El Sapo Sabio » 2009 » septiembre

Progresiones aritméticas. Problemas 03

Compramos un televisor a plazos, y tenemos que pagar 63 € el primer mes; 69, el segundo; 75, el tercero y así sucesivamente. El último mes pagamos 117 €. ¿Durante cuántos meses hemos estado pagando? ¿Cuánto hemos pagado en total?

Solución:

Datos: a₁ = 63; a₂ = 63 + 6 = 69; a₃ = 69 + 6 = 75 → d = 6; a_n = 117

Se trata de una progresión aritmética siendo n el número de meses que se tarda en pagar el televisor, por tanto:

a_n = a₁ + (n – 1) d → 117 = 63 + (n – 1) 6

117 – 63 = 6 n – 6 → 6 n = 117 – 63 + 6 = 60 → n = 60/6 = 10

Hemos estado pagando durante 10 meses.

Para saber cuánto hemos pagado utilizaremos la suma de los n términos de una progresión aritmética.

En total hemos pagado 900 €
Progresiones aritméticas. Problemas 02

Un campanario tiene un reloj que únicamente toca las horas. ¿Cuántas campanadas dará al día?

Solución:

Cuando el reloj marque la una, dará 1 campanada; cuando marque las dos, dará 2 campanadas, cuando sean las tres, 3 y así sucesivamente, es decir: 1, 2, 3, 4,…..12, por tanto se trata de una progresión aritmética cuyo primer término es, a₁ = 1, el último, a₁₂ = 12, el número de términos, n = 12 y la diferencia, d = 1.

En un día, la aguja que marca las horas da dos vueltas a la esfera del reloj, o sea, repite el proceso dos veces, luego el número total de campanadas será:

Número total de campanadas = (1 + 12) · 12 = 156
Progresiones aritméticas. Problemas 01

Un agricultor tiene un limonero que produce 20 limones el primer año; el segundo año, 40 limones más; el tercero, otros 40 limones más; y así sucesivamente durante 15 años.

a)      ¿Cuántos limones recogió el último año?

b)      ¿Cuántos recogió en los 15 años?

Solución:

Datos: a₁ = 20; a₂ = 20 + 40 = 60; a₃ = 60 + 40 = 100

Si nos fijamos cada término es 40 unidades mayor que el anterior, por tanto se trata de una progresión aritmética cuya diferencia es: d = 40

a)      En el último año n = 15, luego:

a₁₅ = a₁ + (15 – 1) d → a₁₅ = 20 + 14 · 40 = 580

En el último año recoge 580 limones.

b)

En los quince años recoge un total de 4500 limones.
Progresiones aritméticas 03

En una progresión aritmética, a₃ = 1 y a₇ = 21. Calcula: a₁, d, y S₇.

Solución:

Término general de una progresión aritmética en función de un término cualquiera:

a_n = a_k + (n – k) d

Aplicando la anterior fórmula a los datos del problema tenemos:

a₇ = a₃ + (7 – 3) d → 21 = 1 + 4 d → 4 d = 20 → d = 20/4

d = 5

Ahora hallaremos a₁:

a₇ = a₁ + (7 – 1) d → 21 = a₁ +30 → a₁ = 21 – 30 = –9

Suma de los siete primeros términos de la progresión:
Progresiones aritméticas 02

Hallar la suma de los términos de una progresión aritmética en los casos siguientes:

a)      De 20 términos en la progresión: 2, 7, 12, . . .

b)      De 15 términos en la progresión: 24, 16, 8, . . .

c)      De 30 términos en la progresión: –3/2, –2, –5/2, . . .

Solución:

La suma de los n términos de una progresión aritmética es:

por tanto para poder hallarla debemos encontrar primero a_n (término general).

a)      Se conoce el primer término, a₁ = 2 y deseamos saber la suma de los 20 primeros término, luego n = 20, por tanto únicamente nos hace falta conocer el término que se encuentra en el vigésimo lugar, es decir, a₂₀, para lo cual primero se necesita averiguar el valor de d.

d = 7 – 2 = 5

a_n = a₁ + (n – 1) d → a₂₀ = 2 + (20 – 1) 5 = 97

b)      Ahora tenemos a₁ = 24, n = 15 y d = 16 – 24 = –8

a_n = a₁ + (n – 1) d → a₁₅ = 24 + (15 – 1) (–8) = –88

c)      En este caso:
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