Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Medidas de centralización de una variable continua 02

     

    En la biblioteca de un centro se han tomado 100 libros y se ha contado el número de obras reseñadas en la bibliografía de cada uno de ellos, resultando la siguiente tabla:

     

    Calcular:

    a)  Media

    b)  Mediana

    c)  Moda

     

     

    Solución:

    Media:

    M = Σxi·fi/Σfi

    Mediana:

    Hay que buscar el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:

    Fi ≥ Σfi/2

    Por tanto, la mediana se encuentra en intervalo hallado y se puede tomar como valor aproximado su marca de clase. A dicho intervalo se le llama clase mediana o intervalo mediana.

    Pero si se quiere calcular con exactitud se puede aplicar la siguiente expresión:

    Me = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σfi/2) – Fi (anterior)]/fi}

    Moda es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta.

    Al intervalo que contiene a la moda se le llama clase modal o intervalo modal.

    En la mayoría de los casos bastará saber el intervalo modal, pero si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:

    Mo = Cotainferior + Amplitud·{(fi – fi, anterior)/[(fi – fi, anterior) + (fi – fi, posterior)]}

    Ahora se debe realizar la tabla correspondiente, para facilitar los cálculos necesarios y responder a los diferentes apartados del problema.

    Intervalos 

    xi

    fi

    Fi

    xi·fi

    0 – 10

    5

    8

    8

    40

    20 – 30

    15

    12

    20

    180

    20 – 30

    25

    10

    30

    250

    30 – 40

    35

    14

    44

    490

    40 – 50

    45

    21

    65

    945

    50 – 60

    55

    16

    81

    880

    60 – 70

    65

    10

    91

    650

    70 – 80

    75

    5

    96

    375

    80 – 90

    85

    3

    99

    255

    90 – 100

    95

    1

    100

    95

     

     

    100

     

    4160

     

    a)  Media:

    M = Σxi·fi/Σfi = 4160/100 = 41,6

    b)  Mediana:

    Hay que buscar el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, por tanto:

    Fi ≥ Σfi/2 = 100/2 = 50 → 65 ≥ 50 → 40 – 50

    Clase mediana o intervalo mediana: 40 – 50

    La mediana está en el intervalo [40 – 50) pudiéndose tomar como valor aproximado la marca de clase, o sea:

    Me = 45

    Pero si queremos hallar un valor exacto utilizaremos la siguiente expresión, ya citada anteriormente:

    Me = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σfi/2) – Fi (anterior)]/fi}

    Me = 40 + (50 – 40)·[(50 – 44)/21]

    Me = 40 + (60/21) = 900/21 = 42,86

    También se puede obtener gráficamente:

    Aplicando el teorema de Thales:

    (Me – 40)/(50 – 44) = (50 – 40)/(65 – 44)

    (Me – 40)/6 = 10/21 → Me – 40 = 60/21 

    Me = 40 + (60/21) = (60 + 840)/21 

    Me = 900/21 = 42,86 

    c)  Moda: Intervalo con mayor frecuencia absoluta.

    El intervalo modal o clase modal es 40 – 50.

    Como ya se ha dicho anteriormente, si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:

    Mo = Cotainferior + Amplitud·{(fi – fi, anterior)/[(fi – fi, anterior) + (fi – fi, posterior)]}

    M0 = 40 + (50 – 40)·{(21 – 14)/[(21 – 14) + (21 – 16)]}

    M0 = 40 + (70/12) = 550/12 = 45,83

    También se puede obtener gráficamente:

    x/(21 – 14) = y/(21 – 16) → x/7 = [(50 – 40) – x]/5

    x/7 = (10 – x)/5 → 5 x = 70 – 7 x

    12 x = 70 → x = 70/12

    M0 = 40 + (70/12) = 550/12 = 45,83

     

     

     

  • Medidas de centralización de una variable continua 01

     

    Dada la siguiente distribución:

    Intervalos

    fi

    0 – 4

    5

    4 – 8

    6

    8 – 12

    8

    12 – 16

    12

    16 – 20

    10

    20 – 24

    9

     
    Calcular:

    a)  Media

    b)  Medina

    c)  Moda

     

    Solución:

    Media:

    M = Σxi·fi/Σfi

    Mediana:

    Hay que buscar el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:

    Fi ≥ Σfi/2

    Por tanto, la mediana se encuentra en intervalo hallado y se puede tomar como valor aproximado su marca de clase. A dicho intervalo se le llama clase mediana o intervalo mediana.

