Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Progresiones aritméticas. Problemas 03

     

    Compramos un televisor a plazos, y tenemos que pagar 63 € el primer mes; 69, el segundo; 75, el tercero y así sucesivamente. El último mes pagamos 117 €. ¿Durante cuántos meses hemos estado pagando? ¿Cuánto hemos pagado en total?
     
    Solución:
     
    Datos: a1 = 63; a2 = 63 + 6 = 69; a3 = 69 + 6 = 75 → d = 6; an = 117
     
    Se trata de una progresión aritmética siendo n el número de meses que se tarda en pagar el televisor, por tanto:
     
    an = a1 + (n – 1) d → 117 = 63 + (n – 1) 6
     
    117 – 63 = 6 n – 6 → 6 n = 117 – 63 + 6 = 60 → n = 60/6 = 10
     
    Hemos estado pagando durante 10 meses.
     
    Para saber cuánto hemos pagado utilizaremos la suma de los n términos de una progresión aritmética.
     
     
    En total hemos pagado 900 €
     
  • Progresiones aritméticas. Problemas 02

    Un campanario tiene un reloj que únicamente toca las horas. ¿Cuántas campanadas dará al día?

     
    Solución:
     
    Cuando el reloj marque la una, dará 1 campanada; cuando marque las dos, dará 2 campanadas, cuando sean las tres, 3 y así sucesivamente, es decir: 1, 2, 3, 4,…..12, por tanto se trata de una progresión aritmética cuyo primer término es, a1 = 1, el último, a12 = 12, el número de términos, n = 12 y la diferencia, d = 1.
     
    En un día, la aguja que marca las horas da dos vueltas a la esfera del reloj, o sea, repite el proceso dos veces, luego el número total de campanadas será:
     
     
    Número total de campanadas = (1 + 12) · 12 = 156
     
  • Progresiones aritméticas. Problemas 01

     

    Un agricultor tiene un limonero que produce 20 limones el primer año; el segundo año, 40 limones más; el tercero, otros 40 limones más; y así sucesivamente durante 15 años.
     
    a)      ¿Cuántos limones recogió el último año?
     
    b)      ¿Cuántos recogió en los 15 años?
     
     
    Solución:
     
    Datos: a1 = 20; a2 = 20 + 40 = 60; a3 = 60 + 40 = 100
     
    Si nos fijamos cada término es 40 unidades mayor que el anterior, por tanto se trata de una progresión aritmética cuya diferencia es: d = 40
     
    a)      En el último año n = 15, luego:
     
    a15 = a1 + (15 – 1) d → a15 = 20 + 14 · 40 = 580
     
    En el último año recoge 580 limones.
     
    b)         
     
     
    En los quince años recoge un total de 4500 limones.
     
     
  • Progresiones aritméticas 03

    En una progresión aritmética, a3 = 1 y a7 = 21. Calcula: a1, d, y S7.

     
    Solución:
     
    Término general de una progresión aritmética en función de un término cualquiera:
     
    an = ak + (n – k) d
     
    Aplicando la anterior fórmula a los datos del problema tenemos:
     
    a7 = a3 + (7 – 3) d → 21 = 1 + 4 d → 4 d = 20 → d = 20/4
     
    d = 5
    Ahora hallaremos a1:
     
    a7 = a1 + (7 – 1) d → 21 = a1 +30 → a1 = 21 – 30 = –9   
     
    Suma de los siete primeros términos de la progresión:
     

  • Progresiones aritméticas 02

    Hallar la suma de los términos de una progresión aritmética en los casos siguientes:

    a)      De 20 términos en la progresión: 2, 7, 12, . . .
     
    b)      De 15 términos en la progresión: 24, 16, 8, . . .
     
    c)      De 30 términos en la progresión: –3/2, –2, –5/2, . . .
     
    Solución:
     
    La suma de los n términos de una progresión aritmética es:
     
     
    por tanto para poder hallarla debemos encontrar primero an (término general).
     
    a)      Se conoce el primer término, a1 = 2 y deseamos saber la suma de los 20 primeros término, luego n = 20, por tanto únicamente nos hace falta conocer el término que se encuentra en el vigésimo lugar, es decir, a20, para lo cual primero se necesita averiguar el valor de d.
     
    d = 7 – 2 = 5
     
    an = a1 + (n – 1) d → a20 = 2 + (20 – 1) 5 = 97
     
     
    b)      Ahora tenemos a1 = 24, n = 15 y d = 16 – 24 = –8
     
    an = a1 + (n – 1) d → a15 = 24 + (15 – 1) (–8) = –88
     
     
    c)      En este caso: