Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Correlación lineal. Coeficiente de Pearson 01

     

    Un jugador de baloncesto lanza a canasta, desde distintas distancia 10 balones cada vez con los siguientes resultados:

    Distancia (m)

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    Encestes

    9

    10

    6

    4

    2

    0

    1

    0

     

     

    Hallar el centro de gravedad y el coeficiente de correlación.

     

     

    Solución:

    Centro de gravedad:

    c. d. g. = (xc, yc)

    siendo:

    xc = Σxi/n      yc = Σyi/n      n = número de datos

    Coeficiente de correlación:

    r = σxyx·σy

    siendo σx y σy las desviaciones típicas y σx·σy la covarianza.

    Desviaciones típicas:

    Covarianza:

    σxy = (Σxi·yi/n) – xc·yc

    xi

    yi

    xi2

    yi2

    xi·yi

    1

    9

    1

    81

    9

    2

    10

    4

    100

    20

    3

    6

    9

    36

    18

    4

    4

    16

    16

    16

    5

    2

    25

    4

    10

    6

    0

    36

    0

    0

    7

    1

    49

    1

    7

    8

    0

    64

    0

    0

    36

    32

    204

    238

    80

     

    Distancia = xi          Encestes = yi          n = 8

    Centro de gravedad:

    xc = 36/8 = 4,5                 yc = 32/8 = 4

    c. d. g. = (4,5; 4)

    Desviaciones típicas:

    Covarianza:

    σxy = (Σxi·yi/n) – xc·yc

    σxy = (80/8) – 4,5·4 = –8

    Coeficiente de correlación:

    r  = –8/2,29·3,71 = –0,94 

     

     

  • Parámetros de la variable estadística bidimensional 01

     

    Un colectivo de 40 alumnos de 1º Bachillerato ha realizado 4 exámenes de Inglés y 4 de matemáticas. La clasificación de los alumnos por el número de exámenes aprobados está reflejada en la siguiente tabla:

     

     

    Calcula:

    a)  Las frecuencias absolutas y relativas a esta distribución.

    b)  Los parámetros marginales (medias y varianzas) y la covarianza.

     

     

    Solución:

    a)  Frecuencias absolutas:

           

    En la tabla es fácil observar que:

    1)  En cada una de las celdas centrales figuran las llamadas frecuencias absolutas conjuntas.

    2)  En el vértice inferior derecho aparece  el número total de individuos del colectivo, que es 40.

    3)  En la última fila corresponde a las frecuencias absolutas marginales de la variable Y.

    4)  La última columna corresponde a las frecuencias absolutas marginales de la variable X.

    5)  La suma de cualquier serie de frecuencias absolutas marginales es igual al número total de individuos de la población.

    Tabla de frecuencias relativas correspondientes a esta distribución:

    b)  Distribución marginal de X:

    xi

    fi

    xi·fi

    xi2·fi

    1

    6

    6

    6

    2

    14

    28

    56

    3

    12

    36

    108

    4

    8

    32

    128

     

    40

    102

    298

     

    Media de X (Mx):

    Mx = (Σxi·fi/Σfi) = 102/40 = 2,55

    Varianza de X (σx2):

    σx2 = (Σxi2·fi/Σfi) – Mx2 = (298/40) – 2,552 = 0,9475

    Distribución marginal de Y:

    yi

    1

    2

    3

    4

     

    fi

    6

    10

    15

    9

    40

    yi·fi

    6

    20

    45

    36

    107

    yi2·fi

    6

    40

    135

    144

    325

     

    Media de Y (My):

    My = (Σyi·fi/Σfi) = 107/40 = 2,675

    Varianza de Y (σy2):

    σy2 = (Σyi2·fi/Σfi) – My2 = (325/40) – 2,6752 = 0,9694

    Covarianza:

    σxy = (Σxi·yi·fi/Σfi) – Mx·My

    Según la tabla inicial los productos xi, yi y sus frecuencias dan como resultado:

    (xi, yi)

    fi

    xi·yi·fi

    (1, 1)

    2

    1·1·2 = 2

    (1, 2)

    0

    0

    (1, 3)

    1

    3

    (1, 4)

    3

    12

    (2, 1)

    3

    6

    (2, 2)

    3

    12

    (2, 3)

    7

    42

    (2, 4)

    1

    8

    (3, 1)

    1

    3

    (3, 2)

    4

    24

    (3, 3)

    5

    45

    (3, 4)

    2

    24

    (4, 1)

    0

    0

    (4, 2)

    3

    24

    (4, 3)

    2

    24

    (4, 4)

    3

    48

     

     

    277

     

    Luego:

    Σxi·yi·fi = 277

    σxy = (277/40) – 2,55·2,675 = 0,1038

     

     

  • Tablas de doble entrada 02

     

    Los datos de 20 mediciones de las variables X = resistencia (W) e Y = temperatura (ºC) de un dispositivo semiconductor son:

    (0,1; 10,0); (2,5; 9,2); (5,2; 8,1); (7,4; 6,8); (10,2; 5,9); (13,2; 5,6); (15,2; 5,2)

    (17,5; 4,8); (20,2; 4,4); (21,9; 4,2); (24,8; 3,9); (28,0; 3,5); (30,0; 3,1); (33,1; 3,0)

    (35,1; 2,7); (38,1; 2,6); (40,3; 2,5); (42,3; 2,0); (44,7; 1,9); (49,9; 1,7)

    Agrupa los datos en intervalos de clase y construye una tabla de doble entrada.