    Pero si se quiere calcular con exactitud se puede aplicar la siguiente expresión:

    Me = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σfi/2) – Fi (anterior)]/fi}

    Moda es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta.

    Al intervalo que contiene a la moda se le llama clase modal o intervalo modal.

    En la mayoría de los casos bastará saber el intervalo modal, pero si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:

    Mo = Cotainferior + Amplitud·{(fi – fi, anterior)/[(fi – fi, anterior) + (fi – fi, posterior)]}

    Ahora se debe realizar la tabla correspondiente, para facilitar los cálculos necesarios para responder a los diferentes apartados del problema.

    Marcas de clase:

    x1 = (0 + 4)/2 = 2; x2 = (4 + 8)/2 = 6; x3 = (8 + 12)/2 = 10

    x4 = (12 + 16)/2 = 14; x5 = (16 + 20)/2 = 18; x5 = (20 + 24)/2 = 22  

       Intervalos   

         xi     

         fi     

       Fi     

         xi·fi     

    0 – 4

    2

    5

    5

    10

    4 – 8

    6

    6

    11

    36

    8 – 12

    10

    8

    19

    80

    12 – 16

    14

    12

    31

    168

    16 – 20

    18

    10

    41

    180

    20 – 24

    22

    9

    50

    198

     

     

    50

     

    672

     

    a)  Media aritmética:

    M = Σxi·fi/Σfi = 672/50 = 13,44

    b)  Mediana:

    Hay que buscar el primer intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, por tanto:

    Fi ≥ Σfi/2 = 50/2 = 25 → 31 ≥ 25 → 12 – 16

    Clase mediana o intervalo mediana: 12 – 16

    La mediana está en el intervalo [12 – 16) pudiéndose tomar como valor aproximado la marca de clase, o sea:

    Me = 14

    Pero si queremos hallar un valor exacto utilizaremos la siguiente expresión, ya citada anteriormente:

    Me = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σfi/2) – Fi (anterior)]/fi}

    Me = 12 + (16 – 12)·[(25 – 19)/50]

    Me = 12 + (24/50) = 12,48

    c)  Moda: Intervalo con mayor frecuencia absoluta.

    El intervalo modal o clase modal es 12 – 16.

    Como ya se ha dicho anteriormente, si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:

    Mo = Cotainferior + Amplitud·{(fi – fi, anterior)/[(fi – fi, anterior) + (fi – fi, posterior)]}

    M0 = 12 + (16 – 12)·{(11 – 8)/[(11 – 8) + (11 – 10)]}

    M0 = 12 + 4· [3/(3 + 1)] = 15

     

     

  • Medidas de centralización y dispersión de una variable discreta 06

     

    Un dentista examina a unos cuantos niños de los 350 que hay en un colegio, para detectar el número de caries de cada uno:

     Caries

    Niños 

    0

    25

    1

    20

    2

    35

    3

    15

    4

    5

     

    a)  Diferencia claramente entre la población y la muestra del estudio estadístico anterior. Indica cuál es la variable y de qué tipo es.

    b)  ¿Cuál es el número medio de caries por niño?

    c)  ¿Qué desviación típica tiene esta variable? Indica cuál es el recorrido.

    d)  Halla el coeficiente de variación y el intervalo de normalidad estadística.

     

     

    Solución:

    a)  Población: Los 350 niños.

    Muestra: Los 100 niños examinados.

    Variable: El número de caries.

    Tipo: Cuantitativa discreta.

    b)     

    xi

    fi

    xi·fi

    xi2·fi

    0

    25

    0

    0

    1

    20

    20

    20

    2

    35

    70

    140

    3

    15

    45

    135

    4

    5

    20

    80

    Total

    100

    155

    375

     

    Media:

    M = Σxi·fi/Σfi

    M = 155/100 = 1,55

    c)  Desviación típica:

     

    Recorrido = 4 – 0 = 4 caries

    d)  Coeficiente de variación:

    C. V. = σ/M = 1,16/1,55 = 0,75 → 75%

    Intervalo de normalidad:

    (M – σ, M + σ) = (1,55 – 1,16; 1,55 + 1,16) = (0,39; 2,71)

     

     

  • Medidas de centralización y dispersión de una variable discreta 05

     

    Calcula la moda, mediana, media, desviación media, rango, varianza, desviación típica y coeficiente de variación de la siguiente tabla:

    xi

    fi

    0

    13

    1

    14

    2

    14

    3

    7

    4

    2

     

     

     

    Solución:

    Moda (Mo) es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta (fi).

    Mediana (Me):

    Hay que buscar el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada (Fi) sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:

    Me ≥ Fi/2

    Media (M):

    M = Σxi·fi/Σfi

    Desviación media (DM):

    DM = Σ|xi – M|/Σfi

    Rango o recorrido:

    Diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable estadística.

    Varianza:

    σ2 = (Σxi2/Σfi) – M2

    Desviación típica:

    Coeficiente de variación (C. V):

    C. V = σ/M

    Para facilitar los cálculos de cada una de las medidas que se deben hallar, realizaremos la siguiente tabla:

    xi

    fi

    Fi

    xi·fi

    xi2·fi

    |xi – M|

    0

    13

    13

    0

    0

    1,42

    1

    14

    27

    14

    14

    0,42

    2

    14

    41

    28

    56

    0,58

    3

    7

    48

    21

    63

    1,58

    4

    2

    50

    8

    32

    2,58

     

    50

     

    71

    165

    6,58

     

    Moda:

    M0 = {1, 2} (es una distribuación bimodal)

    Mediana:

    Fi ≥ 50/2 = 25 → 27 ≥ 25, luego: Me = 1

    Media:

    M = 71/50 = 1,42

    Desviación media:

    DM = 6,58/50 = 0,1316

    Rango:

    4 – 0 = 4

    Varianza:

    σ2 = (165/50) – 1,422 = 1,2836

    Desviación típica:

    Coeficiente de variación:

    C. V. = 1,133/1,42 = 0,8 → 80%

     

     

  • Medidas de centralización y dispersión de una variable discreta 04

     

    Haz el estudio de la siguiente tabla hallando:

    xi

    fi

    3

    1

    5

    3

    7

    9

    9

    6

    11

    2

     

    Moda. Mediana. Media. Desviación típica. Coeficiente de variación. Desviación media. Rango. Varianza.

     

     

    Solución:

    Moda (Mo) es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta (fi).

    Mediana (Me):

    Hay que buscar el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada (Fi) sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:

    Me ≥ Fi/2

    Media (M):

    M = Σxi·fi/Σfi

    Desviación típica:

    Coeficiente de variación (C. V):

    C. V = σ/M

    Desviación media (DM):

    DM = Σ|xi – M|/Σfi

    Rango o recorrido:

    Diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable estadística.

    Varianza:

    σ2 = (Σxi2/Σfi) – M2

    Para facilitar los cálculos de cada una de las medidas que se deben hallar, realizaremos la siguiente tabla:

    xi

    fi

    Fi

    xi·fi

    xi2·fi

    |xi – M|

    3

    1

    1

    3

    9

    4,5

    5

    3

    4

    15

    75

    2,5

    7

    9

    13

    63

    441

    0,5

    9

    6

    19

    54

    486

    1,5

    11

    2

    21

    22

    242

    3,5

     

    21

     

    157

    1253

    12,5

     

    Moda:

     Mo = 7

    Mediana:

    Me ≥ 21/2 = 10,5 → 13 ≥ 10,5, luego: Me = 7

    Media:

    M = 157/21 = 7,5

    Desviación típica:

    Coeficiente de variación:

    C. V = 1,85/7,5 = 0,25 → 25%

    Desviación media:

    DM = 12,5/21 = 0,6

    Rango:

    11 – 3 = 8

    Varianza:

    σ2 = (1253/21) – 7,52 = 3,42