Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Expresión analítica de una función. Aplicaciones 01

     

    Un técnico en electrodomésticos cobra sus servicios a razón de 12 € por su desplazamiento y 10 € por cada hora de trabajo. ¿Cuánto debe pagar un cliente por un trabajo de 30 minutos?. ¿Y de 2 horas?. Escribe la función que relaciona el número de horas de trabajo con el precio cobrado por la reparación.

     

    Solución:

     

    Sean: y = importe y x = tiempo (en horas)

     

    Si el trabajo realizado ha durado 30 minutos, o sea, ½ hora, el importe será:

     

    y = (1/2) h · 10 €/h + 12 € = 17 €

     

    Si el trabajo realizado ha durado 2 horas el importe será:

     

    y = 2 h · 10 €/h + 12 € = 32 €

     

    La función es:

     

    y = 10 x + 12

     

  • Expresión analítica de una función 03

     

    Un ciclista sale de excursión a un lugar que dista 20 km de su casa. A los 15 minutos de la salida, cuando se encuentran a 6 km, hace una parada de 10 minutos. Reanuda la marcha y llega a su destino una hora después de haber salido de casa.

    a)      Representa la gráfica tiempodistancia a su casa, suponiendo que la velocidad es constante en cada tramo.

     

    b)      Calcula la expresión analítica de dicha función.

     

     

    Solución:

     

    a)      Con los datos que nos da el problema haremos la tabla de valores:

     

    T (minutos) 0 15 15+10 =25 60
    D (km) 0 6 6 20

     

     

     

     Representación gráfica:

     

    b)      Para hallar la expresión analítica de la función, debemos tener en cuenta que su gráfica, en cada uno de los intervalos, es una recta; por tanto su expresión será: y = m x + n.  

     

    En el intervalo [0, 15], se trata de una recta que pasa por los puntos (0, 0) y (15, 6).

     

    Pendiente de la recta:

     

    m = (6 – 0) / (15 – 0) = 6 /15

     

    y = (6 / 15) x + n

     

    Ordenada en el  origen:

     

    n = 0

     

    Expresión analítica:

     

    D (T) = (6 / 15) T

     

    En el intervalo [15, 25], la función es constante y el valor de las ordenadas es siempre igual a seis, por lo tanto la función tiene como expresión: D (T) = 6.

     

    En el intervalo [25, 60], se trata de una recta que pasa por los puntos (25, 6) y (60, 20).

     

    Pendiente de la recta:

     

    m = (20 – 6) / (60 – 25) = 14 /35

     

    y = (14 / 35) x + n

     

    Ordenada en el origen:

     

    20 = (14 / 35) 60 + n → n = 20 –  (14 / 35) 60 = 20 – 24 = –4

     

    D (T) = (14 / 35) T – 4

    Expresión analítica de la función:

     

     

     

  • Expresión analítica de una función 02

     

    Obtén la expresión analítica de la función:

     

     

     

    Solución:

     

    En el intervalo ]–∞, 0], la función es constante y el valor de las ordenadas es siempre igual a cuatro, por lo tanto la función tiene como expresión: y = 4.

     

    En el intervalo [0, 5] la función no es constante y tiene como expresión: y = mx + n, por tratarse de una recta; luego hemos de averiguar el valor de m (la pendiente) y de n (la ordenada en el origen).

     

    Según la gráfica, si x = 0, entonces y = 4. Sustituyendo en la ecuación de la recta:

     

    4 = m · 0 + n → n = 4

     

    Volviendo a la gráfica, si x = 5, y = –1, por tanto:

     

    –1 = 5 · m + 4 → m = –1

     

    Ecuación de la recta:

     

    y = –x + 4

     

    En el intervalo [5, +∞[, la función vuelve a ser constante y el valor de las ordenadas es siempre igual a menos uno, por lo tanto la función tiene como expresión: y = –1.

     

    Expresión analítica de la función:

     

     

     

  • Expresión analítica de una función 01

     

    Halla la expresión analítica de la función representada a continuación:

     

     

    Solución:

     

    En el intervalo ]–∞, –2], la gráfica de la función es una recta, por tanto tiene como expresión: y = m x + n, luego hemos de averiguar el valor de m y de n, para lo cual necesitamos saber las coordenadas de dos de los puntos por donde pasa dicha recta. Si nos fijamos en la gráfica podemos ver que la recta pasa por los puntos (–3, 0) y (–2, –2), es decir que cuando x = –3, y = 0, y cuando x = –2, y = –2.

     

     

     

    En [–2, +∞[, ocurre lo mismo que en el anterior intervalo, y los puntos por donde pasa la recta son (–2, –2) y (0, 0), por tanto:

     

     

    Expresión analítica de la función:

     

     

  • Representación gráfica de una función. Estudio e interpretación 03

     

    La gráfica que se da a continuación indica la evolución de un valor de la bolsa (en el eje vertical en miles de euros por acción) durante una jornada.

     

     

    a)      ¿Qué mide la variable independiente? ¿Y la dependiente?

     

    b)      Indica el dominio y recorrido de esta gráfica.

     

    c)      ¿Cuál fue el precio de salida del valor? ¿Y su precio al finalizar la jornada?

     

    d)      Estudia el crecimiento de la evolución del valor bursátil.

     

    e)      ¿A qué hora alcanzó el valor su mayor precio? ¿Y menor?

     

     

    Solución:

     

    a)      La variable independiente es t y mide las horas del día. La variable dependiente mide el valor en miles de euros de una acción.

     

    b)      El domino de la gráfica va desde las diez horas hasta las dieciséis horas, es decir, desde la diez de la mañana has las cuatro de la tarde. El recorrido va desde menos dos hasta las seis (los puntos más bajo y más alto, respectivamente, según el eje de ordenadas).

     

    c)      El precio de salida es el que tenía la acción al comienzo de la sesión, o sea, a las diez horas y era de 4.000€. Su precio al finalizar la jornada, es decir, a las 16 horas era de 2.000€ .

     

    d)      La acción aumenta su valor entre las 10 y las 10,5; después entre las 11 y las 11,5 y por último entre las 13 y las 15.

     

    e)      El valor máximo de la acción (6.000€) se alcanzó a las 11,5 horas y su valor mínimo  (–2000€) tuvo lugar a las 13 horas.