Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Pirámide. Área y volumen 01

     
    Halla el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 25 cm de apotema de la pirámide y 14 cm de arista básica.
     
     
    Solución:
     
    Datos: ap = 25 cm; a = 14 cm
     
     
    El área total de una pirámide es igual al área lateral más el área de la base, es decir:
     
    AT = AL + AB
     
    El área lateral está formada por cuatro triángulos iguales, por tanto para hallar su valor, simplemente debemos averiguar el área de un triángulo que tienen por base la arista básica (a) y por altura la apotema de la pirámide (ap).
     

     
    El área lateral también se puede hallar aplicando la siguiente fórmula:
     
    AL = PB · ap / 2
     
    PB es el perímetro de la base.
     
    AL = (4 a) · ap / 2 = (4 · 14 cm) · 25 cm/ 2 = 700 cm2
     
    La base es un cuadrado cuyo lado es igual a la arista básica (a), luego su área es:
     
    AB = a2 = (14 cm)2 = 196 cm2
     
    Área total:
     
    AT = 700 cm2 + 196 cm2 = 896 cm2
     
    La pirámide tiene un área total de 896 cm2.
     
    El volumen de una pirámide es igual a un tercio del área de la base por su altura, es decir:
     
    V = (AB · h) / 3
     
    Para poder hallar la altura de la pirámide, aplicaremos el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que se encuentra en el interior de ella, que tiene por catetos a h y a y por hipotenusa ap.
     

     

    Volumen de la pirámide:
     
    V = (196 cm3 · 24 cm) / 3 = 1568 cm3
     
    La pirámide tiene un volumen de 1568 cm3.
     
     
     
     
  • Prisma. Área y volumen 01

     
    Halla la superficie total y el volumen de un prisma de 8 cm de altura que tiene por base un hexágono regular de 5 cm de arista.
     
     
    Solución:
     
    La superficie o área total de un prisma es igual al área lateral más el área de las dos bases, es decir:
     
    ST = SL + 2 SB

     

     

    Si nos fijamos en el desarrollo del prisma, podemos ver que el área o superficie lateral es igual a 6 rectángulos iguales, que tienen por base 5 cm y por altura 8 cm, luego:
     
    SL = 6 · 5 cm · 8 cm = 240 cm2
     
    También se puede hacer, teniendo en cuenta que el área lateral del prisma es la misma que la de un rectángulo, cuya base es igual al perímetro de la base del prisma y por altura la misma que el prisma, por tanto:

     

      SL = PB · h = (6 · 5 cm) · 8 cm = 240 cm2

     
    El área de una base del prisma (ambas son iguales) es la de un hexágono, luego es igual a un medio del perímetro del hexágono por su apotema, o sea:
     
    SB = ½ (PB · a)
     
     
    El perímetro de la base ya lo sabemos, pero ignoramos el valor de su apotema. Para hallarlo utilizaremos el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo de la figura.
     
     
     
    Superficie total del prisma:
     

    ST = 240 cm2 + 2 · 64,95 cm2 = 369,9 cm2

     

    El volumen de un prisma es igual al área de la base por la altura, es decir: 

     

     V = SB · h = 64,95 cm2 · 8 cm = 519,6 cm3

      
    El prisma tiene una superficie total de 369,9 cm2 y un volumen de 519,6 cm3.
     
     

     

     

  • Cuadriláteros. Perímetro y área 02

     
    Cada página de un libro mide 22×16 centímetros. Calcula la superficie en m2 de las 400 páginas del libro.
     

    Solución:

     

    Primero pasaremos las dimensiones dadas en cm2 a m2, teniendo en cuenta que un metro son 100 cm.
     
    16 cm2 · (m / 100 cm)2 = 0,16 m
     
    22 cm2 · (m / 100 cm)2 = 0,22 m

     

     

    Ahora calcularemos la superficie de una de las páginas, teniendo en cuenta que se trata de un rectángulo.

     

     
    S = 0,22 m2 · 0,16 m2 = 0,0352 m2
     
    Como ya sabemos lo que mide la superficie de una página y tenemos 400 páginas, el total será:
     
    ST = 400 · 0,0352 m2 = 14,08 m2
     
     
  • Cuadriláteros. Perímetro y área 01

     
    Tenemos un terreno rectangular que mide 40 metros de ancho y 50 metro de largo:
     
    a)      Cuántos árboles se pueden plantar si cada árbol necesita 5 m2 de terreno para poder desarrollarse.
     
    b)      Si queremos vallar todo el terreno, ¿cuántos metros de valla se necesitan?
     
    Solución:
     
     
    a)      Primero necesitamos saber cuántos metros cuadrados tiene el terreno, es decir, el área o superficie del rectángulo:
     
    A = 40 m · 50 m = 2000 m2
     

    Como cada árbol necesita 5 m2 para poder desarrollarse, dividiremos el área del terreno por lo que necesita cada árbol:

     Número de árboles = 2000 m2 / 5 m2 = 400

     

    Se pueden plantar 400 árboles.

     

    b)      En este caso lo que necesitamos saber es la suma de los lados del rectángulo, o sea, su perímetro.
     
    P = 2 · 50 m + 2 · 40 m = 100 m + 80 m = 180 m
     
    Se necesitan 180 metros de valla.
     
     
     
  • Triángulos. Área 02

     
    Los lados de un triángulo miden 21, 72 y 75 cm. Calcula:
     
    a)      El área, utilizando la fórmula de Herón.
     
    b)      El área de un triángulo semejante al anterior cuyo lado menor mide 13 cm.
     
     
    Solución:
     
    Datos: a = 21 cm; b = 72 cm; c = 75 cm
     
     
    a)      Fórmula de Herón:
     
     
    siendo p el semiperímetro.

     Valor del semiperímetro:

     

     
    Área del triángulo:
     
     
    b)      Razón de semejanza de las áreas de dos triángulos semejantes:
     
    A / A’ = r2
     
    En este caso el valor de r es:
     
    r = 21/13
     
    luego:
     
     
    El área de un triángulo semejante al primero es de 289,7 cm2