Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Aplicaciones. Estimaciones 06

     

    El índice de mortalidad y de una muestra de población que consumía diariamente x cigarrillos aparece en la tabla adjunta:

    Nº de cigarrillo x

    3

    5

    6

    15

    20

    40

    45

    Índice de mortalidad y

    0,2

    0,3

    0,3

    0,5

    0,7

    1,4

    1,5

     

    a)  Estudia la correlación entre x e y.

    b)  Halla la recta de regresión de y sobre x.

    c)  ¿Qué mortalidad se podría predecir para un consumidor de 60 cigarrillos diarios?

     

     

    Solución:

    a)  Coeficiente de correlación:

    r = σxyx·σy

    xi

    yi

    xi2

    yi2

    xi·yi

    3

    0,2

    9

    0,04

    0,6

    5

    0,3

    25

    0,09

    1,5

    6

    0,3

    36

    0,09

    1,8

    15

    0,5

    225

    0,25

    7,5

    20

    0,7

    400

    0,49

    14

    40

    1,4

    1600

    1,96

    56

    45

    1,5

    2025

    2,25

    67,5

    134

    4,9

    4320

    5,17

    148,9

     

    Medias (n = 7):

    Mx = Σxi/n = 134/7 = 19,14

    My = Σyi/n = 4,9/7 = 0,7

    Covarianza:

    σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (148,9/7) – 19,14·0,7 = 7,87

    Desviaciones típicas: 

    r = 7,87/15,8·0,5 = 0,996

    Como la correlación es próxima a 1 la correlación es muy fuerte.

    b)  Recta de regresión de Y sobre X:

    y = My + (σxyx2)·(x – Mx)

    y = 0,7 + (7,87/15,82)·(x – 19,14)

    y = 0,7 + 0,032·(x – 19,14)

    y = 0,7 + 0,032 x – 0,6

    y = 0,032 x + 0,1

    c)    

    x = 60 → y = 0,032·60 + 0,1 ≈ 2

    Aunque el grado de correlación es alto, la predicción no es muy fiable ya que el valor de la variable está muy alejada del punto medio de la distribución. (No se encuentra en el intervalo [3, 45]).

     

     

  • Aplicaciones. Estimaciones 05

     

    Las alturas y pesos de cinco alumnos varones de 1º de Bachillerato son:

    Alumno:

    A

    B

    C

    D

    E

    X

    Altura (m)

    1,67

    1,76

    1,63

    1,80

    1,60

    Y

    Peso (kg)

    60

    65,5

    55,1

    89,9

    49,9

     

    Hallar:

    a)  Coeficiente de correlación, y comentar el valor obtenido.

    b)  Recta de regresión de Y sobre X.

    c)  ¿Qué peso se espera de un alumno que mida 1,80 m?

     

     

    Solución:

    a)  Coeficiente de correlación:

    r = σxyx·σy

    siendo:

    Covarianza: σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My         Medias: Mx = Σxi/n; My = Σyi/n

    Desviaciones típicas:

    xi

    yi

    xi2

    yi2

    xi yi

    1,6

    49,9

    2,56

    2490,01

    79,84

    1,63

    55,1

    2,6569

    3036,01

    89,813

    1,67

    60

    2,7889

    3600

    100,2

    1,76

    65,5

    3,0976

    4290,25

    115,28

    1,8

    89,9

    3,24

    8082,01

    161,82

    8,46

    320,4

    14,3434

    21498,28

    546,953

     

    Mx = 8,46/5 = 1,69

    My = 320,4/5 = 64,1

    σxy = (546,953/5) – 1,69·64,1 = 1,06

    r = 1,06/0,1122·13,81 = 0,6841

    Existe correlación positiva, por tanto, cuando una variable aumenta la otra también. Como r no está próxima a 1, la correlación es débil, luego poco fiable.

    b)  Recta de regresión Y sobre X:

    y = My + (σxyx2)·(x – Mx)

    y = 64,1 + (1,06/0,013)·(x – 1,69)

    y = 64,1 + 81,54·(x – 1,69)

    y = 64,1 + 81,54 x – 137,80

    y = 81,54 x – 73,7

    c)  Estimaciones:

    x = 1,80 m → y = 81,54·1,80 – 73,7 ≈ 73,1 kg

    La estimación no es buena pues si nos fijamos en la tabla debería haber salido un peso aproximado a 89,9 kg. Esto es lógico pues la correlación es muy pequeña.

