Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Ángulo formado por dos rectas 01

     

    ¿Qué ángulo forman las rectas r: y = 3x – 5, s: y = –4x + 2?

     

    Solución:

    Según la figura:

     

    α = β – γ

     

    De trigonometría se tiene que:

    Como la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo que forma con la horizontal, tenemos que:

     

     

    Pendiente de r:

     

    mr = 3

     

    Pendiente de s:

     

    m3 = –4

     

    Ángulo formado por ambas rectas:

     

     

    El signo negativo nos indica que el ángulo está medio en sentido de las agujas del reloj.

     

    También se puede hacer aplicando el producto escalar de los vectores normales o asociados a las rectas dadas:

     

     

    Los ángulos α son iguales por tener sus lados perpendiculares.

     

     

  • Distancia entre dos rectas 01

     

    Calcula la distancia ente las rectas r: 3x – 5y + 2 = 0; s: 3x – 5y +1 = 0.

     

     

    Solución:

     

     

    Como los coeficientes de x e y son iguales, ambas rectas son paralelas, luego la distancia que hay entre ellas, es la misma que la distancia que existe entre un punto de una de las rectas y la otra.

     

     

     

    Para hallar las coordenadas del punto A, daremos un valor cualquiera a una de las incógnitas de r y obtendremos las otra, por ejemplo: x = 1.

     

    3 · 1 – 5y + 2 = 0 → – 5y + 5 = 0 → y = 1   

     

    A(1, 1)

     

     Ahora se puede aplicar la fórmula de la distancia de un punto a una recta.

     

    También se puede resolver hallando la recta que pasa por A y es perpendicular a r. Después se halla el punto de corte con s, de la recta hallada y la distancia entre este punto y el punto A, es la distancia que existe entre las dos rectas.

     

     

    La ecuación de una recta perpendicular a otra, se puede obtener intercambiando los coeficientes de x e y de la recta conocida, cambiando de signo a uno de ellos.

     

    Ecuación de la recta perpendicular a r:

     

     t: 5x + 3y + C = 0

     

    Para hallar el valor de C, debemos tener en cuenta que la recta hallada debe pasar por A.

     

    5 · 1 + 3 · 1 + C = 0 → C = –8 → 5x + 3y – 8  = 0

     

    Punto de corte entre la recta hallada y s:

     

     

     

    Coordenadas del punto de corte de t y s:

     

    B(37/34, 29/34)

     

    La distancia del punto A a B es la distancia que hay entre las rectas r y s.

     

     

     

     

     

  • Distancia de un punto a una recta 02

     

    Un paralelogramo ABCD tiene tres vértices consecutivos en los puntos de coordenadas A(0, 1), B(1, –1) y C(4, 2). Calcula el punto D, el ángulo que forman las diagonales, y el área del paralelogramo ABCD.

     

     

    Solución:

    Sea D el punto de coordenadas D(x, y). Por tratarse de un paralelogramo:

     

     

    Ángulo que forman las diagonales:

     

     

    Hemos hallado el ángulo obtuso, el agudo es:

     

    Β = 180º – 125º 50’ 16” = 54º 9’ 44”

     

    Área o superficie del paralelogramo:

     

     

    La altura del paralelogramo es la distancia que hay del punto C a la recta r, siendo r la recta que pasa por los puntos A y B.

     

    Ecuación punto pendiente de r:

     

    y = 1 + m (x – 0) → y = 1 + m x

     

    Pendiente de r:

     

    m = (–1 – 1)/(1 – 0) = –2

     

    Ecuación general de r:

     

    y = 1 – 2x → 2x + y – 1 = 0 

     

     

     

  • Distancia de un punto a una recta 01

     Dado el punto P (1, –3), ¿cuánto dista de la recta determinada por los puntos: A (2, 1) y B (0, 1)?

     

    Solución:

     

    La recta r que pasa  por los puntos A y B tiene igual la ordenada, luego su ecuación es: y = 1. En forma general: y – 1 = 0.

     

     

     

     

     

    También se puede hacer de la siguiente forma:

     

     

    Sea t la recta perpendicular a r y que pasa por P:

     

     

    Ecuación de la recta t:

     

    Según la gráfica:

     

    x = 1 → x – 1 = 0

     

    O también:

     

    Ecuación punto pendiente de t:

     

    y = y0 + m (x – x0)

     

    Como ha de pasar por P:

     

    y = –3 + m (x – 1)

     

    Al ser perpendicular a r:

     

    m = –1/0 → y = –3 – (1/0) (x – 1) → y + 3 = – (1/0) (x – 1)

     

    0 = – x + 1 → t: x – 1 = 0

     

    Punto de corte de r y t:

     

    Según la gráfica:

     

    Q (1, 1)

     

    La distancia del punto P a la recta r, es la distancia que hay entre los puntos P y Q.

     

     

       

  • Rectas secantes 03

     
    Justifica (no sólo mediante el dibujo) si forman triángulo las siguientes rectas:
     
    r: y = x –5                    s: (x, y) = (–1, 3) + t ( 2, 4)                   l: x + y = 5
     
    En caso afirmativo, calcula las coordenadas de cada uno de los vértices.
     
     
    Solución:
     
    Pasemos a general las ecuaciones de las tres rectas.
     
     
    Posición relativa de las tres rectas.
     
     
    r y s son secantes.
     
     
    r y l son secantes.
     
     
    s y l son secantes.
     
    Como no hay dos rectas que sean paralelas las tres rectas forman un triángulo, siempre que no se corten en el mismo punto.
     
    Los vértices del triángulo son los puntos de corte de cada dos rectas.