Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Representación gráfica de una función 02

     

    Representa gráficamente las siguientes funciones, hallando los puntos donde cortan a los ejes y las coordenadas de sus vértices:

     

    a)      f(x) = –x2 + 2x +3

     

    b)      g(x) = x2 – 3x – 4  

     

     

    Solución:

     

    Ambas funciones son polinómicas, por tanto sus respectivos dominios son todos los números reales y por ser de segundo grado, tendrán, cada una de ellas, como gráfica una parábola.

     

    a)      Puntos de corte con los ejes:

     

    Con el eje X:

    f (x) = 0 → –x2 + 2x + 3 = 0

     

     

     

    con el eje Y:

     

    x = 0 → f (0) = 0 + 0 + 3 = 3 → (0, 3) 

     

    Vértice de la parábola:

     

     

    Tabla de valores:

     

     

    Representación gráfica:

     

     

    Según la figura podemos observar que se puede dibujar una de las ramas de la parábola, (tomando los valores de x menores que el del vértice, o los mayores según se prefiera), y por simetría se pueden hallar los puntos de la otra rama (los que están enfrente y a la misma distancia del eje de simetría)

     

    b)      Punto de corte con los ejes:

     

    Con el eje X:

     

    g (x) = 0 → x2 – 3x – 4 = 0

     

     

     

    Con el eje Y:

     

    x = 0 → g (0) = 0 – 0 – 4 = –4 → (0, –4) 

     

    Vértice:

     

     

    Tabla de valores:

     

     

    Representación gráfica:

     

     

     

  • Representación gráfica de una función 01

     

    Representa las siguientes rectas señalando los puntos de corte con los ejes:

     

     

    Solución:

     

    a)      Primero debemos hallar el dominio de la función, que en este caso, por ser una función polinómica, su dominio es todos los números reales.

     

    Ahora tenemos que formar la tabla de valores, para lo cual ha de tenerse en cuenta que, en esta ocasión, al ser una función polinómica de primer grado su gráfica es una recta, por tanto con dos puntos tenemos suficiente para representarla.

     

    x = 1 → y = 2 – 1 = 1

     

    x = –1 → y = 2 – (–1) = 2 + 1 = 3

     

    Puntos de corte:

     

    Los puntos de corte de la función con el eje Y tienen por abscisa, x = 0, por tanto:

     

    x = 0 → y = 2 – 0 = 2 → P1 (0, 2)

     

    Los puntos de corte de la función con el eje X tienen por ordenada, y = 0, luego:

     

    y = 0 → 0 = 2 – x  → x = 2 → P2 (2, 0)

     

    Tabla de valores:

     

     

     

    Representación gráfica:

     

     

    b)      Primero despejamos y: 

     

    x + y = –1 → y = –x – 1

     

    Se trata de una función polinómica de primer grado, cuyo dominio es todos los números reales y su grafica es una recta.

     

    x = –2 → y = – (–2) –1 = 2 – 1 = 1

     

    x = 2 → y = –2 – 1 = –3

     

    Puntos de corte:

     

    Con el eje Y:

     

    x = 0 → y = 0 – 1 = –1 → P1 (0, –1)

     

    Con el eje X:

     

    y = 0 → 0 = –x – 1  → x = –1 → P2 (–1, 0)

     

    Tabla de valores:

     

     

     

    Representación gráfica:

     

     

  • Combinaciones ordinarias 03

     

    Cómo se pueden elegir 4 novelas de un estante en el que hay 7 novelas policíacas y 5 de ciencia ficción, si:

     

    a)      Pueden ser de cualquier tema.

     

    b)      Deben ser dos policíacas y dos de ciencia ficción.

     

    c)      Las cuatro son del mismo tema.

     

    d)      Al menos una debe ser policíaca.

     

     

     

    Solución:

     

    Para averiguar si se trata de variaciones, permutaciones, etc, debemos hacer las siguientes preguntas:

     

    1ª ¿Afecta el orden?

     

    No, ya que, por ejemplo, el grupo formado por las novelas P1P2C1P3, será el mismo que el formado por C1P3P2P1, ya que son las mismas novelas.

     

    Por tanto se trata de combinaciones. 

     

    2ª ¿Se pueden repetir los elementos?

