Límite de una sucesión 02

Dada  la sucesión:

a)      Estudia su crecimiento o decrecimiento y demuéstralo.

b)      Estudia, intuitivamente, su límite, demuéstralo aplicando la definición y aplica el resultado obtenido para un valor que tú creas oportuno de la constante, explicando el resultado obtenido.

Solución:

a)      Veamos el valor de algunos términos, para estudiar el crecimiento decrecimiento de la sucesión:

Aparentemente la sucesión es creciente.

Demostración:

Si:

la sucesión es creciente.

Si:

la sucesión es estrictamente creciente.

Si:

la sucesión es decreciente.

ya que:

Por tanto la sucesión es estrictamente creciente.

b)      Intuitivamente:

Demostración:

Una sucesión a tiene límite L si a partir de un cierto término a_n es |a_n – L| < ε, para cualquier número real positivo ε.

La expresión obtenida indica que todos los términos de la sucesión de orden mayor que:

cumplen la condición inicial.

Dos cosas importantes, la primera es que el valor de n depende del valor que se le asigne a ε, y la segunda es que siempre se debe calcular el valor absoluto de la diferencia entre a_n y L, con el fin de conseguir que ésta sea siempre positiva.

Si, por ejemplo, ε = 0,001:

Luego a partir del término de orden 556 todos los demás difieren de 2/3 en valor absoluto, menos de 0,001.

Límite de una sucesión 01

Estudia el comportamiento de las siguientes sucesiones para términos muy avanzados e indica cuál es el límite de cada una de ellas:

Solución:

Estudiaremos, de forma intuitiva, el comportamiento y el límite de las funciones dadas, utilizando términos avanzados.

a)      Vamos a hallar el valor de los términos: 1000, 100000 y 1000000 y veremos que relación hay entre ellos.

Si nos fijamos en los resultados obtenidos, vemos que cada término es más pequeño que el anterior y que se va aproximando cada vez más al cero (1,7·10^–6 = 0,0000017), por tanto podemos decir que la sucesión es decreciente y que su límite es 0.

b)      Procederemos como en el apartado anterior, pero tomando términos pares e impares con el fin de que aparezcan ambos signos.

La sucesión es oscilante y tiene por límite cero(tanto los resultados positivos como los negativos, cada vez se aproximan más al cero).

c)

La sucesión es creciente y tiene por límite 2.

Monotonía y acotación de sucesiones 03

Sea la sucesión definida por:

a)      ¿Está acotada superiormente por 2?

b)      ¿E inferiormente por –1/2?

Solución:

a)      Si 2 es una cota superior se debe cumplir que:

lo cual es cierto para todo n. Luego la sucesión está acotada superiormente por 2.

b)      Si –1/2 es una cota inferior se debe cumplir que:

lo cual es cierto para todo n. Luego la sucesión está acotada inferiormente por –1/2.

Como está acotada superior e inferiormente la sucesión está acotada y verifica que, para todo número natural n:

Monotonía y acotación de sucesiones 02

Estudia la monotonía de la sucesión definida por:

Solución:

Para resolver este problema debemos tener en cuenta que:

Si:

la sucesión es decreciente.

Si:

la sucesión es creciente.

(N* es el conjunto de los números naturales sin el cero)

Luego, lo primero que haremos es buscar la expresión del término a_n+1, para lo cual sustituiremos en a_n, n por n + 1.

pues:

ya que:

Por tanto la sucesión es creciente.

Monotonía y acotación de sucesiones 01

Estudia la monotonía de la sucesión definida por:

Solución:

Para realizar este problema debemos recordar que:

Si:

la sucesión es creciente.

Si:

la sucesión es estrictamente creciente.

Si:

la sucesión es decreciente.

Si:

la sucesión es estrictamente decreciente.

(N* es el conjunto de los números naturales sin el cero)

Por tanto, lo primero que haremos es hallar la expresión del término a_n+1, para lo cual sustituiremos en a_n, n por n + 1.

ya que:

Por tanto la sucesión es estrictamente creciente.