Teorema de Bayes 05

En una cierta Diplomatura se propone un nuevo plan de estudios en el que el 85% de los profesores y un 70% de los estudiantes, respectivamente, están de acuerdo. Sabiendo que hay un 10% de profesores frente a un 90% de estudiantes:

a)  ¿Cuál es la probabilidad de que elegida una persona al azar, está de acuerdo con el plan de estudios?

b)  Si elegida una persona al azar ha resultado no estar de acuerdo con el plan de estudios, ¿cuál es la probabilidad de que sea un estudiante?

Solución:

Sean los sucesos P = {ser profesor}, E = {ser estudiante} y F = {estar a favor}

Según el enunciado del problema:

P(P) = 0,10; P(E) = 0,90; P(P/F) = 0,85; P(E/F) = 0,70

a)  Según el diagrama de árbol:

P(F) = P(E, F) + P(P, F) = 0,63 + 0,085 = 0,715

b)  Aplicando el Teorema de Bayes:

P(E/F’) = P(E)·P(F’/E)/[P(E)·P(F’/E)+ P(P)·P(F’/P)

P(E/F’) = 0,90·0,30/(0,90·0,30 + 0,10·0,15)

 P(E/F’) = 0,27/(0,27 + 0,015) = 0,27/0,285 = 0,947

También se puede hacer mediante la propiedad condicionada:

P(E/F’) = P(E∩F’)/P(F’)

P(E/F’) = P(E∩F’)/[1 – P(F)]

P(E/F’) = 0,27/[1 – (0,63 + 0,085)] = 0,27/0,285 = 0,947

Teorema de Bayes 04

En una clase de cierta universidad el 8% de los chicos y el 2% de las chicas han cumplido 19 años. El 60% de los alumnos de la clase son chicas. Se elige al azar un alumno de la clase y resulta que tiene 19 años cumplidos. ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno sea chica?

Solución:

Sean los sucesos M = {el alumno tiene 19 años cumplidos}, N = {el alumno es una chica} y Q = {el alumno es un chico}

Según el enunciado del problema:

P(N) = 0,60; P(Q) = 0,40; P(M/N) = 0,02; P(M/Q) = 0,08

Teorema de Bayes:

P(N/M) = P(N)·P(M/N)/[P(N)·P(M/N) + P(Q)·P(M/Q)

P(N/M) = 0,60·0,02/(0,60·0,02 + 0,40·0,08) = 0,2727

Teorema de Bayes 03

Dos alumnos A y B se reparten los problemas que les ha propuestos su profesor, de forma que el primero realizará el 45% y el segundo el resto. Por otra parte se sabe que A resuelve de forma errónea un 10% de los problemas que realiza y B un 8%. Calcula la probabilidad de que al elegir el profesor un problema al azar haya sido hecho por B, sabiendo que está mal resuelto.

Solución:

Sean los sucesos M = {ejercicio mal resuelto}, N = {ejercicio realizado por A} y Q = {ejercicio realizado por B}

Según el enunciado del problema:

P(N) = 0,45; P(Q) = 0,55; P(M/N) = 0,10; P(M/Q) = 0,08

Teorema de Bayes:

P(Q/M) = P(Q)·P(M/Q)/[P(Q)·P(M/Q) + P(N)·P(M/N)

P(Q/M) = 0,55·0,08/(0,55·0,08 + 0,45·0,10) = 0,494

Teorema de Bayes 02

En una urna 1, hay 3 bolas blancas y 5 negras y en otra urna 2 hay 8 blancas y 12 negras. Se extrae una bola y resulta ser negra. Sabiendo que la urna 1 tiene doble probabilidad de ser elegida de la 2. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la primera urna?

Solución:

Datos: Urna 1: 3B + 5N. Urna 2: 8 B + 12 N

Si P(U2) = x, entonces P(U1) = 2x, luego:

P(U1) + P(U2) = 1 → 2x + x = 1 → 3x = 1 → x = 1/3

P(U1) = 2/3            P(U2) = 1/3

Por razonamiento lógico:

P(N) = (10/24) + (12/60) = (50 + 24)/120 = 74/120

De 120 intentos en 74 se obtiene bola negra, de los cuales 50 proceden de la urna 1 y 24 de la urna 2, luego:

P(U1/N) = 50/74 = 25/37

Aplicando Bayes:

Teorema de Bayes 01

Las probabilidades de que cierto artículo esté fabricado por las máquinas A y B son 0,7 y 0,3, respectivamente. La máquina A produce artículos defectuosos con probabilidad 0,02 y la B con probabilidad 0,06. Se observa un artículo y resulta ser defectuoso. Halla la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina A.

Solución:

Datos: P(A) = 0,7; P(B) = 0,3; P(DA) = 0,02; P(DB) = 0,06

Hagamos el siguiente diagrama de árbol, teniendo en cuenta que: si la probabilidad de que el artículo sea defectuoso y de A (DA) es 0,02, la probabilidad de que sea correcto y de A (CA) será: 1 – 0,02 = 0,98; si la probabilidad de que el artículo sea defectuoso y de B (DB) es 0,06, la probabilidad de que sea correcto y de B (CB) será: 1 – 0,06 = 0,94

Casos favorables = (DA) = 0,014

Casos posibles = (DA) + (DB) = 0,014 + 0,018 = 0,032

P(DA) = 0,014/0,032 = 0,4375

También podemos realizar el problema aplicando el Teorema de Bayes: