Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Propiedades de la probabilidad 20

     

    Sean M y N dos sucesos de un experimento aleatorio.

    a)  ¿Es posible que P sea una probabilidad si P(M) = 0,5; P(N) = 0,4  y P(M’N’) = 0,7?

    b)  ¿Y si P(M) = 0,5;  P(N) = 0,4  y P(M’N’) = 0,3?

    En caso afirmativo, hállese:

    i) P(MN)

    ii) P(M – N)

    iii) P(N – M)

     

     

    Solución:

    Antes de contestar a los dos apartados hemos de tener en cuenta la siguiente propiedad:

    La probabilidad de uno de los dos sucesos siempre es menor o igual que la probabilidad de su unión.

    PROPIED PROBAB 20

    (MUN) → P(N) ≤ P(MUN)

    (MUN) → P(M) ≤ P(MUN)

    a)  Datos: P(M) = 0,5; P(N) = 0,4; P(M’N’) = 0,7

    Según las leyes de Morgan:

    M’N’ = (MUN)’

    P(M’N’) = P(MUN)’ = 1 – P(MUN)

    P(MUN) = 1 – P(M’N’)

    P(MUN) = 1 – 0,7 = 0,3

    Como la probabilidad de cualquiera de los dos sucesos es mayor que la probabilidad de su unión, P no es una probabilidad.

    b)  Datos: P(M) = 0,5;  P(N) = 0,4; P(M’N’) = 0,3

    P(MUN) = 1 – 0,3 = 0,7

    En este caso la probabilidad de cualquiera de los dos sucesos es menor que la probabilidad de su unión, por tanto P sí es una probabilidad.

    i)    Probabilidad de la unión de dos sucesos:

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(MN)

    P(MN) = P(M) + P(N) – P(MUN)

    P(MN) = 0,5 + 0,4 – 0,7 = 0,2

    ii)

    P(M – N) = P(MN’) = P(M) – P(MN)

    P(M – N) = 0,5 – 0,2 = 0,3

    iii)

    P(N – M) = P(NM’) = P(N) – P(NM)

    P(N – M) = 0,4 – 0,2 = 0,2

     

     

     

  • Propiedades de la probabilidad 19

     

    Si M y N son dos sucesos cualesquiera de probabilidad no nula e independiente, razona si son ciertas las siguientes afirmaciones:

    a)  P(M’/N’) = P(M)

    b)  P(MUM’) = 0,5

     

     

    Solución:

    Como M y N son sucesos independientes tenemos que:

    P(MN) = P(M)·P(N)

    a)  Fórmula de la probabilidad condicionada:  

    P(M’/N’) = P(M’N’)/P(N’)

    Según las leyes de Morgan, tenemos que:

    P(M’N’) = P(MUN)’

    P(M’N’) = 1 – P(MUN)

    Sustituyendo en la fórmula de la probabilidad condicionada:

    P(M’/N’) = [1 – P(MUN)]/P(N’)

    Probabilidad de la unión de dos sucesos:

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(MN)

    P(M’/N’) = {1 – [P(M) + P(N) – P(MN)]}/P(N’)

    P(M’/N’) = [1 – P(M) – P(N) + P(MN)]/P(N’)

    Como M y N son independientes:

    P(M’/N’) = [1 – P(M) – P(N) + P(M)·P(N)]/P(N’)

    P(M’/N’) = {[1 – P(N)] – P(M) + P(M)·P(N)}/P(N’)

    P(M’/N’) = [P(N’) – P(M) + P(M)·P(N)/P(N’)

    P(M’/N’) = {P(N’) – P(M)·[1 – P(N)]}/P(N’)

    P(M’/N’) = [P(N’) – P(M)·P(N’)]/P(N’)

    P(M’/N’) = {P(N’)·[1 – P(M)]}/P(N’)

    P(M’/N’) = 1 – P(M)

    P(M) = 1 – P(M)

    2·P(M) = 1

    P(M) = 1/2 = 0,5

    La afirmación es cierta si P(M) = 0,5. En caso contrario no.

    b)  La unión de un suceso con su complementario es el espacio muestral, por tanto la probabilidad de la unión de ambos suceso es 1, luego la afirmación es falsa.

