Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • La binomial como aproximación de la normal 04

     

    Una moneda corriente se lanza 30 veces. Halla la probabilidad de obtener entre 17 y 22 caras usando:

    a)  La distribución binomial

    b)  aproximación de la normal a la binomial

     

     

    Solución:

    a)  Se trata de una distribución binomial B (30; 0,5), con n = 30, p = 0,5, q = 1 – p = 0,5

    b)  Si n·p ≥ 5 y n·q ≥ 5, entonces:

    n·p = 30·0,5 = 15

    n·q = 30·0,5 = 15

    Como se cumplen las condiciones exigidas, B(30; 0,5) ≈ N(15; 2,74)

     De acuerdo con la corrección de Yates, tendremos:

     Tipificando la variable X' se puede utilizar la tabla de la N(0, 1).

     

     

     

     

  • La binomial como aproximación de la normal 03

     

    En una estación de aforos se ha observado que el 62% de los vehículos son automóviles turismo y el resto camiones (no se consideran los vehículos de dos ruedas). Se estudia el paso de 2000 vehículos y sea X la variable aleatoria que representa el número de turismos que pasan por la estación. Se pide:

    a)  Obtén la función de probabilidad de X

    b)  P [1200 ≤ X ≤ 1300]

    c)  P [X ≤ 1250]

     

     

    Solución:

    a)  Se trata de una distribución binomial B(2000; 0,62), con n = 2000, p = 0,62 y q = 1 – p = 0,38.

    Por tanto la función de probabilidad es:

    b)  Si n·p ≥ 5 y n·q ≥ 5, entonces:

    n·p = 2000·0,62 = 1240

    n·q = 2000·0,38 =760

    Como se cumplen las condiciones exigidas, B(2000; 0,62) ≈ N(1240; 2,17), teniéndose que tipificar los valores de la distribución normal.

    Para hallar la probabilidad primero hay que hacer la corrección de Yates, en este caso:

    c)  Para X ≤ 1250, primero hay que hacer la oportuna corrección, en este caso:

     

     

     

  • La binomial como aproximación de la normal 02

     

    El promedio de aciertos en el tiro a canasta de un jugador de baloncesto es del 73 por 100. Si lanza 200 veces, ¿cuál es la probabilidad de que enceste más de 160 lanzamientos?

     

     

    Solución:

    Se trata de una distribución binomial B(200; 0,73), pues consiste en repetir 200 veces la misma prueba, manteniéndose constante la probabilidad de éxito en 0,73 (encestar 73 veces de 100 tiros).

    donde:

    n = 200; p = 0,73; q = 1 – p = 1 – 0,73 = 0,27

    Tenemos que calcular:

    P[X > 160] = P[X = 161] + P[X = 162]+….+ P[X = 200]

    Estos cálculos son prácticamente imposibles si no es con ordenador, pero si se puede resolver con la binomial como aproximación de la normal.

    De la distribución binomial B(200; 0,73) tenemos que:

    μ = n p = 200·0,73 = 146

    n q = 200·0,27 = 54

    Como np y nq son ambos mayores que 5, la aproximación es casi perfecta.

    X es B(200; 0,73) X’ es N(146; 6,28) Z es N(0, 1)

    Para hallar la probabilidad primero hay que hacer la oportuna corrección, en este caso:

     

     

     

  • La binomial como aproximación de la normal 01

     

    En una distribución B(200;  0,3), calcula P[X ≥ 70]

     

     

    Solución:

    Tenemos que calcular:

    P[X ≥ 70] = P[X = 70] + P[X = 71]+….+ P[X = 200]

    Estos cálculos son prácticamente imposibles si no es con ordenador, pero si se pueden resolver con la binomial como aproximación de la normal.

    De la distribución binomial B(200; 0,3) tenemos que:

    n = 200; p = 0,3 q = 1 – p = 1 – 0,3 = 0,7

    de donde:

    μ = n p = 200·0,3 = 60

    n q = 200·0,7 = 140

    Si np y nq son ambos mayores que 3, la aproximación es bastante buena, pero si superan a 5, la aproximación es casi perfecta.

    X es B(200; 0,3) X’ es N(60; 6,48) Z es N(0, 1)

    Para hallar la probabilidad primero hay que hacer una corrección (corrección de Yates), en este caso:

     

     

     

  • Cálculo de probabilidades de la distribución normal 03

     

    La media y la desviación típica de un test a un grupo de estudiante son 96 y 10 respectivamente. Hallar los resultados (tipificados) de los estudiantes que obtuvieron los puntos:

    a)  85

    b)  104

    c)  100

     

     

    Solución:

    Si tenemos una distribución N(μ, σ) para tipificar un valor X, se hace lo siguiente:

    En este caso μ= 96 y σ = 10, por tanto la distribución es N(96, 10).

    a)     

    Z = (85 – 96)/10 = –1,1

    b)     

    Z = (104 – 96)/10 = 0,8

    c)     

    Z = (100 – 96)/10 = 0,4