Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Función de distribución de una variable aleatoria discreta 04

     

    Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:

    xi

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    P[X = xi]

    0,1

    0,2

    0,1

    0,4

    0,1

    0,1

    a)  Calcula y representa gráficamente la función de distribución.

    b)  Calcula: P[X<4,5], P[X≥3], P[3≤x<4,5].

     

     

    Solución:

    a)  Función de distribución (F):

    Si x<0:

    P[X≤x] = 0

    Si 0≤x<1:

    P[X≤x] = P[X=0] = 0,1

    Si 1≤x<2:

    P[X≤x] = P[X=0] + P[X=1] = 0,1 + 0,2 = 0,3

    Si 2≤x<3:

    P[X≤x] = P[X=0] + P[X=1] + P[X=2] = 0,1 + 0,2 + 0,1 = 0,4

    Si 3≤x<4:

    P[X≤x] = P[X=0] + P[X=1] + P[X=2] + P[X=3] = 0,1 + 0,2 + 0,1 + 0,4 = 0,8

    Si 4≤x<5:

    P[X≤x] = P[X=0] + P[X=1] + P[X=2] + P[X=3] + P[X=4]  =

    = 0,1 + 0,2 + 0,1 + 0,4 + 0,1 = 0,9

    Si x≥5:

    P[X≤x] = P[X=1] + P[X=2] + P[X=3] + P[X=4] + P[X=5] =

    = 0,1 + 0,2 + 0,1 + 0,4 + 0,1 + 0,1 = 1

    También se puede hacer de la siguiente forma:

    Si x<0:

    F(x) = 0

    Si 0≤x<1:

    F(x) = 0 + 0,1 = 0,1

    Si 1≤x<2:

    F(x) = 0,1 + 0,2 = 0,3

    Si 2≤x<3:

    F(x) = 0,3 + 0,1 = 0,4

    Si 3≤x<4:

    F(x) = 0,4 + 0,4 = 0,8

    Si 4≤x<5:

    F(x) = 0,8 + 0,1 = 0,9

    Si x≥5:

    F(x) = 0,9 + 0,1 = 1

    FUNC DISTRIB VAD 04, 1

    Representación gráfica:

    FUNC DISTRIB VAD 04, 2

    b)     

    P[X<4,5] = P[X=0] + P[X=1] + P[X=2] + P[X=3] + P[X=4] =

    = 0,1 + 0,2 + 0,1 + 0,4 + 0,1 = 0,9

    P[X≥3] = P[X=3] + P[X=4] + P[X=5] = 0,4 + 0,1 + 0,1 = 0,6

    P[3≤x<4,5] = P[X=4] = 0,1

    O, también:

    P[3≤x<4,5] = F(4,5) – F(3) = 0,9 – 0,8 = 0,1

     

     

  • Función de distribución de una variable aleatoria discreta 03

     

    La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X es la definida por la tabla:

    xi

    1

    2

    3

    4

    P[X = xi]

    k

    k/2

    k/4

    k/8

    a)  Calcula el valor de k.

    b)  Halla la función de probabilidad.

    c)  Halla la función de distribución.

     

     

    Solución:

    a)  Como los únicos valores que puede tomar la variable aleatoria discreta son: 1, 2, 3 y 4, se debe cumplir que:

    f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 1

    k + (k/2) + (k/4) + (k/8) =1

    8k + 4k + 2k + k = 8

    15k = 8 → k = 8/15

    b)  Función de probabilidad (f):

    FUNC DISTRIB VAD 03, 1

    c)  Función de distribución (F):

    Si x < 1:

    P[X≤x] = 0

    Si 1≤x<2:

    P[X≤x] = P[X=1] = 8/15

    Si 2≤x<3:

    P[X≤x] = P[X=1] + P[X=2] = (8/15) + (8/30) = (16 + 8)/30 = 24/30

    Si 3≤x<4:

    P[X≤x] = P[X=1] + P[X=2] + P[X=3] = (8/15) + (8/30) + (8/60) = (32+16+8)/60 = 56/60

    Si x≥4:

    P[X≤x] = P[X=1] + P[X=2] + P[X=3] + P[X=4] = (8/15) + (8/30) + (8/60) + (8/120) =

    = (64 + 32 + 16 + 8)/120 = 1

    FUNC DISTRIB VAD 03, 2

     

     

  • Función de distribución de una variable aleatoria discreta 02

     

    Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente función de probabilidad es:

    xi

    0

    1

    2

    P[X = xi

    1/4

    1/2

    1/4

    Halla la función de distribución F.

     

     

    Solución:

    Razonando a partir de 0:

    Si x<0:

    P[X≤x] = 0

    Si 0≤x<1:

    P[X≤x] = P[X=0] = 1/4

    Si 1≤x<2:

    P[X≤x] = P[X=0] + P[X=1] = (1/4) + (1/2) = (1 + 2)/4 = 3/4

    Si x≥2:

    P[X≤x] = P[X=0] + P[X=1] + P[X=2] = (1/4) + (1/2) + (1/4) = (1 + 2 + 1)/4 = 1

    Función de distribución (F):

    FUNC DISTRIB VAD 02

     

     

  • Función de distribución de una variable aleatoria discreta 01

     

    Una variable aleatoria  discreta tiene la siguiente función de probabilidad:

    xi

    0

    1

    P[X = xi]

    1/2

    1/2

    Halla su función de distribución y su gráfica.

     

     

    Solución:

    Si x<0, [X≤x] = Ø, ya que X no toma valores menores que 0, por tanto:

    P[X≤x] = 0

    Si 0≤x<1, [X≤x] = [X=0], ya que si X toma un valor menor que 1, éste tiene que ser 0, luego:

    P[X≤x] = P[X=0] = 1/2

    Si x≥1, [X≤x] = [X=0]U[X=1], ya que los valores que toma X son 0 y 1, luego:

    P[X≤x] = (P[X=0]UP[X=1]) = P[X=0] + P[X=1] = (1/2) + (1/2) = 2/2 = 1

    Función de distribución (F):

    FUNC DISTRIB VAD 01, b

    Su gráfica es:

    FUNC DISTRIB VAD 02

     

     

  • Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 10

     

    Sea X es una variable aleatoria discreta que tiene por función de probabilidad:

    X

    –2

    –1

    0

    1

    2

    P(x)

    1/5

    1/5

    p3

    p4

    1/10

    Halla p3 y p4 si p3 = P(X ≤ –1)

     

     

    Solución:

    Si p3 = P(X ≤ –1), entonces:

    p3 = (1/5) + (1/5) = 2/5

    (1/5) + (1/5) + (2/5) + p4 + (1/10) = 1

    (4/5) + p4 + (1/10) = 1

    p4 = 1 – (4/5) – (1/10)

    p4 = (10 – 8 – 1)/10 = 1/10