Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Límite de una sucesión 02

     

    Dada  la sucesión:

     

     

    a)      Estudia su crecimiento o decrecimiento y demuéstralo.

     

    b)      Estudia, intuitivamente, su límite, demuéstralo aplicando la definición y aplica el resultado obtenido para un valor que tú creas oportuno de la constante, explicando el resultado obtenido.

     

     

    Solución:

     

    a)      Veamos el valor de algunos términos, para estudiar el crecimiento decrecimiento de la sucesión:

     

     

    Aparentemente la sucesión es creciente.

     

    Demostración:

    Si:

     

     

    la sucesión es creciente.

     

    Si:

     

     

    la sucesión es estrictamente creciente.

     

    Si:

     

     

    la sucesión es decreciente.

     

     

    ya que:

     

     

    Por tanto la sucesión es estrictamente creciente.

     

    b)      Intuitivamente:

     

     

    Demostración:

     

    Una sucesión a tiene límite L si a partir de un cierto término an es |an – L| < ε, para cualquier número real positivo ε.

     

     

     

     

    La expresión obtenida indica que todos los términos de la sucesión de orden mayor que:

     

     

     

    cumplen la condición inicial.

     

    Dos cosas importantes, la primera es que el valor de n depende del valor que se le asigne a ε, y la segunda es que siempre se debe calcular el valor absoluto de la diferencia entre an y L, con el fin de conseguir que ésta sea siempre positiva.

     

    Si, por ejemplo, ε = 0,001:

     

     

     

    Luego a partir del término de orden 556 todos los demás difieren de 2/3 en valor absoluto, menos de 0,001.

     

     

     

     

  • Límite de una sucesión 01

     

    Estudia el comportamiento de las siguientes sucesiones para términos muy avanzados e indica cuál es el límite de cada una de ellas:

     

     

     

    Solución:

    Estudiaremos, de forma intuitiva, el comportamiento y el límite de las funciones dadas, utilizando términos avanzados.

    a)      Vamos a hallar el valor de los términos: 1000, 100000 y 1000000 y veremos que relación hay entre ellos.

     

     

    Si nos fijamos en los resultados obtenidos, vemos que cada término es más pequeño que el anterior y que se va aproximando cada vez más al cero (1,7·10–6 = 0,0000017), por tanto podemos decir que la sucesión es decreciente y que su límite es 0.

     

    b)      Procederemos como en el apartado anterior, pero tomando términos pares e impares con el fin de que aparezcan ambos signos.

     

     

     

    La sucesión es oscilante y tiene por límite cero(tanto los resultados positivos como los negativos, cada vez se aproximan más al cero).

     

    c)

           

     

     

    La sucesión es creciente y tiene por límite 2.

     

     

  • Monotonía y acotación de sucesiones 03

     

    Sea la sucesión definida por:

     

     

    a)      ¿Está acotada superiormente por 2?

     

    b)      ¿E inferiormente por –1/2?

     

     

    Solución:

     

    a)      Si 2 es una cota superior se debe cumplir que:

     

     

    lo cual es cierto para todo n. Luego la sucesión está acotada superiormente por 2.

     

    b)      Si –1/2 es una cota inferior se debe cumplir que:

     

     

    lo cual es cierto para todo n. Luego la sucesión está acotada inferiormente por –1/2.

     

    Como está acotada superior e inferiormente la sucesión está acotada y verifica que, para todo número natural n:

     

     

     

  • Monotonía y acotación de sucesiones 02

     

    Estudia la monotonía de la sucesión definida por:

     

     

     

    Solución:

     

    Para resolver este problema debemos tener en cuenta que:

     

    Si:

     

     

    la sucesión es decreciente.

     

    Si:

     

     

    la sucesión es creciente.

     

    (N* es el conjunto de los números naturales sin el cero)

     

    Luego, lo primero que haremos es buscar la expresión del término an+1, para lo cual sustituiremos en an, n por n + 1.

     

     

    pues:

     

    ya que:

     

     

    Por tanto la sucesión es creciente.

     

     

  • Monotonía y acotación de sucesiones 01

     

    Estudia la monotonía de la sucesión definida por:

     

     

     

    Solución:

     

    Para realizar este problema debemos recordar que:

     

    Si:

     

     

    la sucesión es creciente.

     

    Si:

     

     

    la sucesión es estrictamente creciente.

     

    Si:

     

     

    la sucesión es decreciente.

     

    Si:

     

     

     

    la sucesión es estrictamente decreciente.

     

    (N* es el conjunto de los números naturales sin el cero)

     

    Por tanto, lo primero que haremos es hallar la expresión del término an+1, para lo cual sustituiremos en an, n por n + 1.

     

     

    ya que:

     

     

    Por tanto la sucesión es estrictamente creciente.