Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Tipificación de una variable aleatoria normal 02

     

    En una distribución N (110, 10), calcula:

    a)  P[90 < X < 120]

    b)  P[X > 110]

    c)  P[110 < X < 120]

    d)  P[110 < X < 130]

    e)  P[120 < X < 130]

    f)   P[90 < X < 100]

    g)  P[X < 100]

     

     

    Solución:

    Si se desean realizar cálculos con una distribución normal N(m,s), se tipifica la variable mediante el siguiente cambio

    siendo: μ = media, σ = desviación típica, de X

    En este problema: μ = 110 y σ = 10

    a)             

    b)       

    c)     

    d)     

    e)     

    f)        

    g)       

     

     

     

  • Tipificación de una variable aleatoria normal 01

     

    Si X es una variable aleatoria que sigue una distribución N(9, 4), halla el valor de P[X ≤ 3], P[X ≥ 7] y P[10 ≤ X ≤ 14] tipificando, primero, la variable y usando, después, la tabla de la normal tipificada.

     

     

    Solución:

    Si se desean realizar cálculos con una distribución normal N(m, s), se tipifica la variable mediante el siguiente cambio

    siendo: μ = media, σ = desviación típica, de X

    En este problema: μ = 9 y σ = 4

     

     

      

  • Distribución normal reducida 05

     

    Sea X una variable aleatoria que sigue una distribución N(0, 1). Determina el valor de x si:

    a)  P[0≤X≤x] = 0,4236

    b)  P[X≤x] = 0,7679

    c)  P[x≤X≤2,5] = 0,1234

     

     

    Solución:

    a)    

    P[0≤X≤x] = P[X≤x] – P[X≤0] = 0,4236

    P[X≤x] – 0,5000 = 0,4236

    P[X≤x] = 0,5000 + 0,4236 = 0,9236

    x = 1,43

    b)  El valor de la tabla que más se aproxima a 0,7679 es 0,7672, por tanto:

    P[X≤x] = 0,7679 x = 0,73

    c)      

    P[x≤X≤2,5] = P[X≤2,5] – P[X≤x] = 0,9938 – P[X≤x] = 0,1234  

    0,9938 – 0,1234 = P[X≤x]

      P[X≤x] = 0,8704 x = 1,13

     El valor dado a la x es el correspondiente a 0,8708 que es el más aproximado a 0,8704.

     

     

     

  • Distribución normal reducida 04

     

    En una distribución normal N(0, 1) halla:

    a)  P[0≤X≤1,24]

    b)  P[–0,37≤X≤0]

    c)  P[0,56≤X≤1,62]

    d)   P[|X|≤0,25]

     

     

    Solución:

    a)     

    La probabilidad buscada es igual al área sombreada.

    P[0≤X≤1,24] = P[X≤1,24] – P [X≤0] = 0,8925 – 0,5000 = 0,3925

    b)     

    Según la anterior figura, por simetría de la gráfica tenemos que:

    P[–0,37≤X≤0] = P[0≤X≤0,37] = P[X≤0,37] – P[X≤0] =

    = 0,6443 – 0,500 = 0,1443

    c)       

    La probabilidad buscada es igual al área sombreada.

    P[0,56≤X≤1,62] = P[X≤1,62] – P[X≤0,56] = 0,9478 – 07123 = 0,2355 

    d)     

    La probabilidad buscada es igual al área sombreada.

    P[–0,25≤X≤0,25] = P[X≤0,25] – P[X≤–0,25] = P[X≤0,25] – P[X≥0,25] =

    = P[X≤0,25] – {1 – P[X≤0,25]} = P[X≤0,25] – 1 + P[X≤0,25] =

    = 0,5987 – 1 + 0,5987 = 0,1974

     

     

     

  • Distribución normal reducida 03

     

    Halla x0, si P[X≤x0] = 0,2358.

     

     

    Solución:

    Al consultar el valor dado en la tabla de los valores de la distribución normal, N(0, 1), se puede observar que no aparece y además es menor que 0,5 por lo que deducimos que x0 es negativo (hay que tener en cuenta que 0,5 es la mitad del  área encerrada por la campana de Gauss)

    La probabilidad dada es igual al área sombreada de la izquierda que, por simetría, es igual a la de la derecha.

    P[X≤x0] = P[X≥x’0] = 1 – P[X≤x’0] = 0,2358

    P[X≤x’0] = 1 – 0,2358 = 0,7642

    x'0 = 0,7 + 0,02 = 0,72

    x0 = –0,72

    Nota: El valor de x0' se ha hallado mediante la tabla de los valores de la distribución normal, N(0, 1), buscando en la primera columna y en primera fila los valores correspondientes a 0,7642.