Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Función exponencial 02

     

    Representa la función exponencial: y = (1/2)x. ¿Cuál es su dominio? ¿Es una función creciente o decreciente?

     

    Solución:

     

    Para trazar la gráfica de esta función, primero haremos la tabla de valores correspondiente a la función dada, para lo cual tendremos en cuenta los siguientes pasos:

     

    Si vamos dando valores negativos a x, como por ejemplo:

     

    x = –100 → y = (1/2)–100 = 2100

     

    x = –1000 → y = (1/2)–1000 = 21000

     

    Es decir, que para valores negativos “muy grandes” de x, y tomará valores cada vez más grandes; luego si x tiende a menos infinito, y tenderá a más infinito.

     

    Otros posibles valores son:

     

    x = –1 → y = (1/2)–1 = 2

     

    x = 0 → y = (1/2)0 = 1

     

    x = 1 → y = (1/2)1 = 1/2

     

    Para valores positivos “muy grandes” de x, como la base de la potencia es menor que 1, y tomará valores cada vez más cercanos a cero, es decir, que si x tiende a  más infinito, y tiende a cero.

    Tabla de valores:

     

     

    Gráfica de la función:

     

     

    El dominio de la función son todos los números reales.

    Si nos fijamos en la gráfica, la función es siempre decreciente.

     

     

  • Función exponencial 01

     

    Representa la función exponencial: y = 2x. ¿Cuál es su dominio? ¿Es una función creciente o decreciente?

     

    Solución:

     

    Para trazar la gráfica de esta función, primero haremos la tabla de valores correspondiente a la función dada, para lo cual tendremos en cuenta los siguientes pasos:

     

    Si vamos dando valores negativos a x, como por ejemplo:

     

    x = –100 → y = 2–100 = (1/2)100 = 1/2100

     

    x = –1000 → y = 2–1000 = (1/2)1000 = 1/21000

     

    Es decir, que para valores negativos “muy grandes” de x, y tomará valores cada vez más cercanos a cero; luego si x tiende a menos infinito, y tenderá a cero.

     

    Otros posibles valores son:

     

    x = –1 → y = 2–1 = ½

     

    x = 0 → y = 20 = 1

     

    x = 1 → y = 21 = 2

     

    Para valores positivos “muy grandes” de x, como la base de la potencia es mayor que 1, y tomará, también, valores “muy grandes” positivos (y nunca puede ser negativa) , es decir, que si x tiende a  más infinito, y también tiende a más infinito.

     

    Tabla de valores:

     

     

    Gráfica de la función:

     

    El dominio de la función son todos los números reales.

     

    Si nos fijamos en la gráfica, la función es siempre creciente.

     

     

  • Composición de funciones y función inversa 03

     

     Sabiendo que f(x) = x2 + 8 y g(x) = 2x – 5, calcula:

     

     

     

    Solución:

     a)

    b) 

    c)

     

     

    Veamos si la función hallada es la inversa o recíproca de g:

     

     

    Como el resultado de esta última composición da la función identidad, la función recíproca hallada es correcta.

     

     

     

  • Composición de funciones y función inversa 02

     

     Dada la función f(x) = x / (x + 3), halla f ─1.

     

     

    Solución:

     

    Para hallar la función inversa primero hay que ver si la función dada es inyectiva, es decir:

     

    f(x1) = f (x2)    x1 = x2

     

     

    por tanto sí es inyectiva, luego tiene inversa.

     

    Para hallar f ─1, primero intercambiaremos las incógnitas, es decir, la y por la x, y después pondremos y en función de x.

     

     

    La función inversa es:

     

     

     

    Otra forma de averiguar si la función tiene inversa, es ver si se cumple que:

     

    Luego, como ya hemos dicho anteriormente, la función dada sí tiene inversa.

     

     

  • Notación científica. Escritura 02

     

    Escribe en notación científica los siguientes números:

     

    a) 15.300   b) 13,2   c) 12.345   d) 17.000   e) 0,000027   f) 0,00102   g) 0,21   h) 0,002   i) 0,01

     

     

    Solución:

     

    a)      15.000 = 1,5۰104

     

    b)      13,2 = 1,32۰101

     

    c)      12.345 = 1,2345۰104

     

    d)      17.000 = 1,7۰104

     

    e)      0,000027 = 2,7۰105

     

    f)        0,00102 = 1,02۰103

     

    g)      0,21 = 2,1۰101

     

    h)      0,002 = 2۰103

     

    i)        0,01 = 1۰102