Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Aplicaciones. Estimaciones 11

     

    El número de bacterias por unidad de volumen, presentes en un cultivo después de un cierto número, viene expresado en la siguiente tabla:

    Nº de  horas

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    Nº de bacterias por unidad de volumen

    12

    19

    23

    34

    56

    62

     

    a)  Indica el grado de dependencia lineal. Interprétala

    b)  Al cabo de 7 horas ¿cuántas bacterias habrá por unidad de volumen? ¿Es buena esta predicción? ¿Por qué?

    c)  ¿Y al cabo de 50 horas? ¿Es buena esta predicción? ¿Por qué?

    d)  ¿Después de cuántas horas se conseguiría obtener 40 bacterias por unidad de volumen?

     

     

    Solución:

    Representamos un diagrama de dispersión y observamos la relación que existe entre las variables y, en caso de dependencia estadística, el grado, el sentido y el tipo de correlación.

    Horas (x)

    Bacterias (y)

    0

    12

    1

    19

    2

    23

    3

    34

    4

    56

    5

    62

     

    A simple vista podemos afirmar que existe una dependencia estadística o correlación entre las variables X e Y, porque los puntos de la nube se agrupan en torno a una posible recta.

    Grado:

    Al ser esta recta reconocible se puede afirmar que la correlación es fuerte.

    Sentido:

    Positivo (cuando X aumenta Y aumenta)

    Tipo:

    Correlación lineal, ya que la nube de puntos se distribuye alrededor de una recta.

    a)  Correlación es el grado de dependencia que existe entre dos variables.

    xi

    yi

    xi2

    yi2

    xi·yi

    0

    12

    0

    144

    0

    1

    19

    1

    361

    19

    2

    23

    4

    529

    46

    3

    34

    9

    1156

    102

    4

    56

    16

    3136

    224

    5

    62

    25

    3844

    310

    15

    206

    55

    9170

    701

    Coeficiente de correlación: 

    r = σxyx·σy

    Covarianza:

    σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My

    Medias:

    Mx = Σxi/n              My = Σyi/n

    Desviaciones típicas: 

    Como n = 6:

    Mx = 15/6 = 2,5

    My = 206/6 = 34,3

    σxy = (701/6) – 2,5·34,3 = 31,1

    r = 31,1/1,7·18,8 = 0,97

    Podemos comprobar que existe una correlación lineal positiva muy fuerte, como habíamos  predicho a la vista del diagrama de dispersión, ya que r es próxima a 1.

    b)  Recta de regresión de Y sobre X:

    y = My + (σxyx2)·(x – Mx)

    y = 34,3 + (31,1/1,72)·(x – 2,5)

    y = 34,3 + 10,8·(x – 2,5)

    y = 34,3 + 10,8 x – 27

    y = 10,8 x + 7,3

    x = 7 → y = 10,8·7 + 7,3 = 82,9

    Para x = 7 horas es muy probable que el valor correspondiente de y sea próximo a 83 bacterias por unidad de volumen.

    La estimación es muy fiable pues el valor de la variable x se encuentra muy cerca del intervalo [0, 5] y el grado de dependencia lineal es muy fuerte.

    c)   

    x = 50 → y = 10,8·50 + 7,3 = 547,3

    Para x = 50 horas es muy probable que el valor correspondiente de y sea próximo a 547 bacterias por unidad de volumen.

    A pesar de que el grado de correlación es alto, esta predicción es menos fiable que la anterior porque el valor de la variable y está muy alejada del punto medio de la distribución. (No se encuentra en el intervalo [0, 5])

    d)     

    y = 40 → 40 = 10,8 x + 7,3

    10,8 x = 40 – 7,3 = 32,7

    x = 32,7/10,8 ≈ 3

    Para y = 40 bacterias por unidad de volumen es muy probable que el valor correspondiente de x sea próximo a 3 horas.

