas no homogéneos. Método de Gauss 02

     

    Estudia, según los valores del parámetro a, el siguiente sistema de ecuaciones lineales y resuelve en los casos que proceda.

     

     

    Solución:

     

     

    Ahora tenemos que para a = 3 se anulan a la vez el tercer y cuarto elemento de la diagonal principal y para todos los demás valores de a, todos los elementos de la diagonal principal son no nulos.

    Por tanto, si a Î Â – {3} el sistema es incompatible.

    Si a = 3, las dos últimas filas se anulan y el sistema queda reducido a:

     

     

    así pues COMPATIBLE INDETERMINADO con dim S = 2.

     

     

    Si:

     

     

     

     

  • Discusión y resolución de sistemas no homogéneos. Método de Gauss 01

     

    Sea el sistema de ecuaciones lineales

     

     

    dependiente del parámetro l.

    Estudia según los valores del parámetro l y resolver en los casos  que proceda.

     

     

    Solución:

     

     

    Si λ2 – 5 ¹ 0, es decir si λ Î Â – {0, 5}  el sistema es compatible determinado y la solución es:

     

     

    Si λ = 0 el sistema queda:

     

     

    es decir compatible indeterminado y la solución es:

     

     

    Si λ = 5 el sistema queda:

     

     

    es decir incompatible.

     

     

     

  • Discusión de sistemas no homogéneos. Método de Gauss 03

     

    Discutir el sistema siguiente, utilizando el método de Gauss, según el valor de l:

     

     

     

    Solución:

     

    Para tener como pivote el 1, vamos intercambiar la primera columna y la tercera.

     

     

    Sistema equivalente al dado:

     

     

    Veamos cuando se anula el denominador de la fracción:

     

     

    Ahora debemos ver si alguna de las anteriores soluciones anula, también, al numerador de la fracción.

     

    Si λ = 0, entonces λ4 + 3λ3 – 2λ2 – 6λ = 0

    Si λ = –3, entonces λ4 + 3λ3 – 2λ2 – 6λ = 81 – 81 – 18 + 18 = 0

    Por tanto:

    Para λ = 0, z + y + x = 0, el sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad.

    Para λ = –3:

     

     

    el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

    Si λ ¹ 0 y λ ¹ –3, el sistema es compatible determinado.

     

     

     

  • Discusión de sistemas no homogéneos. Método de Gauss 02

     

    Discutir según los valores de a y b el siguiente sistema:

     

     

     

    Solución:

     

     

    Vamos a cambiar el orden de las filas para tener como pivote el 1 de la segunda fila.

     

     

    Veamos para qué valores de a y de b los elementos de la tercera fila se hacen cero.

     

     

    Si a = ½ y b ¹ 1, el sistema es incompatible y por lo tanto carece de solución.

    Si a = ½ y b = 1 el sistema es compatible doblemente indeterminado.

    El sistema reducido sería el siguiente:

    x + y + z = 2 x = 2 – y – z

    Si damos a z y a y los valores λ, μ Î Â respectivamente tendremos:

    x = 2 – μ – λ

    El sistema es compatible doblemente indeterminado ya que tiene infinitas soluciones debido a los valores que pueden tomar los parámetros λ y μ.

    Estudiemos, ahora, el otro elemento de la diagonal principal.

     

     

    Si a = 0:

     

     

    y para todo valor de b perteneciente a los número reales el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad (solamente depende de y).

    Si a ¹ 0 y a ¹ ½ y b ¹ 1 el sistema es compatible determinado.

    Si a ¹ 0 y a ¹ ½ y b = 1:

     

     

    el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad (únicamente depende de y)