Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Resolución de triángulos cualesquiera. Aplicaciones 02

     
    Un barco situado en un punto A detecta mediante su radar otros dos barcos B y C distantes de él 6 y 8 millas respectivamente, de modo que el ángulo BAC es igual a 75º. Si el radar del barco B tiene un alcance máximo de 9 millas, ¿habrá localizado al barco C?
     
     
    Solución:
     

     

    Datos: c = 6 millas; b = 8 millas; A = 75º
     
    Como conocemos la longitud de dos de los lados que forman el triángulo y el ángulo comprendido entre ellos, utilizaremos teorema de los cosenos para saber la distancia que existe entre los barcos situado en B y C.
     
    Por el teorema de los cosenos tenemos:
     

     

    Como la distancia entre los barcos situados en B y C (a = 8,67 millas) es menor que el alcance del radar del barco que se encuentra en B ( 9 millas), sí le habrá localizado.

     

     

  • Resolución de triángulos cualesquiera. Aplicaciones 01

     
    Un jugador de fútbol ve la portería bajo un ángulo de 60º cuando se encuentra a una distancia de 5 metros y 8 metros de los postes. Calcula la anchura de la portería.
     
     
    Solución:
     

     

    Como conocemos la longitud de dos de los lados que forman el triángulo y el ángulo comprendido entre ellos, utilizaremos teorema de los cosenos para saber la anchura de la portería (a):

     

     

    La portería tiene 7 metros de anchura.
     
     
     
  • Resolución de triángulos cualesquiera 02

     
    a)   Resuelve el triángulo cuyos lados miden a = 4 cm, b = 5 cm y c = 6 cm.
     
    b)      Calcula su área.
     
     
    Solución:
     
    Datos: a = 4 cm, b = 5 cm y c = 6 cm
     
    a)  Como ya se dijo en un problema anterior, resolver un triángulo es hallar la longitud de sus lados y el tamaño de sus ángulos.
     
    En este caso ya conocemos la primera parte, es decir, los lados y nos falta saber el valor de sus ángulos. Para hallar uno de ellos, utilizaremos el teorema de los cosenos.  

     

     a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

     
    42 = 52 + 62 – 2 · 5 · 6 · cos A
     
    16 = 25 + 36 – 60 cos A
     
    60 cos A = 25 + 36 – 16

    60 cos A = 45

    cos A = 45 / 60 → A = arc cos (45/60) = 41,4º
     
    Ahora, para hallar otro de los ángulos utilizaremos el teorema de los senos:
     

     Para hallar el valor del último ángulo, debemos recordar que la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º. Por tanto:

     
    C = 180º – (41,4º + 55,8º) = 82,8º 
     

    b)  Área del triángulo:

     

    Ar = c · h / 2
     
    Para poder hallar el área nos falta saber el valor de la altura (h).
     

     

    sen B = h / a → h = a · sen B
     
    h = 4 · 0,8266 = 3,3 cm
     
    Ar = 6 · 3,3 / 2 = 9,9 cm2
     
     
     

     

     

     
     
     
  • Resolución de triángulos cualesquiera 01

     
    Resuelve el siguiente triángulo: a = 8 m, B = 30º, C = 45º y halla el área del mismo.
     
     
    Solución:
     
    Datos: a = 8 m, B = 30º, C = 45º
     
     
    Para hallar el valor del tercer ángulo, debemos recordar que la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º.
     
    A = 180º – (30º + 45º) = 105º
     
    Ahora utilizaremos el teorema de los senos para hallar la longitud de los otros dos lados del triángulo.

     

    Teorema de los senos:

     

    Área del triángulo:

     

     

  • Resolución de triángulos rectángulos. Aplicaciones 03

     
    Un observador situado a la orilla de un río, ve un árbol situado en la otra orilla bajo un ángulo de 60º. Alejándose 20 metros lo ve bajo un ángulo de 40º. Halla la altura del árbol y la anchura del río.
     
    Solución:
     

     

    Como el dato y las incógnitas se encuentran en los catetos de los triángulos rectángulos, utilizaremos la tangente de los ángulos, para plantear un sistema de dos ecuaciones, para poder resolver el problema.

     

    La altura del árbol es 32,7 metros y la anchura del río 18,9 metros.