Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Media, varianza y desviación típica de la distribución binomial 02

     

    En una binomial B(8; 0,2), halla: P(X=0), P(X≠0) y P(X=2), así como la media y la desviación típica.

     

     

    Solución:

    siendo n = 8 , p = 0,2 y q = 1 – p = 0,8

    Probabilidad de ningún éxito:

    Probabilidad de algún éxito:

    Probabildad de dos éxitos:

    Media (μ):

    μ = n·p = 8·0,2 = 1,6

    Desviación típica (σ):

     

     

     

  • Media, varianza y desviación típica de la distribución binomial 01

     

    Tenemos una moneda defectuosa tal que, al lanzarla, se obtiene cara en un 25 % de los casos. Lanzamos tres veces y anotamos el número de caras obtenidas.

    a)  Comprueba que la variable aleatoria X que indica el número de caras obtenidas en los tres lanzamientos es de tipo binomial, y halla su función de probabilidad.

    b)  Halla la media, la varianza y la desviación típica.

    c)  Calcula la probabilidad de obtener 0, 1, 2 y 3 caras.

    d)  Halla la probabilidad de obtener a lo sumo una cara.

    e)  Calcula la probabilidad de obtener al menos una cara.

     

     

    Solución:

    a)  Una variable aleatoria se dice que sigue una distribución binomial o de Bernouilli si se verifica que:

      En cada realización del experimento únicamente son posibles dos sucesos A y A’.

    2º El resultado obtenido en cada realización es independiente de los obtenidos anteriormente.

    3º La probabilidad del resultado A, y por tanto la de A’, no varía a lo largo del experimento.

    4º Si llamamos p a la probabilidad de que se verifique el resultado A y q a la de que se verifique el resultado A’, p + q =1.

    Por tanto:

    La variable aleatoria que indica el número de caras obtenidas es una distribución binomial de tres pruebas (se realizan tres lanzamientos), dado que:

    En cada lanzamiento son posibles solamente dos sucesos: A = (Cara) y A’ = (Cruz)

    El resultado de un lanzamiento es independiente de los resultados anteriores.

    La probabilidad de que salga cara, P(A) = 0,25 y la que salga cruz P(A’) = 0,75; luego:

    0,25 + 0,75 = 1

    Función de probabilidad:

    b)  Media (μ):

    μ = n·p = 3·0,25 = 0,75

    Varianza (σ2):

    σ2 = n·p·q = 3·0,25·0,75 = 0,5625

    Desviación típica (σ):

    c)  Función de probabilidad de la distribución binomial:

    Asiendo n el número de pruebas, k el número de éxitos,robabilidad de éxito y q la probabilidad de fracaso.

     

    d)  {Obtener a lo sumo una cara} = {Obtener como máximo una  cara}

    P[X≤1] = P[X=0] + P[X=1] = 0,4219 + 0,4219 = 0,8438

    e)  {Obtener al menos una cara} = {Obtener como mínimo una  cara}.

    P[X≥1] = 1 – P[X=0] = 1 – 0,4219 = 0,5781

     

     

     

  • Función de distribución de la variable aleatoria binomial 02

     

    En una urna hay 6 bolas rojas y 4 verdes. Si el experimento consiste en hacer cinco extracciones con devolución, calcular la función de probabilidad y de distribución de la variable “número de bolas verdes”.

     

     

    Solución:

    Número total de bolas = 6 rojas + 4 verdes = 10

    Probabilidad extraer una bola verde:

    P(V) = 4/10 = 0,4

    Cada extracción únicamente admite dos resultados roja o verde.

    Extraer una verde es independiente de los otros resultados ya que la extracción es con devolución y su probabilidad es siempre la misma, 0,4.

    Por todo lo anterior nos encontramos con una binomial B(5; 0,4) de donde tenemos que:

    Función de probabilidad:

    En este caso: n = 5, p = 0,4 y q = 1 – p = 1 – 0,4 = 0,6

    X

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    f(xi)

    0,07776

    0,2592

    0,3456

    0,2304

    0,0768

    0,01024

     

             Función de distribución:

    F(x) = 0, si x<0

    F(x) = F(0) = 0 + 0,07776 = 0,07776 = P[X≤0], si 0≤x<1

    F(x) = F(1) = 0,07776 + 0,2592 = 0,33696 = P[X≤1], si 1≤x<2

    F(x) = F(2) = 0,33696  + 0,3456 = 0,68256 = P[X≤2], si 2≤x<3

    F(x) = F(3) = 0,68256  + 0,2304 = 0,91296 = P[X≤3], si 3≤x<4

    F(x) = F(4) = 0,91296 + 0,0768 = 0,98976 = P[X≤4], si 4≤x<5

    F(x) = F(5) = 0,98976 + 0,01024 = 1 = P[X≤5], si 5≤x<6

     

     

  • Función de distribución de la variable aleatoria binomial 01

     

    En el experimento lanzar 6 monedas simultáneamente, halla la función de probabilidad y de distribución de la variable aleatoria “número de caras”.

     

     

    Solución:

    Función de probabilidad de la distribución binomial, también denominada función de la distribución de Bermouilli, es:

    siendo n el número de pruebas, k el número de éxitos, p la probabilidad de éxito y q la probabilidad de fracaso.

    Según el enunciado de este problema: n = 6, p = 0,5 y q =1 – p =1 – 0,5 = 0,5

    X

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    f(xi)

    1/64

    6/64

    15/64

    20/64

    15/64

    6/64

    1/64

     

    Función de distribución:

    F(x) = 0, si x<0

    F(x) = F(0) = 0 + (1/64) = P[X≤0], si 0≤x<1

    F(x) = F(1) = (1/64) + (6/64) = 7/64 = P[X≤1], si 1≤x<2

    F(x) = F(2) = (7/64) + (15/64) = 22/64 = P[X≤2], si 2≤x<3

    F(x) = F(3) = (22/64) + (20/64) = 42/64 = P[X≤3], si 3≤x<4

    F(x) = F(4) = (42/64) + (15/64) = 57/64 = P[X≤4], si 4≤x<5

    F(x) = F(5) = (57/64) + (6/64) = 63/64 = P[X≤5], si 5≤x<6

    F(x) = F(6) = (63/64) + (1/64) = 64/64 = 1 = P[X≤6], si 6≤x

     

     

  • Función de probabilidad de la variable aleatoria binomial 04

     

    Si P(A) = 0,2 y X es la variable aleatoria que indica el número de veces que ocurre A, en un experimento de Bernouilli de diez pruebas, escribe la función de probabilidad de X y calcula: P[X=0],  P[X=2] y P[X=10].

     

     

    Solución:

    Sea la distribución binomial B(n, p):

    En este caso trata de una distribución binomial de parámetros:

    n = 10, p = 0,2 y q = 1 – p = 1 – 0,2 =,8

    por tanto:

    Función de probabilidad: