Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Resolución de sistemas no homogéneos. Método de Gauss 05

     

    Resolver el sistema utilizando el método de Gauss:

     

     

    Solución:

     

    Sistema escalonado equivalente al inicial:

     

     

    La tercera ecuación no se satisface para ningún valor real de z, luego este sistema carece de solución, por tanto es incompatible.

     

     

  • Resolución de sistemas no homogéneos. Método de Gauss 04

     

    Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones empleando el método de Gauss:

     

     

     

    Solución:

    Para que un sistema de n +1 ecuaciones lineales con n incógnitas sea compatible, es condición necesaria que sean ceros todos los elementos de la última fila (una fila tiene que ser combinación lineal de las restantes).

     

     

    Sistema escalonado equivalente al dado:

     

    Si damos a y un valor real λ, se tiene que:

    z = 1 – 2λ

    Sustituyendo en la primera ecuación tendremos que:

    x – 3λ – (1 – 2λ) = –1 x – 3λ – 1 + 2λ = –1

    x – λ – 1 = –1 x = λ

    El sistema es compatible indeterminado, ya que posee infinitas soluciones debido a los valores que puede tomar el parámetro λ.

    La segunda y la tercera ecuaciones del sistema inicial son combinación lineal de las anteriores.

     

     

     

     

  • Resolución de sistemas no homogéneos. Método de Gauss 03

     

    Resolver por el método de Gauss el  siguiente sistema:

     

     

    Solución:

     

    De lo que se trata es de hallar un sistema escalonado equivalente al inicial. Con el fin de facilitar el trabajo, debemos simplificar la ecuación que sea posible, y podemos alterar el orden de las ecuaciones o el de las incógnitas.

     

     

    Sistema escalonado equivalente al dado:

     

     

    El sistema es compatible determinado ya que tiene una única solución:

    x = 1, y = –2, z = 3 

     

     

  • Resolución de sistemas no homogéneos. Método de Gauss 02

     

    Resolver por Gauss el sistema:

     

     

     

    Solución:

     

    Tomaremos la segunda ecuación y la multiplicaremos por –1 y el resultado se lo sumaremos a la primera ecuación:

     

     

    El siguiente paso es sumar la primera ecuación y la tercera:

     

     

    Ahora, de las dos última halladas, se multiplica por –2 la primera y el resultado se suma a la segunda:

     

     

    Finalmente, hemos conseguido el siguiente sistema escalonado, equivalente al dado, el cual resolveremos:

     

     

    Las soluciones son: x = 1, y = 1, z = –1.

     

     

     

  • Resolución de sistemas no homogénos. Método de Gauss 01

     

    Resuelve, utilizando el método de Gauss, el sistema siguiente:

     

    x + 3y – z = 2

    2x + 4y + 4z = 20

    –x        + 2z = 4

     

    Solución:

     

    Lo que se pretende con este método es conseguir un sistema escalonado, luego anularemos los coeficientes de x en la segunda y tercera ecuaciones, para lo cual, primero, dividiremos por –2 la segunda ecuación y sumaremos el resultado a la primera.

     

         x + 3y – z = 2 

        –x – 2y – 2z = –10

                y – 3z = –8

     

    Ahora tenemos el siguiente sistema, equivalente al dado.

     

    x + 3y – z = 2

              y – 3z = –8

    –x       + 2z = 4

     

    Para eliminar la tercera ecuación sumaremos ésta, con la primera.

     

        x + 3y – z = 2

       –x       + 2z = 4

               3y +  z = 6

     

    Hemos obtenido el siguiente sistema, equivalente a los dos primeros, pero sin que aparezca la incógnita x en ninguna de las dos últimas ecuaciones:

     

    x + 3y – z = 2

              y – 3z = –8

            3y + z = 6

     

    Ahora basta con eliminar una de las incógnitas de la tercera ecuación, por ejemplo y, para lo cual, multiplicaremos la segunda ecuación por –3 y el resultado se lo sumaremos a la tercera.

        –3y + 9z = 24

       3y  +  z = 6

                10z = 30

     

    De esta forma hemos obtenido el siguiente sistema equivalente a los anteriores:

     

    x + 3y – z = 2

              y – 3z = –8

                  10z = 30

     

    De la tercera ecuación resulta z = 3. Sustituyendo en la segunda ecuación hallaremos el valor de y:

    y – 9 = –8 y = 1

     

    Sustituyendo, en la primera ecuación, los valores encontrados de z e y averiguaremos el de x.

    x + 3 – 3 = 2 x = 2