    P(MUM’) = P(M) + P(M’) – P(MM’) = P(M) + 1 – P(M) + 0

    P(MUM’) = 1 ≠ 0,5

    Luego, como ya se ha dicho, la afirmación es falsa.

     

     

     

  • Propiedades de la probabilidad 18

     

    Dados dos sucesos independientes M y N, la probabilidad de que ocurran los dos a la vez es 1/6 y que no ocurra ninguno de los dos es 1/3. Calcula P(M) y P(N).

     

     

    Solución:

    Datos: P(MN) = 1/6; P(M’N’) = 1/3

    Como M y N son sucesos independientes tenemos que:

    P(MN) = P(M)·P(N) = 1/6

    Según las leyes de Morgan, tenemos que:

    P(M’N’) = P(MUN)’

    P(M’N’) = 1 – P(MUN)

    1/3 = 1 – P(MUN)

    P(MUN) = 1 – (1/3) = 2/3

    De la probabilidad de la unión de dos sucesos, se tiene que:

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(MN)

    P(M) + P(N) = P(MUN) + P(MN)

    P(M) + P(N) = (2/3) + (1/6) = 5/6

    Si P(M) = x y P(N) = y, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

    x·y = 1/6

    x + y = 5/6

    y = (5/6) – x → x·[(5/6) – x] = 1/6

    (5/6) x – x2 = 1/6

    6x2 – 5x + 1 = 0

    PROPIED PROBAB 18

    Si P(M) = 1/2:

    (1/2)·P(N) = 1/6 → P(N) = 2/6 = 1/3

    Si P(M) = 1/3:

    (1/3)·P(N) = 1/6 → P(N) = 3/6 = 1/2

     

     

     

  • Propiedades de la probabilidad 17

     

    Aplicando que P(MUN) = P(M) + P(N), si M y N son incompatibles, demuestra que P(MUN) = P(M) + P(N) – P(MN), para sucesos M y N cualesquiera.

     

     

    Solución:

    Aunque M y N no sean incompatibles, siempre es posible expresar la unión de M con N como unión de sucesos incompatibles, de la siguiente manera:

    PROPIED PROBABILIDAD 17,1

    MUN = MU(N – M)

    Por tanto:

     P(MUN) = P[MU(N – M)]

    Como M y (N – M) son incompatibles, tenemos que:

    P(MUN) = P[MU(N – M)] = P(M) + P(N – M)

    Por otra parte N también se puede expresar como unión de sucesos incompatibles:

    PROPIED PROBABILIDAD 17,2

    N = (MN)U(N – M)

    luego, por ser incompatible, podemos escribir:

    P(N) = P[(MN)U(N – M)] = P(MN) + P(N – M)

    P(N – M) = P(N) – P(MN)

    sustituyendo en la anterior ecuación:

    P(MUN) = P(M) + P(N) – P(MN)

    como se quería demostrar.

     

     

     

  • Propiedades de la probabilidad 16

     

    Sea M un suceso con 0 < P(M) < 1.

    a)  ¿Puede ser M independiente de su contrario M?

    b)  Sea N otro suceso tal que N Ì M. ¿Serán M y N independientes?

    c)  Sea Q un suceso independiente de M. ¿Serán M y Q independientes?

    Justifica las respuestas.

     

     

    Solución:

    a)  Si los sucesos M y M’ son independientes se debe cumplir que:

    P(MM’) = P(M)·P(M’)

    P(M∩M’) = 0

    P(M) + P(M’) = 1

    P(M’) = 1 – P(M)

    Si P(M) = m ≠ 0, entonces:

    P(M’) = 1 – m

    Luego:

    P(M)·P(M’) = m·(1 – m) ≠ 0

    Por tanto no son independientes.

    b)  Si N Ì M entonces P(MN) = P(N) ya que la intersección de ambos conjuntos resultará el menor de ellos.

    P(M)·P(N) = P(N) solo es cierto si P(M) = 0 (cosa que no sucede pues P(M) < 1), o P(N) = 0.

    Por tanto, solo son independientes si P(N) = 0.

    c)  Como M es independiente de Q entonces P(M)·P(Q) = P(M∩Q)

    P(MQ’) = P(M) – P(MQ) = P(M) – P(M)·P(Q)

    P(MQ’) = P(M)·[1 – P(Q)] = P(M)·P(Q’)

    Luego M y Q son independientes.