Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto 03

     

    Obtener la ecuación de la recta tangente a la curva x2y + xy2 – 5x – 7 = 0, en el primer cuadrante y en un punto de abscisas 1.

     

     

    Solución:

     

    Ecuación de la recta tangente a una curva en el punto (x0, f(x0)):

     

    y – f(x0) = f’(x0) (x – x0)

     

    De la anterior expresión se deduce que para hallar la recta tangente, necesitamos saber el valor de f(x0) y f’(x0), ya que x0 = 1.

     

    x0 = 1 → 12·y + 1·y2 – 5·1 – 7 = 0 → y2 + y – 12 = 0

     

    Ahora resolveremos la anterior ecuación de segundo grado:

     

     

    De los dos resultados obtenidos y = 3 es el que buscamos, ya que es el que pertenece al primer cuadrante, por tanto:

     

    x0 = 1 → f(x0) = f(1) = 3

     

    El punto buscado tiene por coordenadas: P(1, 3) y la ecuación de la tangente es:

     

    y – 3 = f’(1) (x – 3)

     

    Para hallar f’(1), derivaremos implícitamente:

     

    f’(x) = 2xy + x2y’ + y2 + x·2yy’ – 5 – 0 = 0 → 2xy + x2y’ + y2 + 2xyy’ – 5 = 0

     

    f’(1) → 2·1·3 + 12·y’ + 32 +2·1·3·y’ – 5 = 0

     

    6 + y’ + 9 + 6y’ – 5 = 0 → 7y’ = –10 → y’ = –10/7

     

    Ecuación de la recta tangente a la curva:

     

    y – 3 = (–10/7) (x – 3)

     

     

     

  • Ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto 02

     

    Dada la función: f(x) = x3 – 2x + 3:

    a)  Calcula la ecuación de la recta tangente a dicha curva en el punto de abscisa 1.

    b)  Estudia si hay algún punto de la curva y = f(x) en el que la recta tangente sea paralela a la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

     

     

    Solución:

    a)  Ecuación punto pendiente de la recta tangente a una curva en el punto (x0, y0): 

     

    y – y0 = f’(x0) (x – x0)

     

    En este problema x0 = 1, luego, para hallar y0, sustituiremos en la función:  

     

    y0 = f(x0) = f(1) = 13 – 2·1 + 3 = 2

     

    Ahora debemos hallar la derivada de la función en x0:

     

    f’(x) = 3x2 – 2 → f’(x0) = f’(1) = 3(1)2 – 2 = 1

     

    Ecuación de la recta tangente en x0 = 1:

     

    y – 2 = 1 (x – 1) → y = 2 + x – 1

     

    y = x +1

     

    b)  Ecuación general de la bisectriz del primer y tercer cuadrante: y = x

     

    Para que la recta y = x y la tangente a la curva dada en el punto (x0, y0) sean paralelas, se ha de cumplir que la pendiente de ambas sean iguales, o sea, que m = f’(x0).

     

    La pendiente de la recta y = x, es el coeficiente de x, es decir, m =1.

     

     

    Las rectas tangentes en los puntos P1 y P2 de la curva dada y la recta y = x son paralelas.

     

      

     

  • Ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto 01

     

    Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = cos x en un punto de abscisa p/4.

     

    Solución:

     

    Ecuación punto pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (x0, y0):

     

    y – y0 = f’(x0) (x – x0)

     

      En este problema x0 = π/4, luego, para hallar y0, sustituiremos en la función:  

     

     

    Ahora debemos hallar la derivada de la función en x0:

     

     

    Ecuación de la recta tangente a la curva y = cos x en un punto de abscisa p/4:

     

     

     

  • Tasa de variación de una función 03

     

    Se calcula que el valor de una acción t meses después de salir al mercado bursátil y durante el primer año, viene dado por la función V(t) = t2 – 6t + 10. Se pide:

    a)  Calcula la tasa de variación media del valor de la acción durante los dos primeros meses. ¿Qué interpretación le das al resultado obtenido?

     

    b)  Calcula la tasa de variación instantánea del valor de la acción al finalizar el quito mes. ¿Qué interpretación le das al resultado obtenido?

     

    c)  ¿En qué mes conviene comprar las acciones para adquirirlas al precio más ventajoso? Razónalo.

     

    d)  ¿En qué mes del primer año convine vender las acciones? Razónalo.

     

     

    Solución:

     

    a)  La tasa de variación media de la función V(x) en el intervalo [t0, t] es:

     

     

    En este caso el intervalo es [0, 2], luego:

     

    El resultado nos indica que el valor medio de cotización de las acciones, en los dos primeros meses, ha disminuido a razón de cuatro unidades por acción.

     

    b)  La tasa de variación instantánea de la función V(x) es:

     

    luego:

    V’(t) = 2t – 6, para t = 5: V’(5) = 2·5 – 6 = 4

     

    El resultado no indica que al finalizar el quinto mes el valor de las acciones ha aumentado a razón de 4 unidades por acción.

     

     

    c)  El valor de las acciones viene dado mediante una función cuadrática luego su valor máximo o mínimo se encontrará en su vértice o bien, para el valor de t que haga nula a la derivada.

    V’(t) = 0 → 2t – 6 = 0 →t = 6 / 2 = 3

     

    Veamos si se trata de un mínimo, estudiando el comportamiento de la función a la izquierda y a la derecha de t = 3:

    V’(2) = 2·2 – 6 = –2 < 0, la función es decreciente

     

    V’(4) = 2·4 – 6 = 2 > 0, la función es creciente

     

    En t = 3 existe un mínimo ya que la derivada de la función para ese valor se anula y a la izquierda de dicho valor la función es decreciente y a la derecha es creciente.

    Luego a los tres meses de la salida al mercado, las acciones alcanzan su valor mínimo y es entonces cuando es conveniente comprarlas.

     

    d)  En este caso hemos de buscar un valor de t que esté comprendido en [0, 12], de forma que se obtenga el mayor precio posible es decir un máximo absoluto, o sea, en los extremos del intervalo. Por tanto debe ser en el último mes, es decir, para t = 12  ya que antes del tercer mes la función es decreciente y a partir del tercer mes la función es creciente.

     

     

  • Tasa de variación de una función 02

     

    La población de una ciudad evoluciona de acuerdo con la expresión: P(t) = 15000 + 2000 t – 240 t2, donde t se mide en años y P significa el número de habitantes.

     

    a)  Calcula la Tasa de Variación Media en el intervalo de 2 a 4 años.

     

    b)  Calcula la Velocidad con que varía la población en el instante t =2. (Utilizando la definición).

     

     

    Solución:

     

    a)  La tasa de variación media de la función P(t) en el intervalo [t0, t] es:

     

      

    En este caso el intervalo es [2, 4], luego:

     

    P(t) = P(4) = 15000 + 2000 · 4 – 240 · 42 = 19160

     

    P(t0) = P(2) = 15000 + 2000 · 2 – 240 · 22 = 18040

     

      

    El resultado no indica que el aumento medio de la población entre el segundo y el cuarto años es de 560 habitantes.

     

    b)  La velocidad es la tasa de variación instantánea de la función P(t), o sea:

     

     En este caso a = 2, por tanto:

     Para resolver este caso de indeterminación, factorizaremos el numerador de la fracción mediante Ruffini.

     

     

    El resultado no indica que al finalizar el segundo año la población ha aumentado en 1040 habitantes.