Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Esperanza matemática 04

     

    Un individuo compra una rifa para un sorteo en el cual hay tres premios: el primer premio está dotado con 25000 euros, el segundo con 15000 y el tercero con 10000. La probabilidad del primer premio es 1/5000, la de ganar el segundo premio es 1/3000 y la de ganar el tercero es 1/1000. Sea X la variable aleatoria que indica la ganancia en el sorteo. Calcula la esperanza.

     

     

    Solución:

    Media aritmética o esperanza (μ):

    μ = Σxi·f(xi)

    xi (premios)

    f(xi) = P[X = xi]

    xi·f(xi)

    10000

    1/1000

    10

    15000

    1/3000

    5

    25000

    1/5000

    5

     

     

    20

     

    μ = 20

     

     

  • Esperanza matemática 03

     

    Se sortean, entre 500 papeletas, un premio de 10000 euros y nueve de 1000 euros. Si cada papeleta se vende al precio de 50 euros:

    a)  ¿Es rentable para el jugador participar?

    b)  ¿Qué beneficio le queda al organizador, por término medio, en cada papeleta?

     

     

    Solución:

    a)  Media aritmética o esperanza (μ):

    μ = Σxi·f(xi)

    xi (premios)

    f(xi) = P[X = xi]

    xi·f(xi)

    0

    490/500

    0

    1000

    9/500

    9000/500

    10000

    1/500

    10000/500

     

     

    19000/500

     

    μ = 19000/500 = 38

    Como la media de lo que se puede ganar en el juego es de 38 euros y el precio de la apuesta es de 50 euros, el juego no es equitativo.

    b)     

    Beneficio = 50 – 38 = 12 euros

     

     

  • Esperanza matemática 02

     

    Una empresa hace un estudio para decidir si lanza un producto A u otro B. Según el estudio si lanza A tiene una probabilidad de 0,7 de ganar 25 millones y una probabilidad de 0,3 de perder 7 millones. Si lanza B, tiene una probabilidad 0,8 de ganar 20 millones y una probabilidad de 0,2 de perder 5 millones. ¿Qué producto debe comercializar? ¿Por qué?

     

     

    Solución:

    Quien tenga mayor esperanza matemática será el producto que más interesa comercializar.

    Media aritmética o esperanza (μ):

    μ = Σxi·p(xi)

    Respecto al producto A la variable aleatoria toma valores 25 millones con probabilidad 0,7 y –7 millones con probabilidad 0,3; por tanto:

    μ = 25·0,7 – 7·0,3 = 15,4

    Con relación al producto B la variable aleatoria toma valores 20 millones con probabilidad 0,8 y –5 millones con probabilidad 0,2; luego:

    μ = 20·0,8 – 5·0,2 = 15

    El beneficio medio esperado del producto A es de 15,4 millones, mientras que el de B es de 15 millones, por tanto el primer producto es el más interesante para comercializar.

     

     

     

  • Esperanza matemática 01

     

    Un juego consiste en extraer una bola de una urna que contiene ocho bolas rojas y dos bolas verdes. Ganamos 50 euros si la bola extraída es roja, y pagamos 225 euros si es verde. Obtén la función de probabilidad f de la variable aleatoria X que indica la ganancia correspondiente a cada resultado y determina si el juego es equitativo.

     

     

    Solución:

    Datos: bolas rojas (R) = 8; bolas verdes (V) = 2

    Probabilidad de obtener bola roja:

    P(R) = 8/10 = 0,8

    Probabilidad de obtener bola verde:

    P(V) = 2/10 = 0,2

    Función de probabilidad:

    xi

    –225

    +50

    f(xi)

    0,2

    0,8

    Media aritmética o esperanza (μ):

    μ = Σxi·f(xi)

    Si μ = 0 el juego es equitativo.

    Si μ < 0 el juego perjudica al jugador.

    Si μ > 0 el juego favorece al jugador.

    μ = –225·0,2 + 50·0,8 = –5

    Como μ < 0 el juego no es equitativo y perjudica al jugador. Se puede esperar una perdida media de 5 euros por partida.

     

     

  • Parámetros de una variable aleatoria discreta 09

     

    Se lanzan tres monedas y se cuentan el número de caras obtenidas. Haz una tabla con las probabilidades y calcula la media y la desviación típica.

     

     

    Solución:

    X1(+, +, +) = 0

    X2(+, +, c) = 1; X3(+, c, +) = 1; X4(c, +, +) = 1

    X5 (+, c, c) = 2;  X6 (c, +, c) = 2;  X7 (c, c, +) = 2

    X8 (c, c, c) = 1

    P(X = 0) = 1/8; P(X = 1) = 3/8; P(X = 2) = 3/8; P(X = 3) = 1/8

    Tabla de probabilidades:

    xi

    0

    1

    2

    3

    pi

    1/8

    3/8

    3/8

    1/8

    Media:

    μ = Σxi·pi

    Varianza (σ2):

    σ2 = Σxi2·pi – μ2

    Desviación típica (σ):

    PARAMETROS, 02,1

    xi

    pi

    xi·pi

    xi2

    xi2·pi

    0

    1/8

    0

    0

    0

    1

    3/8

    3/8

    1

    3/8

    2

    3/8

    6/8

    4

    12/8

    3

    1/8

    3/8

    9

    9/8

     

    1

    12/8

     

    24/8

             Según la tabla anterior:

    μ = 12/8 = 1,5

    PARAMETROS 09