Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Problemas de optimización 06

     

    Halla las dimensiones del cilindro de mayor volumen que puede inscribirse en una esfera de 10 cm de radio.

     

     

    Solución:

     

     

    Datos:

    Radio de la esfera: CD = R = 10 cm

    Radio del cilindro: BD = r

    Altura del cilindro: AB = h

    Volumen del cilindro:

    V = AB (área de la base)·h (altura)

     

    V = π r2 h

     

    En la expresión del volumen tenemos dos incógnitas, luego debemos hallar otra ecuación.

     

    Por el teorema de Pitágoras:

     

    (CB)2 + r2 = R2

     

    Pero: CB = h/2, por tanto:

     

    (h/2)2 + r2 = R2 r2 = R2 – (h/2)2 = 102 – (h2/4)

     

    Sustituyendo el valor de r2 en la ecuación del volumen, tenemos:

     

    V = π [100 – (h2/4)] h = 100 π h – (1/4) π h3

     

    Ahora derivamos el volumen con respecto a la altura.

     

    V’ = 100 π – (3/4) π h2 = [100 – (3/4) h2] π

     

    La condición necesaria, no suficiente, para que el volumen sea máximo es que su derivada sea igual a cero, por tanto:

     

    V’ = 0 [100 – (3/4) h2] π = 0 → 100 – (3/4) h2 = 0

     

    (3/4) h2 = 100 h2 = 400/3

     

     

    Ahora comprobaremos si se trata de un máximo mediante el criterio de la segunda derivada.

     

     

     Al ser la segunda derivada menor que cero,  para el valor encontrado de h, el volumen es máximo.

     

    Radio del cilindro:

      

     

     

     

  • Problemas de optimización 05

     

    Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima, que se puede inscribir en el sector de parábola formado por la cuerva x = y2/4 y la recta x = 4.

     

    Solución:

    Con el fin de poder realizar el gráfico del problema, hallaremos los puntos de corte de la parábola con la recta y con el origen de coordenadas.

     

     

    Área del rectángulo:

    A = b · a =(4 – x)·2y = 8y – 2xy

    A = 8y – 2(y2/4)y = 8y – (1/2) y3

    Derivando:

    A’ = 8 – (3/2) y2

    La condición necesaria, no suficiente, para que en un punto exista un máximo es que la derivada de la función en ese punto sea igual a cero, luego:

    A’ = 0 8 – (3/2) y2 = 0 (3/2) y2 = 8

    Veamos si se trata de un máximo aplicando el criterio de la segunda derivada:

    A” = –3y

     

    Por tanto se trata de un máximo.

    Para hallar el valor de x, sustituiremos en la ecuación de la parábola:

    Dimensiones del rectángulo:

    Base:

    b = 4 – (4/3) = 8/3

    Altura:

     

     

     

     

  • Problemas de optimización 04

     

    Un heladero ha comprobado que, a un precio de 50 céntimos de euro la unidad, vende una media de 200 helados diarios. Por cada céntimo que aumenta el precio, vende 2 helados menos al día. Si el coste por unidad es de 40 céntimos, ¿a qué precio de venta obtiene el máximo beneficio diario? ¿Cuál será ese beneficio?

     

     

    Solución:

     

    Precio de venta inicial = 50 céntimos  Número de helados vendidos = 200

    Si se aumenta 1 céntimo:

    Precio de venta = (50 + 1) céntimos  Número de helados vendidos = 200 – 2·1

    Si se aumenta 2 céntimos:

    Precio de venta = (50 + 2) céntimos  Número de helados vendidos = 200 – 2·2

    Si se aumenta x céntimos:

    Precio con aumento = (50 + x) céntimos Número de helados vendidos = 200 – 2x

    Precio de coste = 40 céntimos

    Función de beneficio:

    B = Importe venta – Importe compra

    B = [(200 – 2x)·(50 + x)] – [(200 – 2x)·40] =

    = (10000 + 200x – 100x – 2x2) – (8000 – 80x) =

    = 10000 + 100x – 2x2 – 8000 + 80x =

    = –2x2 + 180x + 2000

    La condición necesaria para que la función tenga un máximo en un punto es que su derivada sea igual a cero en dicho punto, por tanto:

    B’ = –4x + 180

     

    B’ = 0 –4x + 180 = 0 –4x = –180 4x = 180

     

    x = 180/4 = 45

     

    Veamos si se trata de un máximo aplicando el criterio de la primera derivada.

     

    B’(44) = –4·44 + 180 = 4>0

     

    B’(46) = –4·46 + 180 = –4<0

     

    La función es creciente a la izquierda de x = 45 y decrece a su derecha, luego en x = 45 existe un máximo.

     

    Por tanto el precio de venta para conseguir el máximo beneficio ha de ser:

    P = 50 + 45 = 95 céntimos de euro.

    Beneficio máximo:

    B = –2·452 + 180·45 + 2000 = 6050 céntimos de euro, o sea, 60,50 € 

     

     

     

  • Problemas de optimización 03

     

    Entre todos los triángulos inscritos en una semicircunferencia cuyo diámetro mide 20 dm, ¿cuál es el que tiene área máxima?

     

     

    Solución:

    Dato: D = 20 dm

    En los problemas de optimización, lo que se necesita averiguar son los extremos absolutos de la función, no los relativos.

    Área del triángulo:

    A = (1/2) b h

    Según la figura:

     A = (1/2) D h = (1/2) 20 h = 10 h

    Como h ha de ser un número mayor que 0 y menor o igual que 10 (valor del radio de la circunferencia), veamos para qué valores se consigue el máximo de la función.  

    f’ (h) = 10              f(10) = 10·10 =100

    El máximo absoluto se encuentra en h = 10, por tanto el área máxima es:

    A = 100 dm2

     

     

     

     

  • Problemas de optimización 02

     

    Disponemos de chapa metálica y deseamos construir un depósito abierto de base cuadrada y cuya capacidad sea de 864 litros. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del depósito para que la cantidad de chapa empleada sea mínima?

     

     

    Solución:

     

     

    Área del depósito:

     

    A = AL(área lateral) + AB (área de la base)

     

    A = 4xy + x2

     

    Para poder resolver este problema necesitamos una ecuación auxiliar, ya que tenemos dos incógnitas.

     

    Volumen del depósito:

     

    V = x2 y = 864

     

    Despejamos y, y sustituimos en la primera ecuación.

    y = 864/x2

     

     

     

    La condición necesaria no suficiente para que en un punto exista un mínimo es que la derivada de la función en dicho punto sea igual a cero, luego:

     

     

     

     

    Veamos si x = 12 es mínimo estudiando el signo de la derivada primera y para ello hemos de tener en cuenta, en este caso, que el denominador siempre es positivo.

     

     

     

    En x = 12 existe un mínimo pues la función es decreciente a su izquierda y creciente a su derecha y en dicho punto la derivada se anula.

    y = 864/122 = 6

     

    Las dimensiones del depósito son altura 6 dm y arista de la base 12 dm. (Las unidades están expresadas en decímetros pues el volumen en litros es equivalente a dm3)