Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Binomio de Newton 02

     

    Desarrolla:

     

     

     

    Solución:

     

     

    Se puede observar que cuando se trata del desarrollo de una diferencia los signos + y – se van alternando.

     

     

     

  • Binomio de Newton 01

     

    Desarrolla y simplifica:

     

    Solución:

     

     

    Se puede observar que en el desarrollo del binomio, el exponente del primer término empieza por 4 (exponente del binomio) y sigue con: 3, 2, 1 y 0; mientras que el segundo término empieza por 0 y continua con: 1, 2, 3 y 4 (uno va en orden descendente y el otro en orden ascendente).

     

     

     

  • Operaciones con números complejos en forma trigonométrica 03

     

    Si:

     

    es vértice de un hexágono centrado en el origen de coordenadas, halla el resto de los vértices.

     

     

    Solución:

     

     

     

    Sea:

     

     

    Los seis vértices son las soluciones de la raíz sexta de z, siendo z1 una solución.

     

     

    Los vértices del hexágono se encuentran sobre una circunferencia de radio 2 y los respectivos argumentos aumentan o disminuyen 60º, es decir: 330º, 270º, 210º, 150º, 90º y 30º; luego las raíces son:

     

     

     

     

     

     

  • Operaciones con números complejos en forma trigonométrica 02

     

    Calcula:

     

    dando el resultado en forma binómica.

     

     

    Solución:

    a)  Primero pasaremos el número complejo z = –1 – i a forma polar, para lo cual hallaremos su módulo y su argumento, realizando, previamente su representación gráfica:

     

     Módulo de z:

     

     

    Argumento de z:

     

    Según la representación gráfica de z:

     

     

    Forma polar de z:

     

     

    Ahora lo pasaremos a forma trigonométrica:

     

    Como: 1125º = 3·360º + 45º,entonces cos 1125º = cos 45º y sen 1125º = sen 45º, por tanto:

     

    b)  Primero pasaremos el número complejo:

     

    a forma polar, para lo cual, primero, haremos su representación gráfica.

     

     

     

    Módulo de z:

     

     

     

    Argumento de z:

     

     

     

    Al ser positivo el numerador (seno) y negativo el denominador (coseno) el ángulo se encuentra en el segundo cuadrante, como se puede ver en la representación gráfica.

     

    Forma polar de z:

     

     

     

     

     

  • Operaciones con números complejos en forma trigonométrica 01

     

    El afijo de un número complejo viene dado por el punto P(–3, 3). Expresa dicho número complejo en las siguientes formas: cartesiana, binómica, gráfica, polar y trigonométrica. Comprobar que el resultado final es igual al expresado en forma binómica.

     

    Solución:

    Forma cartesiana:

     

    z = (–3, 3)

     

    Forma binómica:

     

    z = –3 + 3i

     

    Forma gráfica:

     

     

     

    Forma polar:

     

    Módulo:

     

     

     

    Argumento:

     

     

     

    Forma trigonométrica:

     

     

     

    Comprobación: