Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Tablas de doble entrada 01

     

    Los datos al estudiar en 25 alumnos las variables X = nota final de Matemáticas e Y = nota final de Lengua son los siguientes:

    (7,3; 8,2), (5,1; 4,8), (3,0; 3,0), (0,5; 1,6), (1,0; 1,2), (9,9; 9,2), (8,3; 9,8), (4,0; 5,3)

    (2,1; 3,0), (6,5; 5,0), (5,4; 3,8), (5,0; 6,2), (3,9; 4,8), (2,1; 2,0), (7,0; 7,0), (8,2; 5,4)

    (6,9; 4,3), (3,5; 6,1), (1,9; 2,2), (6,7; 7,3), (9,5; 8,4), (6,4; 5,8), (6,1; 7,2), (5,5; 5,0)

    (7,8; 8,7)  

    Agrupa los datos en intervalos de clase y construye una tabla de doble entrada.

     

     

    Solución:

    Intervalos de clases para la variable X.

    Recorrido de la variable:  xmáx. – xmín. =  9,9 – 0,5 = 9,4

    Número de intervalos de clase en que se agrupan los datos (se trata de un número arbitrario, generalmente entre 5  y 10). En este caso vamos a tomar 5.

    Amplitud de cada intervalo:

    9,4/5 = 1,88 ≈ 2

    Como origen del primer intervalos se toma un valor inferior al menor de los valores que toma la variable X en la distribución, por ejemplo el 0, y se escribe, de menor a mayor, los intervalos de clase.

    [0, 2), [2, 4), [4, 6), [6, 8), [8, 10)

    Punto medio de cada intervalo de clase:

    (0 + 2)/2 = 1     (2 + 4)/2 = 3    (4 + 6)/2 = 5    (6 + 8)/2 = 7    (8 + 10)/2 = 9

    Los puntos hallados son las marcas de clase.

    Intervalos de clases para la variable Y.

    Recorrido de la variable Y:  ymáx. – ymín. = 9,8 – 1,2 = 8,6

    Número de intervalos de clase en que se agrupan los datos (se trata de un número arbitrario, generalmente entre 5  y 10). En este caso vamos a tomar 5.

    Amplitud de cada intervalo:

    8,6/5 = 1,72 ≈ 2

    Como origen del primer intervalos se toma un valor inferior al menor de los valores que toma la variable Y en la distribución, por ejemplo el 0, y se escribe, de menor a mayor, los intervalos de clase.

    [0, 2), [2, 4), [4, 6), [6, 8), [8, 10)

    Punto medio de cada intervalo de clase:

    (0 + 2)/2 = 1     (2 + 4)/2 = 3    (4 + 6)/2 = 5    (6 + 8)/2 = 7    (8 + 10)/2 = 9

    Los puntos hallados son las marcas de clase.

    Tabla de doble entrada.

    Contamos los datos de la distribución cuyos valores de X e Y pertenezcan, respectivamente, a cada intervalo considerado (frecuencia absoluta) y los anotamos en la casilla correspondiente.

     

     

  • Medidas de centralización y dispersión de una variable continua 04

     

    En una gasolinera estudian el número de vehículos que repostan a lo largo del día, obteniéndose los siguientes resultados:

    Horas

    [0, 4[

    [4, 8[

    [8, 12[

    [12, 16[

    [16, 20[

    [20, 24[

    Vehículos

    1

    2

    11

    18

    23

    5

     
    a)    Haz la representación gráfica que mejor se adapte a este estudio. ¿Cuál es su nombre?
    b)    Calcula las medidas de centralización.
    c)     Calcula las medidas de dispersión.
    d)    ¿Qué conclusiones sacarías de los resultados obtenidos en los apartados anteriores?

     

     

    Solución:

    Para encontrar todas las medidas que se nos piden, primero tabularemos los datos.

