Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Estudio y representación de funciones 04

     

    Hacer un estudio gráfico completo de la función:

     

     

    Solución:

    Dominio:

     

    Simetría:

     

    La función es impar, por tanto es simétrica con respecto al origen de coordenadas.

     

    Corte con los ejes:

    Con el eje X:

     

    Con el eje Y:

     

    Luego el único corte con los ejes es el punto (0, 0)

     

    Signo de f o regiones de existencia:

    Mediante el signo de f podemos saber si la gráfica se encuentra por encima o por debajo del eje de abscisas. Para ello daremos a x valores que se encuentren a la izquierda y a la derecha de los puntos de corte con el eje X y a los que no pertenecen al dominio de la función (puntos de discontinuidad), fijándonos en el signo que toma la función, para dichos valores de x.

     

    f(x) es negativa (–, –1) υ (0, 1) y positiva en (–1, 0) υ (1, +∞)

     

    Es decir, que entre menos infinito y menos uno la gráfica se encuentra por debajo del eje X, entre menos uno y cero por encima, entre cero y uno por debajo y finalmente entre uno e infinito por encima.

     

    Regiones de existencia:

     

     

    Asíntotas:

    Asíntotas verticales:

     

    Las rectas x = –1 y x =1 son asíntotas verticales.

    Asíntotas horizontales:

     

    La función no tiene asíntota horizontal.

    Asíntotas oblicuas:

    Si la recta y = mx + n es una asíntota oblicua:

     

    Por tanto:

     

    Luego y = x es una asíntota oblicua.

    Monotonía. Máximos y mínimos:

     

    Para estudiar el signo de la derivada de la forma más abreviada posible, se ha de tener en cuenta que todo termino que esté elevado al cuadrado da siempre como resultado un número positivo, por tanto el único término que nos indicará el signo es: (x2 – 3); sin olvidar los puntos críticos, o sea, los valores de x que anulan el denominador de la fracción de la derivada.

     

    La función es creciente en:

     

    La función es decreciente en:

     

    Coordenadas del máximo:

     

    Coordenadas del mínimo:

     

    Curvatura y puntos de inflexión:

     

    La función es cóncava en:

     

    La función es convexa en:

     

    Coordenadas del punto de inflexión:

    x = 0 f(0) = 0 C(0, 0)

    Alguno de los resultados anteriormente obtenidos eran evidentes, ya que la gráfica es simétrica con respecto al origen de coordenadas.

    Representación gráfica:

    ­­­­­­­­­­­­­­­­

     

     

  • Estudio y representación de funciones 03

     

    Representa gráficamente la siguiente función indicando: Dominio, puntos de corte con los ejes, asíntotas, crecimiento – decrecimiento, máximos, mínimos y puntos de inflexión:

     

     

    Solución:

    Dominio:      

    Puntos de corte:

     

    En el punto (0, –4) la gráfica corta al eje Y, y en los puntos (–2, 0) y (2, 0) al eje X.

    Asíntotas:

    Verticales:

     

    La recta x = –1, es una asíntota vertical (en ese punto existe una discontinuidad asintótica)

    Horizontales:

     

    No tiene asíntotas horizontales.

    Oblicuas:

    Si la recta y = mx + n es una asíntota oblicua:

     

    La recta y = x – 1 es una asíntota oblicua.

    Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos:

     

    La función no tiene máximos ni mínimos, por tanto, para estudiar su crecimiento y decrecimiento utilizaremos los puntos críticos, es decir, los que anulan el denominador de la función derivada y, además, tendremos en cuenta que como el denominador está elevado al cuadrado, siempre es positivo, luego únicamente se ha de estudiar el signo del numerador.

    f’(–2) = (–2)2 + 2·(–2) + 4 = 4 > 0

     

    f’(0) = 0 + 2·0 + 4 = 4 > 0

     

     

    La función es creciente en todo su dominio.

     

    Puntos de inflexión:

     

    La gráfica no tiene puntos de inflexión ya que la derivada segunda no puede ser igual a cero, pues el numerador de la última fracción nunca puede ser igual a cero.

             Gráfica:

     

     

     

  • Estudio y representación de funciones 02

     

    Representa gráficamente la siguiente funciones indicando: Dominio, puntos de corte con los ejes, asíntotas, crecimiento – decrecimiento, máximos, mínimos y puntos de inflexión:

     

     

     

    Solución:

    Dominio:      

     

    Puntos de corte:

     

     

    En el punto (0, 0) la gráfica corta a ambos ejes.

    Asíntotas:

    Verticales: Para hallar las asíntotas verticales, estudiaremos los límites laterales en los puntos que no pertenecen al dominio de la función.

     

     

    Las rectas x = –4 y x = 4, son asíntotas verticales (en estos puntos existen discontinuidades asintóticas)

     

    Horizontales:

     

     

    La recta y = 0, es una asíntota horizontal.

     

    La gráfica corta a la asíntota horizontal en el punto (0, 0).

