Función de distribución de una variable aleatoria discreta 04

Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:

a)  Calcula y representa gráficamente la función de distribución.

b)  Calcula: P[X<4,5], P[X≥3], P[3≤x<4,5].

Solución:

a)  Función de distribución (F):

Si x<0:

P[X≤x] = 0

Si 0≤x<1:

P[X≤x] = P[X=0] = 0,1

Si 1≤x<2:

P[X≤x] = P[X=0] + P[X=1] = 0,1 + 0,2 = 0,3

Si 2≤x<3:

P[X≤x] = P[X=0] + P[X=1] + P[X=2] = 0,1 + 0,2 + 0,1 = 0,4

Si 3≤x<4:

P[X≤x] = P[X=0] + P[X=1] + P[X=2] + P[X=3] = 0,1 + 0,2 + 0,1 + 0,4 = 0,8

Si 4≤x<5:

P[X≤x] = P[X=0] + P[X=1] + P[X=2] + P[X=3] + P[X=4]  =

= 0,1 + 0,2 + 0,1 + 0,4 + 0,1 = 0,9

Si x≥5:

P[X≤x] = P[X=1] + P[X=2] + P[X=3] + P[X=4] + P[X=5] =

= 0,1 + 0,2 + 0,1 + 0,4 + 0,1 + 0,1 = 1

También se puede hacer de la siguiente forma:

Si x<0:

F(x) = 0

Si 0≤x<1:

F(x) = 0 + 0,1 = 0,1

Si 1≤x<2:

F(x) = 0,1 + 0,2 = 0,3

Si 2≤x<3:

F(x) = 0,3 + 0,1 = 0,4

Si 3≤x<4:

F(x) = 0,4 + 0,4 = 0,8

Si 4≤x<5:

F(x) = 0,8 + 0,1 = 0,9

Si x≥5:

F(x) = 0,9 + 0,1 = 1

Representación gráfica:

b)     

P[X<4,5] = P[X=0] + P[X=1] + P[X=2] + P[X=3] + P[X=4] =

= 0,1 + 0,2 + 0,1 + 0,4 + 0,1 = 0,9

P[X≥3] = P[X=3] + P[X=4] + P[X=5] = 0,4 + 0,1 + 0,1 = 0,6

P[3≤x<4,5] = P[X=4] = 0,1

O, también:

P[3≤x<4,5] = F(4,5) – F(3) = 0,9 – 0,8 = 0,1

Función de distribución de una variable aleatoria discreta 03

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X es la definida por la tabla:

a)  Calcula el valor de k.

b)  Halla la función de probabilidad.

c)  Halla la función de distribución.

Solución:

a)  Como los únicos valores que puede tomar la variable aleatoria discreta son: 1, 2, 3 y 4, se debe cumplir que:

f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 1

k + (k/2) + (k/4) + (k/8) =1

8k + 4k + 2k + k = 8

15k = 8 → k = 8/15

b)  Función de probabilidad (f):

c)  Función de distribución (F):

Si x < 1:

P[X≤x] = 0

Si 1≤x<2:

P[X≤x] = P[X=1] = 8/15

Si 2≤x<3:

P[X≤x] = P[X=1] + P[X=2] = (8/15) + (8/30) = (16 + 8)/30 = 24/30

Si 3≤x<4:

P[X≤x] = P[X=1] + P[X=2] + P[X=3] = (8/15) + (8/30) + (8/60) = (32+16+8)/60 = 56/60

Si x≥4:

P[X≤x] = P[X=1] + P[X=2] + P[X=3] + P[X=4] = (8/15) + (8/30) + (8/60) + (8/120) =

= (64 + 32 + 16 + 8)/120 = 1

Función de distribución de una variable aleatoria discreta 02

Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente función de probabilidad es:

Halla la función de distribución F.

Solución:

Razonando a partir de 0:

Si x<0:

P[X≤x] = 0

Si 0≤x<1:

P[X≤x] = P[X=0] = 1/4

Si 1≤x<2:

P[X≤x] = P[X=0] + P[X=1] = (1/4) + (1/2) = (1 + 2)/4 = 3/4

Si x≥2:

P[X≤x] = P[X=0] + P[X=1] + P[X=2] = (1/4) + (1/2) + (1/4) = (1 + 2 + 1)/4 = 1

Función de distribución (F):

Función de distribución de una variable aleatoria discreta 01

Una variable aleatoria  discreta tiene la siguiente función de probabilidad:

Halla su función de distribución y su gráfica.

Solución:

Si x<0, [X≤x] = Ø, ya que X no toma valores menores que 0, por tanto:

P[X≤x] = 0

Si 0≤x<1, [X≤x] = [X=0], ya que si X toma un valor menor que 1, éste tiene que ser 0, luego:

P[X≤x] = P[X=0] = 1/2

Si x≥1, [X≤x] = [X=0]U[X=1], ya que los valores que toma X son 0 y 1, luego:

P[X≤x] = (P[X=0]UP[X=1]) = P[X=0] + P[X=1] = (1/2) + (1/2) = 2/2 = 1

Función de distribución (F):

Su gráfica es:

Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta 10

Sea X es una variable aleatoria discreta que tiene por función de probabilidad:

Halla p₃ y p₄ si p₃ = P(X ≤ –1)

Solución:

Si p₃ = P(X ≤ –1), entonces:

p₃ = (1/5) + (1/5) = 2/5

(1/5) + (1/5) + (2/5) + p₄ + (1/10) = 1

(4/5) + p₄ + (1/10) = 1

p₄ = 1 – (4/5) – (1/10)

p₄ = (10 – 8 – 1)/10 = 1/10