Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Operaciones con números complejos en forma polar 02

     

    Hallar:

     

     

    Solución:

     

    Para realizar este ejercicio, primero consideraremos el número complejo z = 0 – 8i y hallaremos su módulo y argumento, para, después, pasarlo a forma polar.

     

    Representación gráfica de z:

     

     

    Según la anterior figura, el módulo de z es r = 8 y el argumento α = 270º.

     

    Forma polar de z:

     

    z = 8270º

     

    Por tanto:

     

     

     

     

     

  • Operaciones con números complejos en forma polar 01

     

    Se dan los números complejos:

     

    Calcula: z1·z2.

     

    Solución:

    El producto de dos números complejos, en forma polar, es otro número complejo cuyo módulo es el producto de los módulos de los factores y argumento la suma de los argumentos de los factores.

    Por tanto lo que primero debemos hacer es pasar a forma polar z2.

     

    Módulo de z2:

     

    Argumento de z2:

     

    Forma polar de z2:

    z2 = 2330º

    Producto:

    z1·z2 = 8120º·2330º = (8·2)120º+330º = 16450º = 1690º

     

     

  • Parte real y parte imaginaria de un número complejo 03

     

    Calcula b para que el producto (3 – 6i)·(4 + bi) sea un número real.

     

     

    Solución:

     

     (3 – 6i)·(4 + bi) = 12 + 3bi – 24i – 6bi2 = 12 + 3bi – 24i – 6b·(-1) =

     

    = 12 + 3bi – 24i + 6b = (12 + 6b) + (3b – 24) i

     

    Un número complejo es real cuando su parte imaginaria es igual a cero, por tanto:

     

    3b – 24 = 0 3b = 24 b = 24/3 b = 8

     

     

  • Parte real y parte imaginaria de un número complejo 02

     

    Calcula el valor de k para que:

     

    cumpla que:

    a)  sea un complejo imaginario puro

    b)  tenga un argumento de 135º.

     

    Solución:

    Primero resolveremos el cociente.

     

    a)  Para que un número complejo sea un imaginario puro su parte real ha de ser igual a cero, por tanto:

     

     

    b)  El argumento es el igual al arco tangente de la parte imaginaria dividida por la parte real, luego: 

     

     

     

     

  • Parte real y parte imaginaria de un número complejo 01

     

    Calcula el valor de m para que el producto (3 – 6i)·(2 + mi) sea:

    a)  un complejo imaginario puro

    b)  un número real.

     

    Solución:

    Primero resolveremos el producto.

    (3 – 6i)·(2 + mi) = 6 + 3mi – 12i – 6mi2 = 6 + 3mi – 12i – 6m·(-1) =

    = 6 + 3mi – 12i + 6m = (6 + 6m) + (3m – 12) i

    a)  Para que un número complejo sea un imaginario puro su parte real ha de ser igual a cero, por tanto:

    6 + 6m = 0 6m = –6 m = –6/6 m = –1 

     

    b)  Para que un número complejo sea un número real la parte imaginaria ha de ser igual a cero, luego:

    3m – 12 = 0 3m = 12 m =12/3 m = 4