Tipificación de una variable aleatoria normal 02

En una distribución N (110, 10), calcula:

a)  P[90 < X < 120]

b)  P[X > 110]

c)  P[110 < X < 120]

d)  P[110 < X < 130]

e)  P[120 < X < 130]

f)   P[90 < X < 100]

g)  P[X < 100]

Solución:

Si se desean realizar cálculos con una distribución normal N(m,s), se tipifica la variable mediante el siguiente cambio

siendo: μ = media, σ = desviación típica, de X

En este problema: μ = 110 y σ = 10

a)             

b)       

c)     

d)     

e)     

f)        

g)       

Tipificación de una variable aleatoria normal 01

Si X es una variable aleatoria que sigue una distribución N(9, 4), halla el valor de P[X ≤ 3], P[X ≥ 7] y P[10 ≤ X ≤ 14] tipificando, primero, la variable y usando, después, la tabla de la normal tipificada.

Solución:

Si se desean realizar cálculos con una distribución normal N(m, s), se tipifica la variable mediante el siguiente cambio

siendo: μ = media, σ = desviación típica, de X

En este problema: μ = 9 y σ = 4

Distribución normal reducida 05

Sea X una variable aleatoria que sigue una distribución N(0, 1). Determina el valor de x si:

a)  P[0≤X≤x] = 0,4236

b)  P[X≤x] = 0,7679

c)  P[x≤X≤2,5] = 0,1234

Solución:

a)    

P[0≤X≤x] = P[X≤x] – P[X≤0] = 0,4236

P[X≤x] – 0,5000 = 0,4236

P[X≤x] = 0,5000 + 0,4236 = 0,9236

x = 1,43

b)  El valor de la tabla que más se aproxima a 0,7679 es 0,7672, por tanto:

P[X≤x] = 0,7679 → x = 0,73

c)      

P[x≤X≤2,5] = P[X≤2,5] – P[X≤x] = 0,9938 – P[X≤x] = 0,1234  

0,9938 – 0,1234 = P[X≤x]

  P[X≤x] = 0,8704 → x = 1,13

 El valor dado a la x es el correspondiente a 0,8708 que es el más aproximado a 0,8704.

Distribución normal reducida 04

En una distribución normal N(0, 1) halla:

a)  P[0≤X≤1,24]

b)  P[–0,37≤X≤0]

c)  P[0,56≤X≤1,62]

d)   P[|X|≤0,25]

Solución:

a)     

La probabilidad buscada es igual al área sombreada.

P[0≤X≤1,24] = P[X≤1,24] – P [X≤0] = 0,8925 – 0,5000 = 0,3925

b)     

Según la anterior figura, por simetría de la gráfica tenemos que:

P[–0,37≤X≤0] = P[0≤X≤0,37] = P[X≤0,37] – P[X≤0] =

= 0,6443 – 0,500 = 0,1443

c)       

La probabilidad buscada es igual al área sombreada.

P[0,56≤X≤1,62] = P[X≤1,62] – P[X≤0,56] = 0,9478 – 07123 = 0,2355 

d)     

La probabilidad buscada es igual al área sombreada.

P[–0,25≤X≤0,25] = P[X≤0,25] – P[X≤–0,25] = P[X≤0,25] – P[X≥0,25] =

= P[X≤0,25] – {1 – P[X≤0,25]} = P[X≤0,25] – 1 + P[X≤0,25] =

= 0,5987 – 1 + 0,5987 = 0,1974

Distribución normal reducida 03

Halla x₀, si P[X≤x₀] = 0,2358.

Solución:

Al consultar el valor dado en la tabla de los valores de la distribución normal, N(0, 1), se puede observar que no aparece y además es menor que 0,5 por lo que deducimos que x₀ es negativo (hay que tener en cuenta que 0,5 es la mitad del  área encerrada por la campana de Gauss)

La probabilidad dada es igual al área sombreada de la izquierda que, por simetría, es igual a la de la derecha.

P[X≤x₀] = P[X≥x’₀] = 1 – P[X≤x’₀] = 0,2358

P[X≤x’₀] = 1 – 0,2358 = 0,7642

x'₀ = 0,7 + 0,02 = 0,72

x₀ = –0,72

Nota: El valor de x₀' se ha hallado mediante la tabla de los valores de la distribución normal, N(0, 1), buscando en la primera columna y en primera fila los valores correspondientes a 0,7642.