
-
Límite de una sucesión 02
Dada la sucesión:
a) Estudia su crecimiento o decrecimiento y demuéstralo.
b) Estudia, intuitivamente, su límite, demuéstralo aplicando la definición y aplica el resultado obtenido para un valor que tú creas oportuno de la constante, explicando el resultado obtenido.
Solución:
a) Veamos el valor de algunos términos, para estudiar el crecimiento decrecimiento de la sucesión:
Aparentemente la sucesión es creciente.
Demostración:
Si:
la sucesión es creciente.
Si:
la sucesión es estrictamente creciente.
Si:
la sucesión es decreciente.
ya que:
Por tanto la sucesión es estrictamente creciente.
b) Intuitivamente:
Demostración:
Una sucesión a tiene límite L si a partir de un cierto término an es |an – L| < ε, para cualquier número real positivo ε.
La expresión obtenida indica que todos los términos de la sucesión de orden mayor que:
cumplen la condición inicial.
Dos cosas importantes, la primera es que el valor de n depende del valor que se le asigne a ε, y la segunda es que siempre se debe calcular el valor absoluto de la diferencia entre an y L, con el fin de conseguir que ésta sea siempre positiva.
Si, por ejemplo, ε = 0,001:
Luego a partir del término de orden 556 todos los demás difieren de 2/3 en valor absoluto, menos de 0,001.
-
Límite de una sucesión 01
Estudia el comportamiento de las siguientes sucesiones para términos muy avanzados e indica cuál es el límite de cada una de ellas:
Solución:
Estudiaremos, de forma intuitiva, el comportamiento y el límite de las funciones dadas, utilizando términos avanzados.
a) Vamos a hallar el valor de los términos: 1000, 100000 y 1000000 y veremos que relación hay entre ellos.
Si nos fijamos en los resultados obtenidos, vemos que cada término es más pequeño que el anterior y que se va aproximando cada vez más al cero (1,7·10–6 = 0,0000017), por tanto podemos decir que la sucesión es decreciente y que su límite es 0.
b) Procederemos como en el apartado anterior, pero tomando términos pares e impares con el fin de que aparezcan ambos signos.
La sucesión es oscilante y tiene por límite cero(tanto los resultados positivos como los negativos, cada vez se aproximan más al cero).
c)
La sucesión es creciente y tiene por límite 2.
-
Monotonía y acotación de sucesiones 03
Sea la sucesión definida por:
a) ¿Está acotada superiormente por 2?
b) ¿E inferiormente por –1/2?
Solución:
a) Si 2 es una cota superior se debe cumplir que:
lo cual es cierto para todo n. Luego la sucesión está acotada superiormente por 2.
b) Si –1/2 es una cota inferior se debe cumplir que:
lo cual es cierto para todo n. Luego la sucesión está acotada inferiormente por –1/2.
Como está acotada superior e inferiormente la sucesión está acotada y verifica que, para todo número natural n:
-
Monotonía y acotación de sucesiones 02
Estudia la monotonía de la sucesión definida por:
Solución:
Para resolver este problema debemos tener en cuenta que:
Si:
la sucesión es decreciente.
Si:
la sucesión es creciente.
(N* es el conjunto de los números naturales sin el cero)
Luego, lo primero que haremos es buscar la expresión del término an+1, para lo cual sustituiremos en an, n por n + 1.
pues:
ya que:
Por tanto la sucesión es creciente.
-
Monotonía y acotación de sucesiones 01
Estudia la monotonía de la sucesión definida por:
Solución:
Para realizar este problema debemos recordar que:
Si:
la sucesión es creciente.
Si:
la sucesión es estrictamente creciente.
Si:
la sucesión es decreciente.
Si:
la sucesión es estrictamente decreciente.
(N* es el conjunto de los números naturales sin el cero)
Por tanto, lo primero que haremos es hallar la expresión del término an+1, para lo cual sustituiremos en an, n por n + 1.
ya que:
Por tanto la sucesión es estrictamente creciente.
Comentarios recientes