     

    Oblicuas:

     

    No tiene, ya que el grado del numerador de la fracción no es una unidad mayor que el grado del denominador de la fracción.

     

    Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos:

     

     

     

    La función no tiene máximos ni mínimos, por tanto, para estudiar su crecimiento y decrecimiento utilizaremos los puntos críticos, es decir, los que anulan el denominador de la función derivada y, además, tendremos en cuenta que como el denominador está elevado al cuadrado, siempre es positivo, luego únicamente se ha de estudiar el signo del numerador.

     

    f’(–5) = –(–5)2 – 16 = –41 < 0

     

    f’(0) = 0 – 16 = –16 < 0

     

    f’(5) = –52 – 16 = –41 < 0

     

     

     

    La función es decreciente en todo su dominio.

     

    Puntos de inflexión:

     

     

    La función cambia de curvatura a la izquierda y a la derecha de cero, luego en x= 0 existe un punto de inflexión; por tanto (0, 0) es un punto de inflexión.

    Gráfica:

     

     

  • Estudio y representación de funciones 01

     

    Representa gráficamente la siguiente función indicando: Dominio, puntos de corte con los ejes, asíntotas, crecimiento – decrecimiento, máximos, mínimos y puntos de inflexión:

    y = x3 – 3x2 + x + 2

     

    Solución:

    Dominio:      

    Por tratarse de una función polinómica:

     

    Puntos de corte:

    Los puntos de corte de la función con el eje Y tienen por abscisa, x = 0, por tanto:

    x = 0 y = 2

    En el punto (0, 2) la gráfica corta al eje Y.

    Los puntos de corte de la función con el eje X tienen por ordenada, y = 0, luego:

    y = 0 x3 – 3x2 + x + 2 = 0

    Para resolver la anterior ecuación lo haremos por Ruffini, teniendo en cuenta que x= 2, el una raíz de la misma.

     

    En los puntos:

     

    la gráfica corta al eje X.

    Asíntotas:

    Verticales: En una función existe asíntota vertical en x = a si:

     

    La función dada no tiene asíntota vertical.

    (Por lo general, las asíntotas verticales son rectas normales al eje X en los puntos que no pertenecen al domino de la función)

    Horizontales:

    Si:

     

    La recta y = k, es una asíntota horizontal (k es un valor finito).

     

    no tiene asíntotas horizontales.

    Oblicuas:

    Si la recta y = mx + n es una asíntota oblicua:

     

    Por tanto:

     

    por ser mayor el grado del numerador que el del denominador. Luego no tiene asíntotas oblicuas.

    Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos:

    y’ = 3x2 – 6x + 1

    y’ = 0 3x2 – 6x + 1 = 0

     

     f’(0) = 1 > 0

    f’(1) = 3 – 6 + 1 = –2 < 0

    f’(2) = 12 – 12 + 1 = 1 > 0

     

    f(x) es creciente en:

     

    f(x) es decreciente en:

     

    En:

     

    existe un máximo.

    En:

     

    existe un mínimo.

    Ahora hallaremos la ordenada del máximo y del mínimo.

    Coordenadas del máximo:

     

    Coordenadas del mínimo:

     

    Puntos de inflexión:

    y” = 6x – 6

    y” = 0 6x – 6 = 0 6x = 6 x = 6/6 =1

    y”(0) = – 6 < 0

    y”(2) = 12 – 6 = 6 > 0

     

    A la izquierda y a la derecha de x =1 la función cambia de curvatura, luego existe un punto de inflexión.

    Coordenadas del punto de inflexión:

    f(1) = 13 – 3·12 + 1 + 2 = 1

    (1, 1)

    Gráfica:

     

     

     

  • Problemas de optimización 10

     

    Se quiere construir una ventana rectangular de 1 m2 para un granero. Debido a la estructura del granero, el coste de colocación del marco se estima en 1,25 € por cada metro de altura de la ventana y 0,80 € por cada metro de anchura. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la ventana para que el marco sea el más económico?

     

     

    Solución:

    Área de la ventana:

    x·y = 1

    Coste del marco:

    C = 0,80x + 1,25y + 0,80x + 1,25y = 1,6x + 2,5y

     

    Despejando y en la ecuación del área y sustituyendo en la del coste, tenemos que:

     

    y = 1/x C = 1,6x + 2,5 (1/x)

    Derivando:

    C’ = 1,6 + 2,5 (-1/x2) = (1,6x2 – 2,5)/x2

    C’ = 0  1,6x2 – 2,5 = 0  1,6x2 = 2,5  x2 = 2,5/1,6 = 25/16

    x = 5/4 = 1,25

     

    Veamos si se trata de un mínimo aplicando el criterio de la segunda derivada.

     

    C” = 2,5 (2x/x4) = 5/x3

     

    C”(1,25) = 5/1,253>0

     

    Luego x = 1,25 es un mínimo.

     

    Ahora hallaremos el valor de y:

     

    y = 1/1,25 = 0,8

     

    Para que el marco sea el más económico posible, sus dimensiones han de ser 1,25 metros de largo por 0,8 metros de alto.