Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos 01

     
    Si α es un ángulo del cuarto cuadrante cuyo coseno vale 3/5, calcula el valor de cos (α + 30º).
     
     
    Solución:
     
    Coseno de la suma de ángulos:
     
    cos (α + β) = cos α · cos β – sen α · sen β
     
    En este problema: β = 30º, por tanto:
     
     
    Falta saber el valor del seno de α, para ello utilizamos la ecuación fundamental de la Trigonometría.
     

     

     

     

  • Ecuaciones trigonométricas 04

     
    Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:
     
    a)      sen 3x = – 1
     
    b)      2 cos x = 3 tg x
     
    c)      2 cos2 x = 2 – sen x
     
    d)      tg x + 3 ctg x = 4
     
    e)      3 sec x – 4 = 4 cos x
     
     
    Solución:
     
    a)      sen 3x = – 1
    sen 3x = – 1 → 3x = arc sen (– 1) = 270º + 360 º k
     
     
    b)      2 cos x = 3 tg x
     
    2 cos x = 3 (sen x / cos x) → 2 cos x · cos x = 3 sen x → 2 cos2 x = 3 sen x
     
    2 (1 – sen2 x) = 3 sen x → 2 – 2 sen2 x = 3 sen x → –2 sen2 x – 3 sen x + 2 = 0
     
     2 sen2 x + 3 sen x – 2 = 0
     
    Haciendo sen x = t, se obtiene la siguiente ecuación:
     
    2 t2 + 3 t – 2 = 0
     
     
    La solución t = 2 no es valida, porque daría: sen x = – 2 y el seno de un ángulo nunca puede ser menor que –1.
     
     
    Hay dos soluciones porque el seno de los ángulos del primer cuadrante y el seno de los ángulos del segundo cuadrante son iguales.
     
    c)      2 cos2 x = 2 – sen x
     
    2 cos2 x = 2 – sen x → 2 (1 – sen2 x) = 2 – sen x → 2 – 2 sen2 x = 2 – sen x
     
      2 sen2 x + sen x = 0 → sen x (– 2 sen x + 1) = 0
     
    De la última ecuación se obtienen dos soluciones:
     
     sen x = 0 y – 2 sen x + 1 = 0 → – 2 sen x = – 1 → sen x = 1/2
     
    De la primer solución se obtiene:
     
     
    Estos dos resultados se pueden englobar en uno: x = 180º k
     
    De la segunda solución:
     
     
    Los dos resultados son debidos a que el seno de los ángulos del primer cuadrante y seno de los ángulos del segundo cuadrante son iguales.
     
    d)      tg x + 3 ctg x = 4
     
    tg x + 3 ctg x = 4 → tg x + 3 (1 / tg x) = 4 → tg2 x + 3 = 4 tg x
     
    tg2 x – 4 tg x + 3 = 0  
     
    Ahora se hace tg x = t y se obtiene la siguiente ecuación:
     
    t2 – 4 t +3 = 0
     
     
    Deshaciendo el cambio:
     
     
    e)      3 sec x – 4 = 4 cos x
     
    3 sec x – 4 = 4 cos x → 3 (1 / cos x) – 4 = 4 cos x
     
    Multiplicando todos los términos de la última ecuación por cos x, se obtiene:
     
    3 – 4 cos x = 4 cos2 x → 4 cos2 x + 4 cos x – 3 = 0
     
    Haciendo el cambio: cos x = t, tenemos la siguiente ecuación de segundo grado:
     
    4 t2 + 4 t – 3 = 0
     
    cuya solución es:
     
     
    La solución t = 3/2 no es valida, porque resultaría que el coseno del ángulo es menor que menos uno, cosa que nunca puede ser.
     
    El seno y el coseno de un ángulo nunca pueden ser mayores que 1 ni menores que –1.
     
     
    Hay dos soluciones porque el coseno de los ángulos del primer cuadrante y el coseno de los ángulos del cuarto cuadrante son iguales.
     

