Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Razones trigonométricas de un ángulo 02

     

     
    a) ¿Cuáles son las razones trigonométricas de los ángulos α y β?

    b) ¿Cuánto miden los ángulos α y β en radianes?

     

     

    Solución:

     
    a)  Para poder hallar tanto el seno como el coseno de los ángulos agudos, necesitamos saber la medida de la hipotenusa (a), para lo cual utilizaremos el teorema de Pitágoras:
     
     
    Ahora debemos tener en cuenta que el cateto opuesto de α es contiguo de β y viceversa, por tanto:
     
     
    b)  Para pasar de grados a radianes debemos recordar que 180º son π radianes.
     


     

     

     

  • Razones trigonométricas de un ángulo 01

     
    Definición de coseno, tangente y seno de un ángulo. Dibuja un triángulo rectángulo e indica dentro de él un ángulo, su cateto opuesto y su contiguo.
     
    Solución:
     

     

    Al conciente entre el cateto contiguo de un ángulo agudo y la hipotenusa de un triángulo rectángulo se le llama coseno del ángulo, o sea:
     
    cos α = b / c

     

    Al conciente entre el cateto opuesto y el contiguo de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo se le llama tangente del ángulo, es decir:

     
    tg α = a / b
     
    Al conciente entre el cateto opuesto y la hipotenusa de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo se le llama seno del ángulo, o sea:
     
    sen α = a / c
     
    El cateto opuesto de α  es a y el cateto contiguo es b.
     
     
     
     

  • Esfera. Área y volumen 01

     
    Una esfera maciza de plata tiene 21,99 cm de circunferencia máxima. Halla su área y su masa si su densidad es 10,42 g/cm3.
     
     
    Solución:
     
    Datos: Lc = 21,99 cm; D = 10,42 g/cm3
     
     
    Área de una esfera:
     
    A = 4 π r2
     
    Para poder hallar el área de la esfera necesitamos conocer lo que mide el radio de la circunferencia mayor.
     
    En este caso sabemos la longitud de la circunferencia mayor de la esfera, luego la utilizaremos para hallar el radio de la misma.
     
    Lc = 2 π r → 21,99 cm = 2 π
     

    r = 21,99 cm / 2 π = 3,5 cm

    Área de la esfera:
     
    A = 4 · π · (3,5 cm)2 = 153,94 cm2
     
    El área de la esfera es 153,94 cm2.
     
    Para hallar la masa de la esfera utilizaremos la fórmula de la densidad:
     
    D = m / V → m = D V
     
    Ahora se necesita saber el volumen de la esfera ya que conocemos su densidad.
     
    Volumen de la esfera:
     
    V = (4/3) π r3 = (4/3) π · (3,5cm)3 = 179,6 cm3
     
    Masa de la esfera:
     
    m = 10,42 (g/cm3) · 179,6 cm3 = 1871, 4 g
     
    La esfera tiene una masa de 1871,4 gramos.
     
     
     
  • Cono. Área y volumen 01

     

    Calcula el área y el volumen del cuerpo siguiente.

     
     
    Las unidades vienen dadas en decímetros

     

     

    Solución:

     
    Tenemos que hallar las áreas totales de dos conos de diferentes dimensiones, para después sumarlas.
     
    El área total de un cono es igual al área lateral más el área de la base, es decir:
     
    AT = AL + AB = π r g + π r2 = π r (g + r)  
     
     
    Área total del cono menor cuyas dimensiones son:
     
    Radio: r = 7/2 dm = 3,5 dm;               Generatriz: g = 9 dm

     

    A1 = π · 3,5 · (9 + 3,5) dm2 = 137,4 dm2

     
     
    Área total del cono mayor cuyas dimensiones son:
     
     Radio: r = 12/2 dm = 6 dm;                  Generatriz: g = 16 dm
     

    A2 = π · 6 · (16 + 6) dm2 = 414,7 dm2

     

      Área total de cuerpo:

     
    AT = A1 + A2
     
    AT = (137,4 + 414,7) dm2 = 552,1 dm2

     

    Entre los dos conos tienen un área total de 552,1 dm2

     
    Lo mismo que en el área, necesitamos saber el volumen de cada uno de los conos para después sumarlos.
     
    El volumen de un cono es igual a un tercio del área de la base por la altura, es decir:
     
    V = 1/3 (AB h) =1/3 (π r2 h)
     
     
    Para poder resolver este caso necesitamos conocer las medidas de las alturas de ambos conos, cosa que se puede hacer utilizando el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo formado por el radio del circulo de la base, la generatriz y la altura.
     
     
    Altura del cono menor:
     
      
    Volumen del cono menor:
     
     
    Altura del cono mayor:
     
     
    Volumen del cono mayor:
     
     
    Volumen total del cuerpo:
     
    VT = V1 + V2 = (106,5 + 558) dm3 = 664,5 dm3
     
    Entre los dos conos hay un volumen de 664,5 dm3
     
     
     
     
     
     
     
     
  • Cilindro. Área y volumen 01

    Si se quiere construir un túnel semicilíndrico de 1000 metros de largo y 8 metros de radio, cuántos m3 de tierra hay que extraer.
     
    Solución:
     
    Datos: L = 1000 m; r = 8 m
     
     
    Se trata de hallar la mitad del volumen de un cilindro de altura L y radio r.
     
    Volumen del cilindro:
     
     
     
    Utilizando la fórmula anterior para averiguar los m3 de tierra que hay que extraer, es decir, para hallar el volumen del semicilindro, se tiene que:
     
     
    Se han de extraer, aproximadamente, 100531 m3 de tierra.