El Sapo Sabio » 2009 » abril

Sistemas de ecuaciones exponenciales 01

Resuelve el sistema:

Solución:

Aplicando la propiedad del producto de potencias de la misma base: a^m · aⁿ = a^m+n

Multiplicamos la primera ecuación por 3 y le sumamos la segunda:

Sustituyendo el valor de x en la primera ecuación:

2² + 3^y = 7 ⇒ 3^y = 7 – 4 ⇒ 3^y = 3¹ ⇒ y = 1
Ecuaciones exponenciales 03

Resolver:

a)      2^x+3 + 2^2x+2 = 320

b)      2^x-¹ + 2^x-² + 2^x-³ + 2^x-⁴ = 960

Solución:

a)      Aplicando la propiedad del producto de potencias de la misma base: a^m · aⁿ = a^m+n

2^x+3 + 2^2x+2 = 320 ⇒ 2^x · 2³ + 2^2x · 2² = 320 ⇒ 2^x · 8 + (2^x)² · 4 = 320

8 · 2^x + 4 · (2^x)² = 320

Simplificando:

2 · 2^x + (2^x)² = 80

Haciendo el cambio t = 2^x se obtiene:

La solución es x = 3.

b)      Aplicando la propiedad del cociente de potencias de la misma base: a^m : aⁿ = a^m-ⁿ
Ecuaciones exponenciales 02

Resuelve: 3^x+3 + 3^x+2 +3^x+1 + 3^x = 40/27

Solución:

Primero aplicaremos la propiedad del producto de potencias de la misma base: a^m · aⁿ = a^m+n

3^x+3 + 3^x+2 +3^x+1 + 3^x = 40/27 ⇒ 3^x · 3³ + 3^x · 3² +3^x · 3¹ + 3^x = 40/27

Haciendo el cambio t = 3^x obtenemos:

Deshaciendo el cambio:
Ecuaciones exponenciales 01

Solución:

a)      Para hallar el valor de x expresaremos 9 como potencia de 3.

3²⁴ = 9^x ⇒ 3²⁴ = (3²)^x

Ahora quitaremos el paréntesis

3²⁴ = 3^2x

Como las bases son iguales, para que las potencias también lo sean sus exponentes han de ser iguales, por tanto:

2x = 24 ⇒ x = 24/2 ⇒ x = 12

Para hallar y repetiremos el proceso.

3²⁴ = 81^y ⇒ 3²⁴ = (3⁴)^y ⇒ 3²⁴ = 3^4y

4y = 24 ⇒ y = 24/4 ⇒ y = 6

b)      Para resolver este caso tendremos en cuenta que cualquier número elevado a cero es igual a uno.
Sistemas de ecuaciones no lineales con dos incógnitas. Aplicaciones 06

Calcula los lados de un triángulo isósceles cuyo perímetro es de 16 cm, si sabes que la altura sobre el lado desigual mide 4 cm.

Solución:

Datos: P = 16 cm; h = 4 cm.

Sean x el lado desigual e y los lados iguales.

El perímetro es la suma de todos los lados del triángulo, luego:

x + 2y = 16.

Aplicando el Teorema de Pitágoras a la mitad del triángulo, tenemos:

y² = h² + (x/2)².

Se trata de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 5 cm y el lado desigual 6 cm.
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