El Sapo Sabio
Ejercicios resueltos de Matemáticas

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Ecuaciones trigonométricas 05
Resuelve la ecuación: cos x · cos 2x + 2 cos2 x = 0.Solución:Para resolver este tipo de ecuaciones es conveniente, primero, poner la ecuación en función del mismo ángulo, en este caso en función de x, y, después, en función del seno o del coseno de x.Para conseguir lo primero, utilizaremos la ecuación del coseno del ángulo doble:cos 2x = cos2 x – sen2 xSustituyendo en la ecuación inicial, la tendremos en función del ángulo x.cos x · (cos2 x – sen2 x) + 2 cos2 x = 0Ahora, utilizaremos la ecuación fundamental de la trigonometría: sen2 x + cos2 x = 1, de la que despejaremos sen2 x y sustituiremos en la anterior ecuación, con el fin de que se quede en función del coseno de x.cos x · [cos2 x – (1 – cos2 x)] + 2 cos2 x = 0cos x · (cos2 x – 1 + cos2 x) + 2 cos2 x = 0cos x · (2 cos2 x – 1) + 2 cos2 x = 02 cos3 x – cos x + 2 cos2 x = 0Haciendo el cambio: cos x = t y sustituyendo en la anterior ecuación se obtiene la siguiente expresión:2 t3 + 2 t2 – t = 0 → t (2 t2 + 2 t – 1) = 0Una de las soluciones es: t = 0 y las otras se pueden obtener de: 2 t2 + 2 t – 1 = 0Las dos soluciones se repiten cada 360º que es el período del coseno de un ángulo.Estos dos resultados se pueden incluir en uno único: -
Identidades trigonométricas y simplificación 03
Prueba que:
Solución:
Para realizar este tipo de problemas, es conveniente expresar todas las razones trigonométricas en función del seno o del coseno de x. -
Identidades trigonométricas y simplificación 02
Simplifica las siguientes expresiones:
Solución:
a)
b)
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Identidades trigonométricas y simplificación 01
Estudia si es verdadera o falsa la siguiente igualdad:Solución:Para realizar este tipo de problemas, es aconsejable expresar todas las razones trigonométricas en función del seno o del coseno del ángulo.La igualdad es verdadera. -
Transformación de sumas en productos y viceversa 02
Halla:
a) cos 75º + cos 15ºb) sen 75º – sen 15ºSolución:a) Suma de coseno:En este caso: α = 75º y β = 15º, por tanto:b) Diferencia de senos:En este caso: α = 75º y β = 15º, luego:
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