     

    No, pues las novelas escogidas han de ser distintas, pues una misma novela no puede estar al mismo tiempo dos veces en el mismo grupo.

     

    Conclusión: Se trata de combinaciones ordinarias.

     

     

     

    a)      Debemos tomar 4 novelas de un total de doce, por tanto:

     

     

    Se pueden elegir de 495 formas diferentes.

     

    b)      En este caso han de ser 2 novelas de cada clase.

     

    Formas de escoger 2 novelas policíacas de un total de 7:

     

     

     

    Formas de escoger 2 novelas de ciencia ficción de un total de 5:

     

     

    Como cada uno de los 21 subgrupos del primer tipo puede completarse con cualquiera de los 10 del segundo tipo, el número total será:

     

    21·10 = 210

     

    Se pueden elegir de 210 formas diferentes.

     

    c)      Ahora las cuatro han de ser del mismo tema.

     

    Formas de escoger 4 novelas policíacas de un total de 7:

     

     

     

    Formas de escoger 4 novelas de ciencia ficción de un total de 5:

     

     

    En este caso no se pueden completar un grupo con el otro, pues las cuatro novelas deben ser del mismo tema, por tanto el número total será:

     

    35 + 5 = 40

     

    Se pueden elegir de 40 formas diferentes.

     

    d)      Al menos una, quiere decir una como mínimo, por tanto veremos en cuantos casos no entra ninguna novela policíaca y el resultado se lo restaremos al total de las diferentes formas que se pueden hacer con todas las novelas.

     

    Según el apartado anterior hay 5 formas de escoger 4 novelas que no son policíacas, es decir, que únicamente son de ciencia ficción, y como en total se pueden escoger 495 (apartado a)), se pueden elegir 490 (495 – 5) formas diferentes en las que al menos hay una novela policíaca.

     

       

     

     

  • Dominio de una función 03

     

    Halla el dominio de:

     

     

    Solución:

     

    a)      Para hallar el dominio de la función:

     

     

     

    hemos de tener en cuenta que no existen los logaritmos de cero, ni de los números negativos y que el  denominador de una fracción nunca se puede hacer igual a cero, por tanto:

     

     

    Calculamos las raíces o soluciones del numerador y del denominador de la fracción:

     

     

    Ahora estudiamos el signo de cada uno de los factores y el de la fracción.

     

     

    Las celdas en donde aparece como resultado “No tiene solución”, es debido a que uno de los factores del denominador es igual a cero.

     

    Por tanto, como la fracción ha de ser mayor que cero, la solución se encuentra en los intervalos cuyo signo es positivo.

     

     

     

    b)      En ese caso podemos descomponer la función:

     

     

    y luego hallar la intersección de los dominios respectivos.

     

     

    El dominio de f(x) son las soluciones cuyas celdas están sombreadas arriba y abajo, o sea:

     

     

     

  • Dominio de una función 02

     

    Halla el dominio de las siguientes funciones:

     

     

    Solución:

    a)      No existe un valor de x que impida realizar la operación dada, por tanto:

     

     

    b)      Para realizar este apartado, debemos recordar que no existen los logaritmos de números menores o igual a cero, por tanto:

     

     

    c)      En este caso se debe cumplir que:

     

     

    pues, el denominador de una fracción no se puede anular, y además, como ya se ha dicho en el apartado anterior, no existen los logaritmos de los números negativos ni del cero. Ahora, estudiaremos el signo de la fracción para saber dónde es mayor que cero, es decir, positiva.

     

    La solución del numerador es x = –3 y la del denominador es x = 0.

     

     

     

    La fracción es positiva en el primer y tercer intervalo, luego:

     

     

    d)      En este caso x +3 > 0 y 1 – x > 0, ya que, como ya se ha dicho en los apartados anteriores, no existen los logaritmos de cero ni el de números negativos y, además, log (1 – x) ≠ 0, pues no se puede anular el denominador de la fracción.

     

     

    Ahora, para saber dónde se verifican todos los anteriores resultados, hacemos el siguiente cuadro referido a los respectivos intervalos y tomaremos la intersección de los mismos. 

     

     

     

    (Los intervalos cuyas columnas están todas sombreadas)