Función de distribución de una variable aleatoria continua 03

Sea la siguiente función:

a)  Comprueba que f es una función de densidad.

b)  Halla la función de distribución F de la variable aleatoria X cuya función de densidad es f y represéntala gráficamente.

c)  Calcula a partir de f y de F:

P[X≤0,5]

P[X≥0,75]

P[–0,5≤X≤0,5]

P[0,2≤X≤0,8]

Solución:

a)  Para que f sea una función de densidad se ha de verificar que:

Es evidente que f(x)≥0, para todo x, ya que:

Si x∈[0, 1]:

f(x) = 3x²≥0

Si x∉[0, 1]:

f(x) = 0

Por tanto f es una función de densidad.

b)  Función de distribución (F) y su gráfica:

Si x<0:

Si 0≤x≤1:

Si x>1:

c)  Utilizando f:

Utilizando F:

P[X≤0,5] = P[X<0] + P[0≤X≤0,5] = 0 + F(0,5) – F(0) = 0,5³ – 0 = 0,125

P[X≥0,75] = 1 – P[X≤0,75] = 1 – F(0,75) = 1 – 0,75³ = 0,578125

P[–0,5≤X≤0,5] = F(0,5) – F(–0,5) = 0,5³ – 0 = 0,125

P[0,2≤X≤0,8] = F(0,8) – F(0,2) = 0,8³ – 0,2³ = 0,504

Función de distribución de una variable aleatoria continua 02

Sea X una variable aleatoria con función de densidad:

a)  Calcula k

b)  Halla P[0≤X≤1]

Solución:

a)  Como se ha de verificar que:

(1/2) + 2k = 1 → 2k = 1/2 → k = 1/4

b)  Primer método:

P[0≤X≤1] = Área del trapecio A = {[(2/4) + (1/4)]/2}·(1 – 0) = 3/8

Segundo método:

Tercer método:

Función de distribución:

P[0≤X≤1] = F(1) – F(0) = [(1/8) + (1/4)] = (1 + 2)/8 = 3/8

Función de distribución de una variable aleatoria continua 01

Sea la función:

a) Halla la función de distribución F de la variable aleatoria X cuya función de densidad es f y represéntala gráficamente.

b)  Calcula P[1,6≤X≤5,2] a partir de F.

Solución:

a)  Para hallar F es suficiente con calcular P(X≤x) para cualquier x∈ℜ.

Si x<1:

Si 1≤x≤4:

Si x>4:

Función de distribución:

Representación gráfica:

b)     

P[1,6≤X≤5,2] = P[X≤5,2] – P[X≤1,6] = [1 – (1,6 – 1)/3] = 0,8

Función de densidad y probabilidad de una variable aleatoria continua 04

La función de densidad de una variable aleatoria continua viene definida por la siguiente expresión:

Halla el valor de la constante C, para que f(x) sea una auténtica función de densidad.

Solución:

Para que f sea una función de densidad se ha de verificar que:

Si C≥0, f(x)≥0, para todo x, y, entonces, f puede ser una función de densidad. En caso contrario no lo es.

C·(π/4) = 1 → C = 4/π

luego f es una función de densidad si C = 4/π, pues (4/π)>0.

Función de densidad y probabilidad de una variable aleatoria continua 03

Sea la función:

a)  Determina m para que f(x) sea una función de densidad

b)  Calcula P[2<X<3]

Solución:

a)  Trazamos la grafica de f(x):

Ahora debemos tener en cuenta que el área del recinto formado por la gráfica de la función f(x) y el eje X ha de ser igual a uno.

Área del triángulo (A):

A = (1/2)·4·4m = 8m

P[–∞≤X≤+∞] = P[0≤X≤4] = 0 + A + 0 = 8m = 1

m = 1/8

Función de densidad:

b)    

P[2≤X≤3] = Área del trapecio A = {[(3/8) + (2/8)]/2}·(3 – 2) = 5/16