     

     

    Solución:

    Intervalos de clases para la variable X.

    Recorrido de la variable:  xmáx. – xmín. =  49,9 – 0,1 = 49,8.

    Número de intervalos de clase en que se agrupan los datos (se trata de un número arbitrario, generalmente entre 5  y 10). En este caso vamos a tomar 5.

    Amplitud de cada intervalo:

    49,8/5 = 9,96 10

    Como origen del primer intervalos se toma un valor inferior al menor de los valores que toma la variable X en la distribución, por ejemplo el 0, y se escribe, de menor a mayor, los intervalos de clase.

    [0, 10), [10, 20), [20, 30), [30, 40), [40, 50)

    Punto medio de cada intervalo de clase:

    (0 + 10)/2 = 5; (10 + 20)/2 = 15; (20 + 30)/2 = 25; (30 + 40)/2 = 35; (40 + 50)/2 = 45

    Los puntos hallados son las marcas de clase.

    Intervalos de clases para la variable Y.

    Recorrido de la variable Y:  ymáx. – ymín. = 10,0 – 1,7 = 8,3.

    Número de intervalos de clase en que se agrupan los datos ( se trata de un número arbitrario, generalmente entre 5  y 10). En este caso vamos a tomar 5.

    Amplitud de cada intervalo:

    8,3/5 = 1,66 2

    Como origen del primer intervalos se toma un valor inferior al menor de los valores que toma la variable Y en la distribución, por ejemplo el 1, y se escribe, de menor a mayor, los intervalos de clase.

    [1, 3), [3, 5), [5, 7), [7, 9), [9, 11)

    Punto medio de cada intervalo de clase:

    (1 + 3)/2 = 2; (3 + 5)/2 = 4; (5 + 7)/2 = 6; (7 + 9)/2 = 8; (9 + 11)/2 = 10

    Los puntos hallados son las marcas de clase.

    Tabla de doble entrada.

    Contamos los datos de la distribución cuyos valores de X e Y pertenezcan, respectivamente, a cada intervalo considerado (frecuencia absoluta) y los anotamos en la casilla correspondiente.

     

     

     

  • Tablas de doble entrada 01

     

    Los datos al estudiar en 25 alumnos las variables X = nota final de Matemáticas e Y = nota final de Lengua son los siguientes:

    (7,3; 8,2), (5,1; 4,8), (3,0; 3,0), (0,5; 1,6), (1,0; 1,2), (9,9; 9,2), (8,3; 9,8), (4,0; 5,3)

    (2,1; 3,0), (6,5; 5,0), (5,4; 3,8), (5,0; 6,2), (3,9; 4,8), (2,1; 2,0), (7,0; 7,0), (8,2; 5,4)

    (6,9; 4,3), (3,5; 6,1), (1,9; 2,2), (6,7; 7,3), (9,5; 8,4), (6,4; 5,8), (6,1; 7,2), (5,5; 5,0)

    (7,8; 8,7)  

    Agrupa los datos en intervalos de clase y construye una tabla de doble entrada.

     

     

    Solución:

    Intervalos de clases para la variable X.

    Recorrido de la variable:  xmáx. – xmín. =  9,9 – 0,5 = 9,4

    Número de intervalos de clase en que se agrupan los datos (se trata de un número arbitrario, generalmente entre 5  y 10). En este caso vamos a tomar 5.

    Amplitud de cada intervalo:

    9,4/5 = 1,88 ≈ 2

    Como origen del primer intervalos se toma un valor inferior al menor de los valores que toma la variable X en la distribución, por ejemplo el 0, y se escribe, de menor a mayor, los intervalos de clase.

    [0, 2), [2, 4), [4, 6), [6, 8), [8, 10)

    Punto medio de cada intervalo de clase:

    (0 + 2)/2 = 1     (2 + 4)/2 = 3    (4 + 6)/2 = 5    (6 + 8)/2 = 7    (8 + 10)/2 = 9

    Los puntos hallados son las marcas de clase.

    Intervalos de clases para la variable Y.

    Recorrido de la variable Y:  ymáx. – ymín. = 9,8 – 1,2 = 8,6

    Número de intervalos de clase en que se agrupan los datos (se trata de un número arbitrario, generalmente entre 5  y 10). En este caso vamos a tomar 5.

    Amplitud de cada intervalo:

    8,6/5 = 1,72 ≈ 2

    Como origen del primer intervalos se toma un valor inferior al menor de los valores que toma la variable Y en la distribución, por ejemplo el 0, y se escribe, de menor a mayor, los intervalos de clase.

    [0, 2), [2, 4), [4, 6), [6, 8), [8, 10)

    Punto medio de cada intervalo de clase:

    (0 + 2)/2 = 1     (2 + 4)/2 = 3    (4 + 6)/2 = 5    (6 + 8)/2 = 7    (8 + 10)/2 = 9

    Los puntos hallados son las marcas de clase.

    Tabla de doble entrada.

    Contamos los datos de la distribución cuyos valores de X e Y pertenezcan, respectivamente, a cada intervalo considerado (frecuencia absoluta) y los anotamos en la casilla correspondiente.