Cálculo de derivadas de funciones polinómicas y racionales 06

Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

a)  y = (x² – 1) (x² + 3) (x² – 2)          b)  y = (3a – x) (3a + x) (9a² + x²) (a constante)

c)  y = x/3            d)  y = 3/x              e)  y = 1/3x²               

g)  y = 5x³ – (4/x) +(1/x²) – x⁴/2

Solución:

a)      Aplicando la regla de la derivada de un producto de funciones:

y’ = 2x (x² + 3) (x² – 2) + (x² – 1) 2x (x² – 2) + (x² – 1) (x² + 3) 2x =

= (2x³ + 6x) (x² – 2) + (x² – 1) (2x³ – 4x) + (x² – 1) (2x³ + 6x) =

= 2x⁵ – 4x³ + 6x³ – 12x + 2x⁵ – 4x³ – 2x³ +4x + 2x⁵ + 6x³ – 2x³ – 6x =

= 6x⁵ – 14x

b)      En este caso es conveniente primero operar la expresión y después derivar:

y = (3a – x) (3a + x) (9a² + x²) = (9a² – x²) (9a² + x²) =

= 81a⁴ – x⁴

y’ = –4x³

c)       

y = (1/3) x → y’ = 1/3

d)      

y = 3/x = 3x^–1 → y’ = –3x^–2 =  –3/x²  

e)       

y = 1/3x² (1/3) x^–2 → y’ = –2 (1/3) x^–3 =  –2/3x³                  

f)        

Cálculo de derivadas de funciones polinómicas y racionales 05

Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

a)  y = (x² + 2) (x³ + 3)                         b)  y = (2x³ – 2) (3x² – x)

c)  y = (2x + 3) (x² + 4x – 5)                d)  y = (1 + 5x³) (1 + 3x²)

             e)  y = (a + x) (b + x)                            f)  y = (3x² – 1) (x + 2) – (x² + 1)

g)  y = (2x³ + 5) – (x² – 3) (7 + x)

Solución:

a)      Primero efectuaremos el producto y después derivaremos.

y = (x² + 2) (x³ + 3) = x⁵ + 3x² + 2x³ + 6

y’ = 5x⁴ + 6x + 6x²

También se puede hacer utilizando la siguiente regla de derivación:

Si y = f(x) · g(x) entonces y’ = f’(x) · g(x) + f(x) · g’(x), es decir, la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar, más la primera función sin derivar por la derivada de la segunda función, siendo, en este caso, f(x) = (x² + 2) y g(x) = (x³ + 3), por tanto:

y’ = 2x (x³ + 3) + (x² + 2) 3x² = 2x⁴ + 6x + 3x⁴ + 6x² = 5x⁴ + 6x + 6x²

b)       

y’ = 6x² (3x² – x) + (2x³ – 2) (6x – 1) = 18x⁴ – 6x³ + 12x⁴ – 2x³ – 12x + 2

y’ = 30x⁴ – 8x³ – 12x + 2

c)       

y’ = 2 (x² + 4x – 5) + (2x + 3) (2x + 4) = 2x² + 8x – 10 + 4x² + 8x + 6x + 12 =

= 6x² + 22x + 2

d)      

y’ = 15x² (1 + 3x²) + (1 + 5x³) 6x = 15x² + 45x⁴ + 6x + 30x⁴ =

= 75x⁴ + 15x² + 6x

e)       

y’ = 1 (b + x) + (a + x) 1 = b + x + a + x = 2x + a + b

f)        

y’ = 6x (x + 2) + (3x² – 1) 1 – 2x = 6x² + 12x + 3x² – 1 – 2x =

= 9x² + 10x – 1

g)       

y’ = 6x² – 2x (7 + x) – (x² – 3) 1 = 6x² – 14x – 2x² – x² + 3 =

= 3x² – 14x + 3

Cálculo de derivadas de funciones polinómicas y racionales 04

Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

a)  y = x (x + 3)          b)  y = x² (5 – x)         c)  y = (x + 3) (x – 7)

d)  y = (4 + x) (x – 1)                         e)  y = (x² – 1) (x+1)

Solución:

a)       Primero efectuaremos el producto y después derivaremos.

y = x (x + 3) = x² + 3x

y’ = 2x +3

b)       

y = x² (5 – x) = 5x² – x³

y’ = 10x – 3x²

c)       

y = (x + 3) (x – 7) = x² – 7x + 3x – 21 = x² – 4x – 21

y’ = 2x – 4

d)      

y = (4 + x) (x – 1) = 4x – 4 + x² – x = x² + 3x – 4

y’ = 2x + 3

e)       

y = (x² – 1) (x+1) = x³ + x² – x – 1

y’ = 3x² + 2x – 1

Cálculo de derivadas de funciones polinómicas y racionales 03

Halla las derivadas de las siguientes funciones:

a)      y = x² – 7x + 3                                               b)  y = 5 – 2x² + x⁵    

c)  y = (6/7) x⁴ – 5x² + (2/3) x – 7                             d)  y = a – bx + cx³

Solución:

a)       

y’ = 2x – 7

b)       

y’ = –4x + 5x⁴

c)       

y’ = (6/7) ·4x³ – 5 · 2x + (2/3) · 1 – 0 = (24/7) x³ – 10x + (2/3)

d)      

y’ = 0 – b · 1 + 3cx² = –b + 3cx²

Cálculo de derivadas de funciones polinómicas y racionales 02

Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

a)      y = x³       b)  y = (7/2) x²       c)  y = 3x – 2              d)  y = 2x² + 4

e)  y = 5 – 3x       f)  y = 2x³ + x       g)  y = x^{n – 1}

Solución:

a)  Para resolver este apartado debemos recordar la siguiente regla de derivación:

Si y = xⁿ entonces y’ = n x^{n – 1}, por tanto:

y’ = 3x^{3 – 1} = 3x²

b)       

y’ = 2 (7/2) x = 7x

c)       

y’ = 3 – 0 = 3

d)      

y’ = 2·2x + 0 = 4x

e)       

y’ = 0 – 3 = –3

f)        

y’ = 6x² + 1

La derivada de y = x es y’ = 1

g)       

y’ = (n – 1) x^{n – 2}