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Función de distribución de una variable aleatoria continua 03
Sea la siguiente función:
a) Comprueba que f es una función de densidad.
b) Halla la función de distribución F de la variable aleatoria X cuya función de densidad es f y represéntala gráficamente.
c) Calcula a partir de f y de F:
P[X≤0,5]
P[X≥0,75]
P[–0,5≤X≤0,5]
P[0,2≤X≤0,8]
Solución:
a) Para que f sea una función de densidad se ha de verificar que:
Es evidente que f(x)≥0, para todo x, ya que:
Si x∈[0, 1]:
f(x) = 3x2≥0
Si x∉[0, 1]:
f(x) = 0
Por tanto f es una función de densidad.
b) Función de distribución (F) y su gráfica:
Si x<0:
Si 0≤x≤1:
Si x>1:
c) Utilizando f:
Utilizando F:
P[X≤0,5] = P[X<0] + P[0≤X≤0,5] = 0 + F(0,5) – F(0) = 0,53 – 0 = 0,125
P[X≥0,75] = 1 – P[X≤0,75] = 1 – F(0,75) = 1 – 0,753 = 0,578125
P[–0,5≤X≤0,5] = F(0,5) – F(–0,5) = 0,53 – 0 = 0,125
P[0,2≤X≤0,8] = F(0,8) – F(0,2) = 0,83 – 0,23 = 0,504
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Función de distribución de una variable aleatoria continua 02
Sea X una variable aleatoria con función de densidad:
a) Calcula k
b) Halla P[0≤X≤1]
Solución:
a) Como se ha de verificar que:
(1/2) + 2k = 1 → 2k = 1/2 → k = 1/4
b) Primer método:
P[0≤X≤1] = Área del trapecio A = {[(2/4) + (1/4)]/2}·(1 – 0) = 3/8
Segundo método:
Tercer método:
Función de distribución:
P[0≤X≤1] = F(1) – F(0) = [(1/8) + (1/4)] = (1 + 2)/8 = 3/8
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Función de distribución de una variable aleatoria continua 01
Sea la función:
a) Halla la función de distribución F de la variable aleatoria X cuya función de densidad es f y represéntala gráficamente.
b) Calcula P[1,6≤X≤5,2] a partir de F.
Solución:
a) Para hallar F es suficiente con calcular P(X≤x) para cualquier x∈ℜ.
Si x<1:
Si 1≤x≤4:
Si x>4:
Función de distribución:
Representación gráfica:
b)
P[1,6≤X≤5,2] = P[X≤5,2] – P[X≤1,6] = [1 – (1,6 – 1)/3] = 0,8
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Función de densidad y probabilidad de una variable aleatoria continua 04
La función de densidad de una variable aleatoria continua viene definida por la siguiente expresión:
Halla el valor de la constante C, para que f(x) sea una auténtica función de densidad.
Solución:
Para que f sea una función de densidad se ha de verificar que:
Si C≥0, f(x)≥0, para todo x, y, entonces, f puede ser una función de densidad. En caso contrario no lo es.
C·(π/4) = 1 → C = 4/π
luego f es una función de densidad si C = 4/π, pues (4/π)>0.
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Función de densidad y probabilidad de una variable aleatoria continua 03
Sea la función:
a) Determina m para que f(x) sea una función de densidad
b) Calcula P[2<X<3]
Solución:
a) Trazamos la grafica de f(x):
Ahora debemos tener en cuenta que el área del recinto formado por la gráfica de la función f(x) y el eje X ha de ser igual a uno.
Área del triángulo (A):
A = (1/2)·4·4m = 8m
P[–∞≤X≤+∞] = P[0≤X≤4] = 0 + A + 0 = 8m = 1
m = 1/8
Función de densidad:
b)
P[2≤X≤3] = Área del trapecio A = {[(3/8) + (2/8)]/2}·(3 – 2) = 5/16
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