     

     

     

     

  • Ecuaciones trigonométricas 03

     
    Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas:

     

     
     
    Solución:
     
    a)      tg x = 5 sen x 

     

    En este último caso tenemos dos soluciones, pues los cosenos de los ángulos del primer y cuarto cuadrante son iguales, según podemos observar en la siguiente figura:.

     

    b)  2 cos x = sec x

     
    En este caso tenemos cuatro soluciones (según la siguiente figura). Dos cuando la raíz es positiva (primer y cuarto cuadrante) y otras dos cuando la raíz es negativa (segundo y tercer cuadrante), todo lo cual se cumple cada giro de 90º, por tanto:
     

     

    Para el último caso tenemos dos soluciones, ya que los senos de los ángulos del primer y segundo cuadrante son iguales,según la siguiente figura:
     
     
    luego:
     
     

     

     

  • Ecuaciones trigonométricas 02

     

    Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:

     
    a)      sen (x + 30º) = cos x
     
    b)      2 cos x + 1 = 0
     
    c)      2 sen2 x – cos x – 1 = 0
     
     
    Solución:
     
    a)      sen (x + 30º) = cos x

     

     

    Si nos fijamos en la figura tenemos que:
     
    sen (90º – α) = a = cos α
     
    Aplicando a este problema:
     
    sen (x + 30º) = sen (90º – x)
     
    x + 30º = 90º – x
     
    x + x = 90º – 30º
     
    2 x = 60 º
     

     

    Al resultado se le añade 360º k, es decir una, dos, tres… vueltas completas, porque el valor del seno de un ángulo se repite cada giro completo, tanto si es en sentido de las agujas del reloj como si es en contra.

     

     b)      2 cos x + 1 = 0

    2 cos x + 1 = 0 → 2 cos x = – 1
     
    cos x = –1/2 → x = 120º + 360º k 
     
     
    Si nos fijamos en la figura hay otra solución, ya que el coseno de los ángulos del segundo y tercer cuadrante son iguales.
     
    x = (180º + 60º) = 240º + 360º k

     

    A los resultados se le añada 360º k (k es un número entero), pues el valor del coseno de un ángulo se repite cada vuelta completa, es decir, cada 360º y lo mismo ocurre con el seno, como ya se ha dicho en el apartado anterior.
    b)      2 sen2 x – cos x – 1 = 0
     
    Para resolver este tipo de ecuación trigonométrica necesitamos únicamente que esté en función del seno o del coseno. En este caso es más fácil ponerla en función del coseno utilizando la ecuación fundamental de la trigonometría.
     
    sen2 x + cos2 x = 1 → sen2 x = 1 – cos2
     
    Sustituyendo en la ecuación inicial, tenemos:
     
    2 (1 – cos2 x) – cos x – 1 = 0 → 2 – 2 cos2 x – cos x – 1 = 0
     
     
     
    De acuerdo con la anterior figura:
     
     

     

     

     

  • Ecuaciones trigonométricas 01

     

    Hallar todos los ángulos x comprendidos entre 0º y 360º que verifiquen:
     

     

     

     

    Solución:

    a)  Si tg x = 1, entonces x = arc tg 1 = 45º, pero las tangentes de los ángulos del primer y el tercer cuadrante son iguales, (ver la siguiente figura):

       

     
    luego existe otra solución:

    x = 180º + 45º = 225º

     

    b)  Si: cos x = –1/2, entonces x = arc cos (–1/2) = 120º = 180º – 60º, pero como los cosenos de los ángulos segundo y tercer cuadrante son iguales (ver figura):

    existe otra solución:

     x = 180º + 60º = 240º

    c)  Si:

     
     
    pero como los senos de los ángulos del tercer y cuarto cuadrante son iguales (ver figura):
     
     
    existe otra solución:
     

    x = 360º – 60º = 300º