     

     

  • Aplicaciones. Estimaciones 04

     

    Cinco niñas de 2, 3, 5, 7 y 8 años pesan, respectivamente, 14, 20, 30, 42 y 44 kg.

    a)  Estudia la correlación que hay entre la edad y el peso en esas niñas. Interprétalo.

    b)  ¿Cuál sería el peso estimado de una niña de 6 años?

    c)  ¿Cuál será la edad aproximada de una niña que pesa 50 kg?

    d)  ¿Cuál de las estimaciones anteriores es más fiable? ¿Por qué?

     

     

    Solución:

    Representamos un diagrama de dispersión y observamos la relación que existe entre las variables y, en caso de dependencia estadística, el grado, el sentido y el tipo de correlación.

     Edad  

     Peso

    2

    14

    3

    20

    5

    30

    7

    42

    8

    44

     

    A simple vista, podemos concluir que existe una fuerte correlación lineal positiva.

    a)  Correlación es el grado de dependencia que existe entre dos variables.

    Coeficiente de correlación lineal: r = σxyx·σy, varía entre –1 y + 1.

    Cuando |r| > 0,5 se dice que la correlación es significativa.

    Si r > 0 la correlación es directa y si r  = 1 la correlación es positiva perfecta.

    xi

    yi

    xi2

    yi2

    xi·yi

    2

    14

    4

    196

    28

    3

    20

    9

    400

    60

    5

    30

    25

    900

    150

    7

    42

    49

    1764

    294

    8

    44

    64

    1936

    352

    25

    150

    151

    5196

    884

    Medias (n = 5):

    Mx = Σxi/n = 25/5 = 5

    My = Σyi/n = 150/5 = 30

    Covarianza:

    σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (884/5) – 5·30 = 26,8

    Desviaciones típicas: 

    Podemos comprobar que existe una correlación lineal positiva por tanto directa muy fuerte, ya que r es próxima a 1.

    Entre los datos existe una correlación lineal positiva bastante buena.

    Recta de regresión de Y sobre X:

    y = My + (σxyx2)·(x – Mx)

    y = 30 + (26,8/2,282)·(x – 5)

    y = 30 + 5,16·(x – 5)

    y = 30 + 5,16 x – 25,8

    y = 5,16 x + 4,2

    b)   

    x = 6 → y = 5,16·6 + 4,2 = 35,16

    Para x = 6 años muy probable que el valor correspondiente de y sea próximo a 35 kg.

    c)     

    y = 50 → 50 = 5,16 x + 4,2 → 45,8 = 5,16 x

    x = 45,8/5,16 = 8,88 → x = 9

    Para y = 50 kg muy probable que el valor correspondiente de x sea próximo a 9 años.

    d)  A pesar de que el grado de correlación es alto, la segunda predicción es menos fiable que la primera porque el valor de la variable y está muy alejada del punto medio de la distribución. (No se encuentra en el intervalo [14, 44]).

     

     

  • Aplicaciones. Estimaciones 03

     

    En la siguiente tabla se relacionan las semanas que van pasando y el peso de una persona que está haciendo una dieta de adelgazamiento.

    Semanas 

    kg 

    1

    88,5

    2

    87

    3

    84

    5

    79

     

    a)  Obtén la media aritmética y la desviación típica de cada variable.

    b)  Determina la covarianza entre ambas variables.

    c)  ¿Cuál es el coeficiente de correlación entre ambas variables? ¿Qué se deduce?

    d)  Halla la ecuación de la recta de regresión del peso respecto del número de semanas y calcula qué peso se estima que tendría esa persona en la cuarta semana.

     

     

    Solución:

    xi

    yi

    xi2

    yi2

    xi·yi

    1

    88,5

    1

    7832,25

    88,5

    2

    87

    4

    7569

    174

    3

    84

    9

    7056

    252

    5

    79

    25

    6241

    395

    11

    338,5

    39

    28698,25

    909,5

     

    a)  Medias (n = 4): 

    Mx = Σxi/n = 11/4 = 2,75 semanas

    My = Σyi/n = 338,5/4 = 84,625 kg

    Desviaciones típicas.

