Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Función de distribución de una variable aleatoria continua 02

     

    Sea X una variable aleatoria con función de densidad:

    a)  Calcula k

    b)  Halla P[0≤X≤1]

     

     

    Solución:

    a)  Como se ha de verificar que:

    (1/2) + 2k = 1 2k = 1/2 k = 1/4

    b)  Primer método:

    P[0≤X≤1] = Área del trapecio A = {[(2/4) + (1/4)]/2}·(1 – 0) = 3/8

    Segundo método:

    Tercer método:

    Función de distribución:

    P[0≤X≤1] = F(1) – F(0) = [(1/8) + (1/4)] = (1 + 2)/8 = 3/8

     

     

     

  • Función de distribución de una variable aleatoria continua 01

     

    Sea la función:

    a) Halla la función de distribución F de la variable aleatoria X cuya función de densidad es f y represéntala gráficamente.

    b)  Calcula P[1,6≤X≤5,2] a partir de F.

     

     

    Solución:

    a)  Para hallar F es suficiente con calcular P(X≤x) para cualquier x∈ℜ.

    Si x<1:

    Si 1≤x≤4:

    Si x>4:

    Función de distribución:

    Representación gráfica:

    b)     

    P[1,6≤X≤5,2] = P[X≤5,2] – P[X≤1,6] = [1 – (1,6 – 1)/3] = 0,8

     

     

     

  • Función de densidad y probabilidad de una variable aleatoria continua 04

     

    La función de densidad de una variable aleatoria continua viene definida por la siguiente expresión:

    Halla el valor de la constante C, para que f(x) sea una auténtica función de densidad.

     

     

    Solución:

    Para que f sea una función de densidad se ha de verificar que:

    Si C≥0, f(x)≥0, para todo x, y, entonces, f puede ser una función de densidad. En caso contrario no lo es.

    C·(π/4) = 1 C = 4/π

    luego f es una función de densidad si C = 4/π, pues (4/π)>0.

     

     

     

  • Función de densidad y probabilidad de una variable aleatoria continua 03

     

    Sea la función:

    a)  Determina m para que f(x) sea una función de densidad

    b)  Calcula P[2<X<3]

     

     

    Solución:

    a)  Trazamos la grafica de f(x):

    Ahora debemos tener en cuenta que el área del recinto formado por la gráfica de la función f(x) y el eje X ha de ser igual a uno.

    Área del triángulo (A):

    A = (1/2)·4·4m = 8m

    P[–≤X≤+] = P[0≤X≤4] = 0 + A + 0 = 8m = 1

    m = 1/8

    Función de densidad:

    b)    

    P[2≤X≤3] = Área del trapecio A = {[(3/8) + (2/8)]/2}·(3 – 2) = 5/16

     

     

     

     

  • Función de densidad y probabilidad de una variable aleatoria continua 02

     

    Dada la función:

    Determina k para que f(x) sea una función de densidad.

     

     

    Solución:

    Para que f sea una función de densidad sea ha de cumplir que:

    por tanto:

    2k/3 = 1 2k = 3 k = 3/2