     

     

  • Aplicaciones. Estimaciones 10

     

    Midiendo la potencia en CV y el consumo en L/100 km en seis modelos diferentes de coches, hemos obtenido los siguientes resultados:

    x: POTENCIA

    110

    100

    120

    140

    150

    90

    y: CONSUMO

    5,8

    5,8

    5,9

    6,2

    6,2

    5

     

    a)  Halla la recta de regresión de y sobre x

    b)  Calcula el consumo de un coche cuya potencia sea de 190 CV

    c)  ¿Es fiable la estimación anterior? Explica por qué

     

     

    Solución:

    a)  Recta de regresión de y sobre x:

    y = My + (σxyx2)·(x – Mx)

    xi

    yi

    xi2

    yi2

    xi·yi

    90

    5

    8100

    25

    450

    100

    5,8

    10000

    33,64

    580

    110

    5,8

    12100

    33,64

    638

    120

    5,9

    14400

    34,81

    708

    140

    6,2

    19600

    38,44

    868

    150

    6,2

    22500

    38,44

    930

    710

    34,9

    86700

    203,97

    4174

     

    Medias (n = 6):

    Mx = Σxi/n = 710/6 = 118,33

    My = Σyi/n = 34,9/6 = 5,82

    Covarianza:

    σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (4174/6) – 118,33·5,82 = 6,99

    Desviaciones típicas: 

    Recta de regresión de y sobre x:

    y = 5,82 + (6,99/21,172)·(x – 118,33)

    y = 5,82 + 0,016·(x – 118,33)

    y = 5,82 + 0,016 x – 1,89

    y = 0,016 x + 3,93

    Coeficiente de correlación:

    r = σxyx·σy = 6,99/21,17·0,35 = 0,94

    b)    

    x = 190 → 0,016·190 + 3,93 ≈ 7

    Para un coche cuya potencia sea de 190 CV es muy probable que su consumo sea 7 litros por cada 100 km.

    c)  La estimación es poco fiable pues el valor de la variable x no se encuentra cerca del intervalo [90, 150], aunque el grado de correlación es alto.

     

     

  • Aplicaciones. Estimaciones 09

     

    Un preparado farmacéutico pierde eficacia con el tiempo. Supuesto que al cabo de 2, 3, 4, 5 y 6 meses pierde el 10%, 20%, 40%, 60% y 80%, respectivamente, calcular:

    a)  La relación entre eficacia y tiempo.

    b)  Cuándo no producirá ningún efecto el medicamento.

     

     

    Solución:

    a)   

    x: Tiempo (meses)

    2

    3

    4

    5

    6

    y: Eficacia (%)

    90%

    80%

    60%

    40%

    20%

     

    Representamos un diagrama de dispersión y observamos la relación que existe entre las variables y, en caso de dependencia estadística, el grado, el sentido y el tipo de correlación.

    xi

    y1

    2

    90

    3

    80

    4

    60

    5

    40

    6

    20

     

    A simple vista, podemos concluir que existe una fuerte correlación lineal negativa.

    Calculamos el coeficiente de Pearson y valoramos un posible ajuste mediante una recta de regresión.

    xi

    yi

    xi2

    yi2

    xi·yi

    2

    90

    4

    8100

    180

    3

    80

    9

    6400

    240

    4

    60

    16

    3600

    240

    5

    40

    25

    1600

    200

    6

    20

    36

    400

    120

    20

    290

    90

    20100

    980

     

    Coeficiente de correlación de Pearson:

    r = σxyx·σy

      Medias (n = 5):

    Mx = Σxi/n = 20/5 = 4

    My = Σyi/n = 290/5 = 58

    Covarianza:

    σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (980/5) – 4·58 = –36

    Desviaciones típicas: 

    r = –36/1,4·25,6 = –1

    Podemos comprobar que existe una correlación lineal negativa perfecta, ya que r es igual a –1.

    La relación entre eficacia y tiempo es funcional.

    b)  Recta de regresión del tiempo sobre la eficacia (X sobre Y):

    x = Mx + (σxyy2)·(y – My)

    x = 4 – (36/25,62)·(y – 58)

    x = 4 – 0,055 y + 3,19

    x = –0,055 y + 7,19

    y = 0 → x = 7,19

    A partir de los siete meses el medicamento no producirá efecto alguno.

     

     

  • Aplicaciones. Estimaciones 08

     

    Ocho niños de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 años pesan, respectivamente, 14, 18, 25, 30, 32, 35, 40 y 42 kg. Hallar las ecuaciones de las rectas de regresión de la edad sobre el peso y del peso sobre la edad, así como el coeficiente de correlación. ¿Cuál es la edad estimada de un niño que pesa 28 kg?