    Intervalo 

    xi

    fi

    Fi

    xi·fi 

     xi2·fi

    [0, 4)

    2

    1

    1

    2

    4

    [4, 8)

    6

    2

    3

    12

    72

    [8, 12)

    10

    11

    14

    110

    1100

    [12,16)

    14

    18

    32

    252

    3528

    [16, 20)

    18

    23

    55

    414

    7452

    [20, 24]

    22

    5

    60

    110

    2420

     

     

    60

     

    900

    14576

     

    a)  La gráfica que mejor se adapta a este estudio es el histograma.

    b)  Medidas de centralización:

    Media:

    M = Σxi·fi/Σfi = 900/60 =15

    Mediana:

    Hay que buscar el primer valor de la variable cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, por tanto:

    Fi ≥ Σfi/2 = 60/2 = 30 → 32 ≥ 30 → 12 – 16

    Clase mediana o intervalo mediana: 12 – 16

    Me = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σfi/2) – Fi (anterior)]/fi}

    Me = 12 + (16 – 12)·[(30 – 14)/21]

    Me = 12 + (64/21) = 15

    Moda: Intervalo con mayor frecuencia absoluta.

    El intervalo modal o clase modal es 16 – 20

    Mo = Cotainferior + Amplitud·{(fi – fi, anterior)/[(fi – fi, anterior) + (fi – fi, posterior)]}

    M0 = 16 + (20 – 16)·{(23 – 18)/[(23 – 18) + (23 – 5)]}

    M0 = 16 + 4· [5/(5 + 18)] = 16 + (20/23) = 16,87

    Medidas de dispersión:

    Recorrido: 24 – 0 = 24

    Varianza:

    σ2 = (Σxi2·fi/Σfi) – M = (14576/60) – 152 = 17,93

    Desviación típica o estándar:

    c)  El máximo número de vehículos que reposta se encuentra en el intervalo [16, 20) y el mínimo en el intervalo [0, 4). También se puede observar que el número de vehículos aumenta conforme avanza el día hasta las 20 horas que vuelve a decrecer.

     

     

  • Medidas de centralización y dispersión de una variable continua 03

     

    Se ha obtenido un test de inteligencia a todos los alumnos de una clase. Las puntuaciones obtenidas son:

    PUNTUACIONES

    [10, 15[

    [15, 20[

    [20, 30[

    [30, 40[

    [40, 45[

    [45, 60[

    Nº ALUMNOS

    6

    6

    10

    5

    10

    3

     

    a)  Dibuja el histograma

    b)  Halla la media y la desviación típica.

     

     

    Solución:

    a)  Como los intervalos no son del mismo tamaño, para representar el histograma debemos calcular las alturas de cada barra de manera que el área representada sea proporcional a la frecuencia.

    altura = frecuencia/amplitud intervalo

    a1 = 6/(15 – 10) = 6/5 = 1,2

    a2 = 6/(20 – 15) = 6/5 = 1,2

    a3 = 10/(30 – 20) = 1

    a4 = 5/(40 – 30) = 0,5

    a5 = 10/(45 – 40) = 2

    a6 = 3/(60 – 45) = 3/15 = 0,2

    b)    

    xi

    fi

    xi·fi

    xi2·fi

    12,5

    6

    75

    937,5

    17,5

    6

    105

    1837,5

    25

    10

    250

    6250

    35

    5

    175

    6125

    42,5

    10

    425

    18062,5

    52,5

    3

    157,5

    8268,75

     

    40

    1187,5

    41481,25

     

    Media:

    M = Σxi·fi/Σfi = 1187,5/40 = 29,7

    Desviación típica:

     

     

  • Medidas de centralización y dispersión de una variable continua 02

     

    Dados:

    a)  Los siguientes estudios realizados en la misma clase:

    Nº horas que dedican al deporte al mes

    [0, 10)

    [10, 20)

    [20, 30)

    [30, 40)

    Nº de alumnos

    2

    6

    8

    4

     
    b)  El número de libros que leen los alumnos de una clase:

    0, 0, 3, 1, 1, 1, 2, 0, 1, 2, 3, 1, 1, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 1

    Realiza sus tablas de frecuencias, calcula las medidas de centralización y de dispersión y realiza con una de ellas un diagrama de barras y con la otra un diagrama de sectores.

     

     

    Solución:

    Media :

    M = Σxi·fi/Σfi

    Mediana:

    Hay que buscar el intervalo cuya frecuencia absoluta acumulada sea igual o exceda a la mitad del número de datos, es decir:

    Fi ≥ Σfi/2

    Por tanto, la mediana se encuentra en intervalo hallado y se puede tomar como valor aproximado su marca de clase. A dicho intervalo se le llama clase mediana o intervalo mediana.

