El Sapo Sabio » 2010 » marzo

Ecuaciones trigonométricas 05

Resuelve la ecuación: cos x · cos 2x + 2 cos² x = 0.

Solución:

Para resolver este tipo de ecuaciones es conveniente, primero, poner la ecuación en función del mismo ángulo, en este caso en función de x, y, después, en función del seno o del coseno de x.

Para conseguir lo primero, utilizaremos la ecuación del coseno del ángulo doble:

cos 2x = cos² x – sen² x

Sustituyendo en la ecuación inicial, la tendremos en función del ángulo x.

cos x · (cos² x – sen² x) + 2 cos² x = 0

Ahora, utilizaremos la ecuación fundamental de la trigonometría: sen² x + cos² x = 1, de la que despejaremos sen² x y sustituiremos en la anterior ecuación, con el fin de que se quede en función del coseno de x.

cos x · [cos² x – (1 – cos² x)] + 2 cos² x = 0

cos x · (cos² x – 1 + cos² x) + 2 cos² x = 0

cos x · (2 cos² x – 1) + 2 cos² x = 0

2 cos³ x – cos x + 2 cos² x = 0

Haciendo el cambio: cos x = t y sustituyendo en la anterior ecuación se obtiene la siguiente expresión:

2 t³ + 2 t² – t = 0 → t (2 t² + 2 t – 1) = 0

Una de las soluciones es: t = 0 y las otras se pueden obtener de: 2 t² + 2 t – 1 = 0

Las dos soluciones se repiten cada 360º que es el período del coseno de un ángulo.

Estos dos resultados se pueden incluir en uno único:

La solución:

no es válida ya que el coseno de un ángulo no puede ser menor que –1.

Si:

Las dos últimas soluciones son debidas a que el coseno de los ángulos del primer cuadrante y del cuarto son iguales.
Identidades trigonométricas y simplificación 03

Prueba que:

Solución:

Para realizar este tipo de problemas, es conveniente expresar todas las razones trigonométricas en función del seno o del coseno de x.
Identidades trigonométricas y simplificación 02

Simplifica las siguientes expresiones:

Solución:

a)

b)
Identidades trigonométricas y simplificación 01

Estudia si es verdadera o falsa la siguiente igualdad:

Solución:

Para realizar este tipo de problemas, es aconsejable expresar todas las razones trigonométricas en función del seno o del coseno del ángulo.

La igualdad es verdadera.
Transformación de sumas en productos y viceversa 02

Halla:

a) cos 75º + cos 15º

b) sen 75º – sen 15º

Solución:

a) Suma de coseno:

En este caso: α = 75º y β = 15º, por tanto:

b) Diferencia de senos:

En este caso: α = 75º y β = 15º, luego:
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