Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 04

El espacio de sucesos elementales de un experimento aleatorio es U = {x₁, x₂, x₃}. ¿Cuáles de estas funciones definen una función de probabilidad? Justifica la respuesta.

a)  P(x₁) = 1/2, P(x₂) = 1/3, P(x₃) = 1/6

b)  P(x₁) = 3/4, P(x₂) = 1/4, P(x₃) = 1/4

c)  P(x₁) = 1/2, P(x₂) = 0, P(x₃) = 1/2

d)  P(x₁) = 2/3, P(x₂) = 1/3, P(x₃) = 2/3

Solución:

a)   

P(x₁) + P(x₂) + P(x₃) = (1/2) + (1/3) + (1/6) = (3 + 2 + 1)/6 = 6/6 = 1

Sí define una probabilidad, pues P(x₁), P(x₂) y P(x₃) son números mayores o iguales que cero, y su suma es 1.

b)   

P(x₁) + P(x₂) + P(x₃) = (3/4) + (1/4) + (1/4) = 5/4 > 1

No define una probabilidad, pues la suma de los sucesos elementales no puede ser mayor que 1.

c)   

P(x₁) + P(x₂) + P(x₃) = (1/2) + 0 + (1/2) = 2/2 = 1

Sí define una probabilidad, pues P(x₁), P(x₂) y P(x₃) son números mayores o iguales que cero, y su suma es 1.

d)   

P(x₁) + P(x₂) + P(x₃) = (2/3) + (1/3) + (1/3) = 4/3 > 1

No define una probabilidad, pues la suma de los sucesos elementales no puede ser mayor que 1.

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 03

En el experimento de lanzar tres monedas y asignar a cada resultado el número de caras:

a)  Calcula la probabilidad de que al realizar el experimento salgan cero, una, dos o tres caras.

b)  Sus originales, ¿son sucesos elementales? Razona la respuesta.

c)  Calcula y representa gráficamente la función de probabilidad.

Solución:

a)  El espacio muestral E será:

E = {(x, x, x), (x, x, c), (x, c, x), (c, x, x), (x, c, c), (c, x, c), (c, c, x), (c, c, c)}

La probabilidad de cada suceso elemental es 1/8.

Construyamos la siguiente aplicación:

X₁ (x, x, x) = 0

X₂ (x, x, c) = 1;  X₃ (x, c, x) = 1;  X₄ (c, x, x) = 1

X₅ (x, c, c) = 2;  X₆ (c, x, c) = 2;  X₇ (c, c, x) = 2

X₈ (c, c, c) = 1

De donde obtenemos las siguientes probabilidades:

P(X=0) = 1/8, P(X=1) = 3/8, P(X=2) = 3/8. P(X=3) = 1/8

b)  Teniendo en cuenta que los originales son:

X^–1(0) = X₁

X^–1(1) = {X₂, X₃, X₄}

X^–1(2) = {X₅, X₆, X₇}

X^–1(3) = X₈

podemos afirmar que no tienen por qué ser sucesos elementales.

c)  La función de probabilidad será:

Su gráfica es:

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 02

Sea el experimento aleatorio consistente en elegir un alumno de un determinado instituto. Sea el espacio muestral E = {los alumnos del instituto}. Consideremos las aplicaciones:

las variables aleatorias X e Y, ¿son continuas o discretas? ¿Por qué?

Solución:

X puede tomar cualquier valor de un cierto intervalo, por tanto es continua.

Y tiene por imagen el conjunto {0, 1}, por tanto es discreta.

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 01

Sea el experimento que consiste en lanzar tres monedas. Define la variable aleatoria que representa el número de cruces obtenidas.

Solución:

El espacio muestral E será:

E = {(x, x, x), (x, x, c), (x, c, x), (c, x, x), (x, c, c), (c, x, c), (c, c, x), (c, c, c)}

Construyamos la siguiente aplicación:

X₁ (x, x, x) = 3

X₂ (x, x, c) = 2;  X₃ (x, c, x) = 2;  X₄ (c, x, x) = 2

X₅ (x, c, c) = 1;  X₆ (c, x, c) = 1;  X₇ (c, c, x) = 1

X₈ (c, c, c) = 0

Esta  aplicación X es una variable aleatoria que representa el número de cruces obtenidas en tres lanzamientos de una moneda.

En este caso se trata de una variable aleatoria discreta

Distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta 05

De los 30 temas que consiste un examen un alumno ha estudiado 12. Se eligen, al azar, dos temas, de los cuales el alumno puede haber estudiado los dos, uno o ninguno.

Haz la tabla con la distribución de probabilidad y represéntala gráficamente.

Solución:

Temas estudiados = 12.     Temas no estudiados = 18.           Temas totales = 30.

Probabilidad de que ninguno de los dos temas se hayan estudiado:

P(0) = P(E’∩E’) = (18/30)·(17/29) = 306/870 = 51/145

Probabilidad de que sólo se haya estudiado un tema (en cualquier orden):

P(1) = P(E’∩E) + P(E∩E’)  = (18/30)·(12/29) + (12/30)·(18/29)  =

= 432/870 = 72/145

Probabilidad de que se hayan estudiado los dos temas:

P(2) = P(E∩E) = (12/30)·(11/29) = 132/870 = 22/145

Distribución de probabilidad:

Representación gráfica: