Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Medidas de centralización y dispersión de una variable discreta 03

     

    Dado el siguiente diagrama:

    a)  ¿De qué tipo es?

    b)  Calcula la tabla con las frecuencias absolutas y relativas.

    c)  Halla la media, mediana y moda

    d)  ¿Qué % de familias tienen 3 hijos?

    e)  Calcula la desviación típica.

     

     

    Solución:

    a)  Se trata de un diagrama de barras.

    b)   

    xi

    fi

    Fi

    hi

    Hi

    1

    5

    5

    5/45

    5/45

    2

    10

    15

    10/45

    15/45

    3

    15

    30

    15/45

    30/45

    4

    10

    40

    10/45

    40/45

    5

    5

    45

    5/45

    1

     

    45

     

    1

     

     
     

    c)  Con el fin de facilitar los cálculos de cada una de las medidas y la desviación típica, realizaremos la siguiente tabla:

    xi

    fi

    xi·fi

    xi2·fi

    1

    5

    5

    5

    2

    10

    20

    40

    3

    15

    45

    135

    4

    10

    40

    160

    5

    5

    25

    125

     

    45

    135

    465

     
    Media aritmética (M):

    M = Σxi·fi/Σfi = 135/45 = 3

    Moda (Mo) es el valor de la variable estadística que presenta mayor frecuencia absoluta.

    Mo = 3, ya que la mayor frecuencia absoluta es 15

    Mediana (Me):

    Hay que buscar el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, por tanto:

    Fi ≥ fi/2 = 45/2 = 22,5

    Como 30 ≥ 22,5, entonces xi = 3, luego Me = 3

    d)  Porcentaje de familias que tienen 3 hijos = 100·hi = 100·(15/45) = 33,33%

    e)  Desviación típica o estándar:

     

     

  • Medidas de centralización y dispersión de una variable discreta 02

     

    Las notas de una alumna en las 10 asignaturas de Primero son: 1, 2, 2, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 9. Halla:

    a)  Moda, mediana y media aritmética.

    b)  Desviación típica.

     

     

    Solución:

    Moda (Mo) = valor de la variable estadística que presenta mayor frecuencia absoluta.

    Mediana (Me) = primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos.

    Media aritmética (M):

    M = Σxi·fi/Σfi

    Desviación típica o estándar (σ):

    Con el fin de facilitar los cálculos de cada una de las medidas y la desviación típica, realizaremos la siguiente tabla:

    xi

    fi

    Fi

    xifi

    xi2fi

    1

    1

    1

    1

    1

    2

    2

    3

    4

    8

    5

    2

    5

    10

    50

    6

    3

    8

    18

    108

    8

    1

    9

    8

    64

    9

    1

    10

    9

    81

     

    10

     

    50

    312

     

    a)  Moda (mayor fi):

    Mo = 6

    Mediana:

    Luego:

    Me = (5 + 6)/2 = 5,5

    Media aritmética:

    M = 50/10 = 5

    b)  Desviación típica: 

     

     

  • Medidas de centralización y dispersión de una variable discreta 01

     

    Después de realizada una encuesta acerca del número de hijos de 30 familias, se han obtenido los siguientes resultados:

    1, 0, 3, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 2, 1, 2, 0, 1, 2, 5, 0, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 2, 0, 0, 1, 4

    Realiza la tabla de frecuencias y su representación gráfica. Halla la media, moda, mediana y desviación típica.

     

     

    Solución:

    Media:

    M = Σxi·fi/Σfi

    Mediana:

    Hay que buscar el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada (Fi) sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:

    Fi ≥ Σfi/2

    Moda es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta.

    Desviación típica:

    Con el fin de facilitar los cálculos de cada una de las medidas y la gráfica, realizaremos la siguiente tabla:

    xi

    fi

    Fi

    xi· fi

    xi2· fi

    0

    6

    6

    0

    0

    1

    8

    14

    8

    8

    2

    10

    24

    20

    40

    3

    3

    27

    9

    27

    4

    2

    29

    8

    32

    5

    1

    30

    5

    25

     

    30

     

    50

    132

     

    Gráfica:

    Media:

    M = 50/30 = 1,67

    Mediana:

    Hay que buscar el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, por tanto:

    Me ≥ Fi/2 = 30/2 =15 → 24 ≥ 15 → xi = 2, luego Me = 2

    Moda (mayor fi):

    M0 = 2

    Desviación típica:

     

     

  • Medidas de dispersión de una variable discreta 02

     

    Halla las medidas de dispersión de esta distribución de datos: 2,5; 4,4; 6,2; 7,2; 1,3; 5,7.

     

     

    Solución:

    Recorrido o rango:

    Diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable estadística.

    Desviación media:

    DM = Σ|xi – M|/n

    siendo M = Σxi/n (la media)

    Desviación típica:

    Varianza:

    σ2 = (Σxi2/n) – M2

    Para facilitar los cálculos de cada una de las medidas de dispersión realizaremos la siguiente tabla, teniendo en cuenta que n = 6:

     

    xi

    x12

    M

    |xi – M|

    1,3

    1,69

    27,3/6 = 4,55

    3,25

    2,5

    6,25

    4,55

    2,05

    4,4

    19,36

    4,55

    0,15

    5,7

    32,49

    4,55

    1,15

    6,2

    38,44

    4,55

    1,65

    7,2

    51,84

    4,55

    2,65

    27,3

    150,07

     

    10,90

     
     

    Recorrido:

    7,2 – 1,3 = 5,9

    Desviación media:

    DM = 10,90/6 = 1,82

    Desviación típica:

    Varianza:

    σ2 = (150,07/6) – 4,552 = 4,31

     

     

  • Medidas de dispersión de una variable discreta 01

     

    Halla las medidas de dispersión de esta distribución de pesos: 83, 65, 72, 70, 80, 75, 90, 68.

     

     

    Solución:

    Recorrido o rango:

    Diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable estadística.

    Desviación media:

    DM = Σ|xi – M|/n

    siendo M = Σxi/n (la media)

    Desviación típica:

    Varianza:

    σ2 = (Σxi2/n) – M2

    Para facilitar los cálculos de cada una de las medidas de dispersión realizaremos la siguiente tabla, teniendo en cuenta que n = 8:

     

    xi

    x12

    M

    |xi – M|

     65 

    4225

    603/8 = 75,375

    10,375

    68

    4624

    75,375

    7,375

    70

    4900

    75,375

    5,375

    72

    5184

    75,375

    3,375

    75

    5625

    75,375

    0,375

    80

    6400

    75,375

    4,625

    83

    6889

    75,375

    7,625

    90

    8100

    75,375

    14,625

    603

    45947

     

    53,75

     

     

    Recorrido:

    90 – 65 = 25

    Desviación media:

    DM = 53,75/8 = 6,71875

    Desviación típica:

    Varianza:

    σ2 = (45947/8) – 75,3752 = 61,98