Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Cálculo de probabilidades de la distribución binomial 07

     

    Un examen consta de 12 preguntas. Para cada una de ellas se proponen tres posibles respuestas, de las cuales sólo una es correcta. ¿Cuántas respuestas acertadas deben exigirse para aprobar, como mínimo, si la probabilidad de que alguien lo apruebe contestando al azar no debe ser superior al 2 %?

     

     

    Solución:

    Cada pregunta sólo admite dos resultados bien o mal.

    Contestar bien a una pregunta es independiente del resultado de las otras y su probabilidad es siempre la misma, 1/3.

    Por todo lo anterior nos encontramos con una binomial B(12, 1/3) de donde tenemos que:

    q = 1 – p = 1 –(1/3) = 2/3

    Hemos de encontrar un valor k tal que:

    P [X≥k] ≤ 0,02

    siendo k el número de respuestas acertadas al azar.

    O sea:

    P [X≥k] = P [X=12] + P [X=11] + … + P [X=k] ≤ 0,02

    1,9·10–6 + 4,52·10–5 + 4,97·10–4 + 3,31·10–3 + 1,49·10–2 = 0,02

    Por tanto, hay que exigir, como mínimo, ocho preguntas.

     

     

     

  • Cálculo de probabilidades de la distribución binomial 06

     

    Determinar si es o no ventajoso jugar apostando cantidades iguales a que por lo menos aparece un 6 en cuatro tiradas de un dado correcto.

     

     

    Solución:

    Cada lanzamiento únicamente admite dos resultados “que salga seis” y “que no salga seis”.

    “Que salga seis” en un lanzamiento es independiente de los otros resultados y su probabilidad es siempre la misma, 1/6.

    Por todo lo anterior nos encontramos con una binomial B(4, 1/6) de donde tenemos que:

    q = 1 – p = 1 – (1/6) = 5/6

    Probabilidad de que en cuatro tiradas “por lo menos salga un seis” es equivalente a “como mínimo salga un seis”:

    Probabilidad de que en cuatro tiradas “no salga un seis”.

    Como la probabilidad de que “por lo menos salga un seis” es mayor que la probabilidad de que “no salga un seis”, es ventajoso apostar a la primera condición.

     

     

     

  • Cálculo de probabilidades de la distribución binomial 05

     

    Una familia tiene seis hijos. La distribución por sexos es igualmente probable. Halla la probabilidad de que haya:

    a)  Dos niños como máximo.

    b)  Al menos una niña.

    c)  Al menos tres niños.

    d)  Al menos una niña y un niño.

     

     

    Solución:

    Los sucesos que pueden tener lugar son: que sea niño o que no lo sea.

    El que un hijo sea niño es independiente del sexo que tengan el resto y su probabilidad es siempre la misma, 0,50.

    Por todo lo anterior nos encontramos con una binomial B(6; 0,50) de donde tenemos que:

    q = 1 – p = 1 – 0,50 = 0,50

    a)     

    b)   (Al menos una niña) = (Una niña como mínimo) = (Cinco niños como máximo)

    c)    (Al menos tres niños) = (Tres niños como mínimo)

    d)   (Al menos una niña y un niño) = (Una niña y un niño como mínimo)

     

     

     

  • Cálculo de probabilidades de la distribución binomial 04

     

    La probabilidad de éxito de una determinada vacuna antigripal es 0,72. Calcula la probabilidad de que una vez administrada a quince pacientes:

    a)  Ninguno sufra gripe

    b)  Todos sufran la gripe

    c)  Dos de ellos sufran la gripe

     

     

    Solución:

    Los sucesos que pueden tener lugar son: que un paciente sufra gripe o que no la sufra.

    El que un paciente sufra gripe es independiente de que lo sufran el resto y su probabilidad es siempre la misma, 0,72.

    Por todo lo anterior nos encontramos con una binomial B(15; 0,72) de donde tenemos que:

    q = 1 – p = 1 – 0,72 = 0,28

    a)   

    b)    

    c)

     

     

  • Cálculo de probabilidades de la distribución binomial 03

     

    Se realiza el experimento aleatorio de lanzar sucesivamente cuatro monedas al aire y se pide:

    a)  ¿Cuál es la probabilidad de obtener a lo sumo tres cruces?

    b)  ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras?

     

     

    Solución:

    Cada lanzamiento únicamente admite dos resultados cara o cruz.

    Salir cara en un lanzamiento es independiente de los otros resultados y su probabilidad es siempre la misma, 1/2.

    Por todo lo anterior nos encontramos con una binomial B(4, 1/2) de donde tenemos que:

    q = 1 – p = 1 – (1/2) = 1/2

    a)  “A lo sumo tres cruces” º “Tres cruces como máximo”

    b)