Función exponencial 02

Representa la función exponencial: y = (1/2)^x. ¿Cuál es su dominio? ¿Es una función creciente o decreciente?

Solución:

Para trazar la gráfica de esta función, primero haremos la tabla de valores correspondiente a la función dada, para lo cual tendremos en cuenta los siguientes pasos:

Si vamos dando valores negativos a x, como por ejemplo:

x = –100 → y = (1/2)^–100 = 2¹⁰⁰

x = –1000 → y = (1/2)^–1000 = 2¹⁰⁰⁰

Es decir, que para valores negativos “muy grandes” de x, y tomará valores cada vez más grandes; luego si x tiende a menos infinito, y tenderá a más infinito.

Otros posibles valores son:

x = –1 → y = (1/2)^–1 = 2

x = 0 → y = (1/2)⁰ = 1

x = 1 → y = (1/2)¹ = 1/2

Para valores positivos “muy grandes” de x, como la base de la potencia es menor que 1, y tomará valores cada vez más cercanos a cero, es decir, que si x tiende a  más infinito, y tiende a cero.

Tabla de valores:

Gráfica de la función:

El dominio de la función son todos los números reales.

Si nos fijamos en la gráfica, la función es siempre decreciente.

Función exponencial 01

Representa la función exponencial: y = 2^x. ¿Cuál es su dominio? ¿Es una función creciente o decreciente?

Solución:

Para trazar la gráfica de esta función, primero haremos la tabla de valores correspondiente a la función dada, para lo cual tendremos en cuenta los siguientes pasos:

Si vamos dando valores negativos a x, como por ejemplo:

x = –100 → y = 2^–100 = (1/2)¹⁰⁰ = 1/2¹⁰⁰

x = –1000 → y = 2^–1000 = (1/2)¹⁰⁰⁰ = 1/2¹⁰⁰⁰

Es decir, que para valores negativos “muy grandes” de x, y tomará valores cada vez más cercanos a cero; luego si x tiende a menos infinito, y tenderá a cero.

Otros posibles valores son:

x = –1 → y = 2^–1 = ½

x = 0 → y = 2⁰ = 1

x = 1 → y = 2¹ = 2

Para valores positivos “muy grandes” de x, como la base de la potencia es mayor que 1, y tomará, también, valores “muy grandes” positivos (y nunca puede ser negativa) , es decir, que si x tiende a  más infinito, y también tiende a más infinito.

Tabla de valores:

Gráfica de la función:

El dominio de la función son todos los números reales.

Si nos fijamos en la gráfica, la función es siempre creciente.

Composición de funciones y función inversa 03

 Sabiendo que f(x) = x² + 8 y g(x) = 2x – 5, calcula:

Solución:

 a)

b) 

c)

Veamos si la función hallada es la inversa o recíproca de g:

Como el resultado de esta última composición da la función identidad, la función recíproca hallada es correcta.

Composición de funciones y función inversa 02

 Dada la función f(x) = x / (x + 3), halla f ^─1.

Solución:

Para hallar la función inversa primero hay que ver si la función dada es inyectiva, es decir:

f(x₁) = f (x₂)  ↔  x₁ = x₂

por tanto sí es inyectiva, luego tiene inversa.

Para hallar f ^─1, primero intercambiaremos las incógnitas, es decir, la y por la x, y después pondremos y en función de x.

La función inversa es:

Otra forma de averiguar si la función tiene inversa, es ver si se cumple que:

Luego, como ya hemos dicho anteriormente, la función dada sí tiene inversa.

Notación científica. Escritura 02

Escribe en notación científica los siguientes números:

a) 15.300   b) 13,2   c) 12.345   d) 17.000   e) 0,000027   f) 0,00102   g) 0,21   h) 0,002   i) 0,01

Solución:

a)      15.000 = 1,5۰10⁴

b)      13,2 = 1,32۰10¹

c)      12.345 = 1,2345۰10⁴

d)      17.000 = 1,7۰10⁴

e)      0,000027 = 2,7۰10^–5

f)        0,00102 = 1,02۰10^–3

g)      0,21 = 2,1۰10^–1

h)      0,002 = 2۰10^–3

i)        0,01 = 1۰10^–2