    Pero si se quiere calcular con mayor exactitud se puede aplicar la siguiente expresión:

    Me = Cota (inferior) + Amplitud·{[(Σfi/2) – Fi (anterior)]/fi}

    Moda es el valor que más veces aparece, es decir, el que tiene la mayor la frecuencia absoluta.

    Al intervalo que contiene a la moda se le llama clase modal o intervalo modal.

    En la mayoría de los casos bastará saber el intervalo modal, pero si se quiere calcular con exactitud el valor de la moda, utilizaremos la siguiente expresión:

    Mo = Cotainferior + Amplitud·{(fi – fi, anterior)/[(fi – fi, anterior) + (fi – fi, posterior)]}

    Medidas de dispersión:

    Desviación media:

    D.M. = Σ|xi – M|/Σfi

    Varianza:

    σ2 = (Σfi·xi2/Σfi) – M2

    Desviación típica:

    a)     

    Intervalo

     xi

     fi

    Fi

    xi·fi

    xi2·fi

    |xi – M|

    0 – 10

    5

    2

    2

    10

    50

    17

    10 – 20

    15

    6

    8

    90

    1350

    7

    20 – 30

    25

    8

    16

    200

    5000

    3

    30 – 40

    35

    4

    20

    140

    4900

    13

     

     

    20

     

    440

    11300

    40

     

    Medidas de centralización.

    Media:

    M = 440/20 = 22

    Mediana:

    Fi ≥ 20/2 = 10 → 16 ≥ 10 → 20 – 30

    Clase mediana o intervalo mediana: 20 – 30

    Me = 20 + (30 – 20)·[(10 – 8)/8] = 22,5

    Moda: Intervalo con mayor frecuencia absoluta.

    El intervalo modal o clase modal es 20 – 30

    M0 = 20 + 10·{(8 – 6)/[(8 – 6) + (8 – 4)]}

    M0 = 20 + (20/6) = 140/6 = 23,3

    Medidas de dispersión:

    Desviación media:

    D. M. = 40/20 = 2

    Varianza:

    σ2 = (11300/20) – 222 = 81

    Desviación típica:

    Amplitud de los sectores:

    [0, 10) = (360/20)·2 = 36º

    [10, 20) = (360/20)·6 = 108º

    [20, 30) = (360/20)·8 = 144º

    [30, 40) = (360/20)·4 = 72º

    Diagrama de sectores de la frecuencia absoluta.

    b)     

     xi

    fi

    Fi

    xi·fi

    xi2·fi

    |xi – M|

    0

    7

    7

    0

    0

    1

    1

    8

    15

    8

    8

    0

    2

    3

    18

    6

    12

    1

    3

    2

    20

    6

    18

    2

     

    20

     

    20

    38

    4

     

    Medidas de centralización:  

    Media:

    M = 20/20 = 1

    Mediana:

    Fi ≥ 20/2 = 10 → 15 ≥ 10 → xi = 1

    Me = 15

    Moda:

    M0 = 1

    Medidas de dispersión.

    Desviación media:

    D. M. = 4/20 = 0,2

    Varianza:

    σ2 = (38/20) – 12 = 0,9

    Desviación típica:

    Diagrama de barras de la frecuencia absoluta:

     

     

  • Medidas de centralización y dispersión de una variable continua 01

     

    La distribución de pesos de 60 pacientes de un centro médico es la siguiente:

    Kilos de peso

    Número de pacientes

    [50, 60[

    3

    [60, 70[

    15

    [70, 80[

    20

    [80, 90[

    17

    [90, 100[

    4

    [100, 110[

    1

     

    Realiza la representación gráfica de la distribución y halla la media y la desviación típica.

     

     

    Solución:

    Media :

    M = Σxi·fi/Σfi

    Desviación típica:

    Ahora se debe realizar la tabla correspondiente, para facilitar los cálculos necesarios y responder a los diferentes apartados del problema.

    Intervalo

    xi

    fi

    xi·fi

    xi2·fi

    50 – 60

    55

    3

    165

    9075

    60 – 70

    65

    15

    975

    63375

    70 – 80

    75

    20

    1500

    112500

    80 – 90

    85

    17

    1445

    122825

    90 – 100

    95

    4

    380

    36100

    100 – 110

    105

    1

    105

    11025

     

     

    60

    4570

    354900

     

    Media:

    M = Σxi·fi/Σfi = 4570/60 = 76,17

    Desviación típica: