La binomial como aproximación de la normal 04

Una moneda corriente se lanza 30 veces. Halla la probabilidad de obtener entre 17 y 22 caras usando:

a)  La distribución binomial

b)  aproximación de la normal a la binomial

Solución:

a)  Se trata de una distribución binomial B (30; 0,5), con n = 30, p = 0,5, q = 1 – p = 0,5

b)  Si n·p ≥ 5 y n·q ≥ 5, entonces:

n·p = 30·0,5 = 15

n·q = 30·0,5 = 15

Como se cumplen las condiciones exigidas, B(30; 0,5) ≈ N(15; 2,74)

 De acuerdo con la corrección de Yates, tendremos:

 Tipificando la variable X' se puede utilizar la tabla de la N(0, 1).

La binomial como aproximación de la normal 03

En una estación de aforos se ha observado que el 62% de los vehículos son automóviles turismo y el resto camiones (no se consideran los vehículos de dos ruedas). Se estudia el paso de 2000 vehículos y sea X la variable aleatoria que representa el número de turismos que pasan por la estación. Se pide:

a)  Obtén la función de probabilidad de X

b)  P [1200 ≤ X ≤ 1300]

c)  P [X ≤ 1250]

Solución:

a)  Se trata de una distribución binomial B(2000; 0,62), con n = 2000, p = 0,62 y q = 1 – p = 0,38.

Por tanto la función de probabilidad es:

b)  Si n·p ≥ 5 y n·q ≥ 5, entonces:

n·p = 2000·0,62 = 1240

n·q = 2000·0,38 =760

Como se cumplen las condiciones exigidas, B(2000; 0,62) ≈ N(1240; 2,17), teniéndose que tipificar los valores de la distribución normal.

Para hallar la probabilidad primero hay que hacer la corrección de Yates, en este caso:

c)  Para X ≤ 1250, primero hay que hacer la oportuna corrección, en este caso:

La binomial como aproximación de la normal 02

El promedio de aciertos en el tiro a canasta de un jugador de baloncesto es del 73 por 100. Si lanza 200 veces, ¿cuál es la probabilidad de que enceste más de 160 lanzamientos?

Solución:

Se trata de una distribución binomial B(200; 0,73), pues consiste en repetir 200 veces la misma prueba, manteniéndose constante la probabilidad de éxito en 0,73 (encestar 73 veces de 100 tiros).

donde:

n = 200; p = 0,73; q = 1 – p = 1 – 0,73 = 0,27

Tenemos que calcular:

P[X > 160] = P[X = 161] + P[X = 162]+….+ P[X = 200]

Estos cálculos son prácticamente imposibles si no es con ordenador, pero si se puede resolver con la binomial como aproximación de la normal.

De la distribución binomial B(200; 0,73) tenemos que:

μ = n p = 200·0,73 = 146

n q = 200·0,27 = 54

Como np y nq son ambos mayores que 5, la aproximación es casi perfecta.

X es B(200; 0,73) → X’ es N(146; 6,28) → Z es N(0, 1)

Para hallar la probabilidad primero hay que hacer la oportuna corrección, en este caso:

La binomial como aproximación de la normal 01

En una distribución B(200;  0,3), calcula P[X ≥ 70]

Solución:

Tenemos que calcular:

P[X ≥ 70] = P[X = 70] + P[X = 71]+….+ P[X = 200]

Estos cálculos son prácticamente imposibles si no es con ordenador, pero si se pueden resolver con la binomial como aproximación de la normal.

De la distribución binomial B(200; 0,3) tenemos que:

n = 200; p = 0,3 → q = 1 – p = 1 – 0,3 = 0,7

de donde:

μ = n p = 200·0,3 = 60

n q = 200·0,7 = 140

Si np y nq son ambos mayores que 3, la aproximación es bastante buena, pero si superan a 5, la aproximación es casi perfecta.

X es B(200; 0,3) → X’ es N(60; 6,48) → Z es N(0, 1)

Para hallar la probabilidad primero hay que hacer una corrección (corrección de Yates), en este caso:

Cálculo de probabilidades de la distribución normal 03

La media y la desviación típica de un test a un grupo de estudiante son 96 y 10 respectivamente. Hallar los resultados (tipificados) de los estudiantes que obtuvieron los puntos:

a)  85

b)  104

c)  100

Solución:

Si tenemos una distribución N(μ, σ) para tipificar un valor X, se hace lo siguiente:

En este caso μ= 96 y σ = 10, por tanto la distribución es N(96, 10).

a)     

Z = (85 – 96)/10 = –1,1

b)     

Z = (104 – 96)/10 = 0,8

c)     

Z = (100 – 96)/10 = 0,4