Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Cálculo de derivadas de funciones polinómicas y racionales 06

     

    Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

    a)  y = (x2 – 1) (x2 + 3) (x2 – 2)          b)  y = (3a – x) (3a + x) (9a2 + x2) (a constante)

    c)  y = x/3            d)  y = 3/x              e)  y = 1/3x2               

    g)  y = 5x3 – (4/x) +(1/x2) – x4/2

     

    Solución:

    a)      Aplicando la regla de la derivada de un producto de funciones:

    y’ = 2x (x2 + 3) (x2 – 2) + (x2 – 1) 2x (x2 – 2) + (x2 – 1) (x2 + 3) 2x =

    = (2x3 + 6x) (x2 – 2) + (x2 – 1) (2x3 – 4x) + (x2 – 1) (2x3 + 6x) =

    = 2x5 – 4x3 + 6x3 – 12x + 2x5 – 4x3 – 2x3 +4x + 2x5 + 6x3 – 2x3 – 6x =

    = 6x5 – 14x

    b)      En este caso es conveniente primero operar la expresión y después derivar:

    y = (3a – x) (3a + x) (9a2 + x2) = (9a2 – x2) (9a2 + x2) =

    = 81a4 – x4

    y’ = –4x3

    c)       

    y = (1/3) x → y’ = 1/3

    d)      

    y = 3/x = 3x–1 → y’ = –3x–2 =  –3/x2  

    e)       

    y = 1/3x2 (1/3) x–2 → y’ = –2 (1/3) x–3 =  –2/3x3                  

    f)        

     

     

  • Cálculo de derivadas de funciones polinómicas y racionales 05

     

    Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

    a)  y = (x2 + 2) (x3 + 3)                         b)  y = (2x3 – 2) (3x2 – x)

    c)  y = (2x + 3) (x2 + 4x – 5)                d)  y = (1 + 5x3) (1 + 3x2)

                 e)  y = (a + x) (b + x)                            f)  y = (3x2 – 1) (x + 2) – (x2 + 1)

    g)  y = (2x3 + 5) – (x2 – 3) (7 + x)

     

    Solución:

    a)      Primero efectuaremos el producto y después derivaremos.

    y = (x2 + 2) (x3 + 3) = x5 + 3x2 + 2x3 + 6

    y’ = 5x4 + 6x + 6x2

    También se puede hacer utilizando la siguiente regla de derivación:

    Si y = f(x) · g(x) entonces y’ = f’(x) · g(x) + f(x) · g’(x), es decir, la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar, más la primera función sin derivar por la derivada de la segunda función, siendo, en este caso, f(x) = (x2 + 2) y g(x) = (x3 + 3), por tanto:

    y’ = 2x (x3 + 3) + (x2 + 2) 3x2 = 2x4 + 6x + 3x4 + 6x2 = 5x4 + 6x + 6x2

    b)       

    y’ = 6x2 (3x2 – x) + (2x3 – 2) (6x – 1) = 18x4 – 6x3 + 12x4 – 2x3 – 12x + 2

    y’ = 30x4 – 8x3 – 12x + 2

    c)       

    y’ = 2 (x2 + 4x – 5) + (2x + 3) (2x + 4) = 2x2 + 8x – 10 + 4x2 + 8x + 6x + 12 =

    = 6x2 + 22x + 2

    d)      

    y’ = 15x2 (1 + 3x2) + (1 + 5x3) 6x = 15x2 + 45x4 + 6x + 30x4 =

    = 75x4 + 15x2 + 6x

    e)       

    y’ = 1 (b + x) + (a + x) 1 = b + x + a + x = 2x + a + b

    f)        

    y’ = 6x (x + 2) + (3x2 – 1) 1 – 2x = 6x2 + 12x + 3x2 – 1 – 2x =

    = 9x2 + 10x – 1

    g)       

    y’ = 6x2 – 2x (7 + x) – (x2 – 3) 1 = 6x2 – 14x – 2x2 – x2 + 3 =

    = 3x2 – 14x + 3

     

     

  • Cálculo de derivadas de funciones polinómicas y racionales 04

     

    Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

    a)  y = x (x + 3)          b)  y = x2 (5 – x)         c)  y = (x + 3) (x – 7)

    d)  y = (4 + x) (x – 1)                         e)  y = (x2 – 1) (x+1)

     

    Solución:

    a)       Primero efectuaremos el producto y después derivaremos.

    y = x (x + 3) = x2 + 3x

    y’ = 2x +3

    b)       

    y = x2 (5 – x) = 5x2 – x3

    y’ = 10x – 3x2

    c)       

    y = (x + 3) (x – 7) = x2 – 7x + 3x – 21 = x2 – 4x – 21

    y’ = 2x – 4

    d)      

    y = (4 + x) (x – 1) = 4x – 4 + x2 – x = x2 + 3x – 4

    y’ = 2x + 3

    e)       

    y = (x2 – 1) (x+1) = x3 + x2 – x – 1

    y’ = 3x2 + 2x – 1

     

     

  • Cálculo de derivadas de funciones polinómicas y racionales 03

     

    Halla las derivadas de las siguientes funciones:

    a)      y = x2 – 7x + 3                                               b)  y = 5 – 2x2 + x5    

    c)  y = (6/7) x4 – 5x2 + (2/3) x – 7                             d)  y = a – bx + cx3

     

    Solución:

    a)       

    y’ = 2x – 7

    b)       

    y’ = –4x + 5x4

    c)       

    y’ = (6/7) ·4x3 – 5 · 2x + (2/3) · 1 – 0 = (24/7) x3 – 10x + (2/3)

    d)      

    y’ = 0 – b · 1 + 3cx2 = –b + 3cx2

     

     

  • Cálculo de derivadas de funciones polinómicas y racionales 02

     

    Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

    a)      y = x3       b)  y = (7/2) x2       c)  y = 3x – 2              d)  y = 2x2 + 4

    e)  y = 5 – 3x       f)  y = 2x3 + x       g)  y = xn – 1

     

     

    Solución:

    a)  Para resolver este apartado debemos recordar la siguiente regla de derivación:

    Si y = xn entonces y’ = n xn – 1, por tanto:

    y’ = 3x3 – 1 = 3x2

    b)       

    y’ = 2 (7/2) x = 7x

    c)       

    y’ = 3 – 0 = 3

    d)      

    y’ = 2·2x + 0 = 4x

    e)       

    y’ = 0 – 3 = –3

    f)        

    y’ = 6x2 + 1

    La derivada de y = x es y’ = 1

    g)       

    y’ = (n – 1) xn – 2