     

     

    Solución:

    x: edad

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    y: peso

    14

    18

    25

    30

    32

    35

    40

    42

     

    Rectas de regresión.

    Recta de regresión de la edad sobre el peso (X sobre Y):

    x = Mx + (σxyy2)·(y – My)

    Recta de regresión del peso sobre la edad (Y sobre X):

    y = My + (σxyx2)·(x – Mx)

    xi

    yi

    xi2

    yi2

    xi·yi

    2

    14

    4

    196

    28

    3

    18

    9

    324

    54

    4

    25

    16

    625

    100

    5

    30

    25

    900

    150

    6

    32

    36

    1024

    192

    7

    35

    49

    1225

    245

    8

    40

    64

    1600

    320

    9

    42

    81

    1764

    378

    44

    236

    284

    7658

    1467

     

    Medias (n = 8):

    Mx = Σxi/n = 44/8 = 5,5

    My = Σyi/n = 236/8 = 29,5

    Covarianza:

    σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (1467/8) – 5,5·29,5 = 21,125

    Desviaciones típicas: 

    Recta de regresión de la edad sobre el peso:

    x = 5,5 + (21,125/9,332)·(y – 29,5)

    x = 5,5 + 0,24·(y – 29,5)

    x = 5,5 + 0,24 y – 7,1

    x = 0,24 y – 1,6

    Recta de regresión del peso sobre la edad: 

    y = 29,5 + (21,125/2,292)·(x – 5,5)

    y = 29,5 + 4·(x – 5,5)

    y = 29,5 + 4 x – 22

    y = 4 x + 7,5

    Coeficiente de correlación lineal: r = σxyx·σy, varía entre –1 y + 1.

    Cuando |r| > 0,5 se dice que la correlación es significativa.

    Si r > 0 la correlación es directa y si r  = 1 la correlación es positiva perfecta.

    r = 21,125/2,29·9,33 = 0,989

    Podemos comprobar que existe una correlación lineal positiva por tanto directa muy fuerte, ya que r es próxima a 1.

    Entre los datos existe una correlación lineal positiva bastante buena.

    y = 28 → x = 0,24·28 – 1,6 = 5,12

    Para un niño que pesa 28 kg es muy probable que su edad sea próxima a 5 años.

     

     

  • Aplicaciones. Estimaciones 07

     

    En una muestra de ocho familias se considera la talla x, en cm, del padre y la talla y, también en cm, del hijo mayor, adulto. Los resultados fueron:

    x

    165

    166

    166

    167

    168

    168

    169

    170

    y

    164

    167

    165

    168

    170

    167

    170

    170

     

    Hallar la ecuación de la recta de regresión de y sobre x y el coeficiente de correlación. ¿Cuál será la altura estimada del hijo cuyo padre mide 175 cm?

     

     

    Solución:

    Recta de regresión de y sobre x:

    y = My + (σxyx2)·(x – Mx)

    Coeficiente de correlación:

    r = σxyx·σy

    xi

    yi

    xi2

    yi2

    xi·yi

    165

    164

    27225

    26896

    27060

    166

    167

    27556

    27889

    27722

    166

    165

    27556

    27225

    27390

    167

    168

    27889

    28224

    28056

    168

    170

    28224

    28900

    28560

    168

    167

    28224

    27889

    28056

    169

    170

    28561

    28900

    28730

    170

    170

    28900

    28900

    28900

    1339

    1341

    224135

    224823

    224474

     

    Medias (n = 8):      

    Mx = Σxi/n = 1339/8 = 167,375

    My = Σyi/n = 1341/8 = 167,625

    Covarianza:

    σxy = (Σxi·yi/n) – Mx·My = (224474/8) – 167,375·167,625 = 3,02

    Desviaciones típicas: 

    Recta de regresión de y sobre x

    y = 167,625 + (3,02/1,62)·(x – 167,375)

    y = 167,625 + 1,18·(x – 167,375)

    y = 167,625 + 1,18 x – 197,5

    y =1,18 x – 29,88

    Coeficiente de correlación:

    r = 3,02/1,6·2,2 = 0,86

    x = 175 → y = 1,18·175 – 29,88 ≈ 177

    Para un padre que mide 175 cm es muy probable que la altura de su hijo se aproxime a 177 cm.