Operaciones con números complejos en forma polar 02

Hallar:

Solución:

Para realizar este ejercicio, primero consideraremos el número complejo z = 0 – 8i y hallaremos su módulo y argumento, para, después, pasarlo a forma polar.

Representación gráfica de z:

Según la anterior figura, el módulo de z es r = 8 y el argumento α = 270º.

Forma polar de z:

z = 8_270º

Por tanto:

Operaciones con números complejos en forma polar 01

Se dan los números complejos:

Calcula: z₁·z₂.

Solución:

El producto de dos números complejos, en forma polar, es otro número complejo cuyo módulo es el producto de los módulos de los factores y argumento la suma de los argumentos de los factores.

Por tanto lo que primero debemos hacer es pasar a forma polar z₂.

Módulo de z₂:

Argumento de z₂:

Forma polar de z₂:

z₂ = 2_330º

Producto:

z₁·z₂ = 8_120º·2_330º = (8·2)_120º+330º = 16_450º = 16_90º

Parte real y parte imaginaria de un número complejo 03

Calcula b para que el producto (3 – 6i)·(4 + bi) sea un número real.

Solución:

 (3 – 6i)·(4 + bi) = 12 + 3bi – 24i – 6bi² = 12 + 3bi – 24i – 6b·(-1) =

= 12 + 3bi – 24i + 6b = (12 + 6b) + (3b – 24) i

Un número complejo es real cuando su parte imaginaria es igual a cero, por tanto:

3b – 24 = 0 → 3b = 24 → b = 24/3 → b = 8

Parte real y parte imaginaria de un número complejo 02

Calcula el valor de k para que:

cumpla que:

a)  sea un complejo imaginario puro

b)  tenga un argumento de 135º.

Solución:

Primero resolveremos el cociente.

a)  Para que un número complejo sea un imaginario puro su parte real ha de ser igual a cero, por tanto:

b)  El argumento es el igual al arco tangente de la parte imaginaria dividida por la parte real, luego: 

Parte real y parte imaginaria de un número complejo 01

Calcula el valor de m para que el producto (3 – 6i)·(2 + mi) sea:

a)  un complejo imaginario puro

b)  un número real.

Solución:

Primero resolveremos el producto.

(3 – 6i)·(2 + mi) = 6 + 3mi – 12i – 6mi² = 6 + 3mi – 12i – 6m·(-1) =

= 6 + 3mi – 12i + 6m = (6 + 6m) + (3m – 12) i

a)  Para que un número complejo sea un imaginario puro su parte real ha de ser igual a cero, por tanto:

6 + 6m = 0 → 6m = –6 → m = –6/6 → m = –1 

b)  Para que un número complejo sea un número real la parte imaginaria ha de ser igual a cero, luego:

3m – 12 = 0 → 3m = 12 → m =12/3 → m = 4