    Desviación típica de x:

    Desviación típica de y:

    b)  Covarianza:

    σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (909,5/4) – 2,75·84,625 = –5,34

    c)  Coeficiente de correlación:

    r = σxyx·σy = –5,34/1,479·3,629 = –0,995

    La correlación es inversa y casi perfecta.

    d)  Recta de regresión de Y sobre X:

    y = m x + n

    m = σxyx2 = –5,34/1,4792 = –2,44

    y = –2,44 x + n

    La recta pasa por el punto (Mx, My) = (2,75; 84,625), por tanto:

    84,625 = –2,44·2,75 + n

    n = 91,34

    La recta de regresión es:

    y = –2,44 x + 91,34

    En la cuarta semana x = 4, luego:

    y = –2,44·4 + 91,34 = 81,58 kg

     

     

  • Aplicaciones. Estimaciones 02

     

    En una competición de patinaje artístico por parejas se otorgan dos notas: una a los ejercicios obligatorios (X) y otra a los ejercicios libres (Y).

    Las seis parejas que disputan la final han obtenido los siguientes resultados:

    X = obligatorios

    5

    5

    6

    7

    7

    7

    Y = libres

    5

    7

    7

    7

    7

    8

     

    a)  Calcula el coeficiente de correlación de Pearson e interpreta el resultado.

    b)  Calcula la recta de regresión de Y sobre X y la de X sobre Y.

    c)  Una pareja de patinadores ha obtenido un 8 en los ejercicios obligatorios. ¿Qué nota cabe esperar que haya obtenido en los ejercicios libres?

    d)  Otra pareja ha obtenido un 9 en los ejercicios libres. ¿Qué nota cabe esperar que haya obtenido en los ejercicios obligatorios?

    e)  Valora las predicciones efectuadas.

     

     

    Solución:

    xi

    yi

    xi2

    yi2

    xi·yi

    5

    5

    25

    25

    25

    5

    7

    25

    49

    35

    6

    7

    36

    49

    42

    7

    7

    49

    49

    49

    7

    7

    49

    49

    49

    7

    8

    49

    64

    56

    37

    41

    233

    285

    256

     

    a)  Coeficiente de correlación de Pearson:

    r = σxyx·σy

    Medias (n = 6):

    Mx = Σxi/n = 37/6 = 6,167

    My = Σyi/n = 41/6 = 6,833

    Covarianza:

    σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (256/6) – 6,167·6,833 = 0,528

    Desviaciones típicas:

    r = 0,528/0,895·0,900 = 0,655

    El valor de este coeficiente indica una correlación lineal positiva relativamente fuerte, lo que debe interpretarse como que las parejas de patinadores obtienen notas de un nivel similar en los ejercicios libre y en los obligatorios.

    b)  Rectas de regresión.

    Recta de regresión de Y sobre X:

    y = My + (σxyx2)·(x – Mx)

    y = 6,833 + (0,528/0,8952)·(x – 6,167)

    y = 6,833 + 0,659·(x – 6,167)

    y = 6,833 + 0,659 x – 4,064

    y = 6,833 + 0,659 x – 4,064

    y = 0,659 x + 2,769

    Recta de regresión X sobre Y:

    x = Mx + (σxyy2)·(y – My)

    x = 6,167 + (0,528/0,9002)·(y – 6,833)

    x = 6,167 + 0,652·(y – 6,833)

    x = 6,167 + 0,652 y – 4,455

    x = 0,652 y + 1,712

    c)     

    x = 8 → y = 0,659·8 + 2,769 ≈ 8

    d)     

    y = 9 →  x = 0,652·9 + 1,712 ≈ 8

    e)  Las predicciones se han obtenido para valores no muy alejados del punto medio de la distribución, (Mx, My). Además, el valor del coeficiente de Pearson, r = 0,655, indica una correlación relativamente fuerte. Sin embargo, el número de puntos utilizados para hallar la recta de regresión es pequeño. Por tanto, esto nos hace pensar que las estimaciones son predicciones fiables, aunque con reservas.