Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Sistemas de ecuaciones exponenciales 01

    Resuelve el sistema:

     

    Solución:
     
    Aplicando la propiedad del producto de potencias de la misma base: am · an = am+n
     
     
    Multiplicamos la primera ecuación por 3 y le sumamos la segunda:
     
     
    Sustituyendo el valor de x en la primera ecuación:
     
    22 + 3y = 7 ⇒ 3y = 7 – 4 ⇒ 3y = 31 ⇒ y = 1      
     

     

  • Ecuaciones exponenciales 03

    Resolver:

    a)      2x+3 + 22x+2 = 320 
     
    b)      2x-1 + 2x-2 + 2x-3 + 2x-4 = 960    
     
    Solución:
     
    a)      Aplicando la propiedad del producto de potencias de la misma base: am · an = am+n
     
    2x+3 + 22x+2 = 320 ⇒ 2x · 23 + 22x · 22 = 320 ⇒ 2x · 8 + (2x)2 · 4 = 320
     
    8 · 2x + 4 · (2x)2 = 320
     
    Simplificando:
     
    2 · 2x + (2x)2 = 80
     
    Haciendo el cambio t = 2x se obtiene:
     
     
    La solución es x = 3.
     
    b)      Aplicando la propiedad del cociente de potencias de la misma base: am : an = am-n

     

     

  • Ecuaciones exponenciales 02

    Resuelve: 3x+3 + 3x+2 +3x+1 + 3x = 40/27

     
    Solución:
     
    Primero aplicaremos la propiedad del producto de potencias de la misma base: am · an = am+n
     
    3x+3 + 3x+2 +3x+1 + 3x = 40/27 ⇒ 3x · 33 + 3x · 32 +3x · 31 + 3x = 40/27
     
    Haciendo el cambio t = 3x obtenemos:
     
     
    Deshaciendo el cambio:

  • Ecuaciones exponenciales 01

    Solución:
     
    a)      Para hallar el valor de x expresaremos 9 como potencia de 3.
     
    324 = 9x ⇒ 324 = (32)x
     
    Ahora quitaremos el paréntesis
     
    324 = 32x
     
     
    Como las bases son iguales, para que las potencias también lo sean sus exponentes han de ser iguales, por tanto:  
     
    2x = 24 ⇒ x = 24/2 ⇒ x = 12
     
    Para hallar y repetiremos el proceso.
     
    324 = 81y ⇒ 324 = (34)y ⇒ 324 = 34y
     
    4y = 24 ⇒ y = 24/4 ⇒ y = 6 
     
    b)      Para resolver este caso tendremos en cuenta que cualquier número elevado a cero es igual a uno.

     

     

  • Sistemas de ecuaciones no lineales con dos incógnitas. Aplicaciones 06

     
    Calcula los lados de un triángulo isósceles cuyo perímetro es de 16 cm, si sabes que la altura sobre el lado desigual mide 4 cm.

     

     

    Solución:

    Datos: P = 16 cm; h = 4 cm.
     
    Sean x el lado desigual e y los lados iguales.
     
     

    El perímetro es la suma de todos los lados del triángulo, luego:

     
    x + 2y = 16.
     
    Aplicando el Teorema de Pitágoras a la mitad del triángulo, tenemos:
     
    y2 = h2 + (x/2)2.

      

     

     

     Se trata de un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 5 cm y el lado desigual 6 cm.