Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Áreas de recintos planos 04

     

    Halla el área encerrada por las gráficas de las funciones: y = x2 – 8x + 12 e y = 2x – 12.

     

     

    Solución:

    Puntos de corte de ambas gráficas:

    x2 – 8x + 12 = 2x – 12 x2 – 8x + 12 – 2x + 12 = 0

    x2 – 10x + 24 = 0

    AREA DE RECINTO PLANO 04,1

    Si x = 6:

    y = 2·6 – 12 = 0

    P1(6, 0)

    Si x = 4:

    y = 2·4 – 12 = –4

    P2(4, –4)

    Vértice de la parábola:

    vx = –b/2a = 8/2 = 4

    Como ya hemos visto en el caso anterior es el punto de corte con la recta.

    Si la parábola tiene el vértice en el punto (4, –4) y pasa por el punto (6, 0), el punto (2, 0) también pertenece a la curva, por ser simétrico con respecto al eje que pasa por su vértice.

    AREA DE RECINTO PLANO 04,2

    AREA DE RECINTO PLANO 04,3

     

     

  • Áreas de recintos planos 03

     

    Calcula el área del recinto limitado por la curva y = 2x – x2 y el eje X entre x = 0 y x = 3.

     

     

    Solución:

    Vértice de la parábola:

    vx = –b/2a =  –2/2(–1) = 1

    vy = 2·(1) – (1)2 = 1

    Tabla de valores:

    x = 0 y = 0

    x = 3 y = 2·3 – 32 = –3

    Ahora trazaremos la gráfica del recinto cuya área deseamos saber.

    AREA DE RECINTO PLANO 03,1

    AREA DE RECINTO PLANO 03,2

     

     

  • Áreas de recintos planos 02

     

    Calcula, empleando integrales, el área del trapecio que tiene por vértices los puntos de coordenadas (2, 0); (5, 0); (2, 3); (5, 9).

     

     

    Solución:

    Ecuación de la recta que pasa por los puntos (2, 3) y (5, 9):

    y = m x + n

    En el primer caso:

    3 = m·2 + n n = 3 – 2 m

    En el segundo caso:

    9 = m·5 + n n = 9 – 5 m

    Luego:

    3 – 2 m = 9 – 5 m 3 m = 6 m = 2

    n = 3 – 2·2 n = –1

    Por tanto:

    y = 2 x – 1

    Tabla de valores:

    x = 2 y = 3

    x = 5 y = 9

    Gráfica del área del trapecio:

    AREA DE RECINTO PLANO 02,1

    Área del trapecio:

    AREA DE RECINTO PLANO 02,2

     

      

  • Áreas de recintos planos 01

     

    Calcula mediante integrales el área del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 2 y 4 unidades.

     

     

    Solución:

    AREA DE RECINTO PLANO 01,1

    Debemos encontrar la ecuación de la recta que al cortar a los dos ejes de coordenadas, forma la hipotenusa del triángulo rectángulo cuya área deseamos hallar.

    Ecuación de la recta que pasa por los puntos (0, 4) y (2, 0):

    y = m x + n

    En el primer caso:

    4 = 0 + n n = 4

    En el segundo caso:

    0 = m·2 + 4 2m = –4 m = –2

    Por tanto:

    y = –2 x + 4

    Área del triángulo:

     

    AREA DE RECINTO PLANO 01,2

     

     

     

     

  • Regla de Barrow 03

     

    Dada  la función f(x) = x + (a/x3) donde a es una constante, encuentra a con la condición que:

    REGLA DE BARROW 03,1

     

     

    Solución:

    REGLA DE BARROW 03,2

    12 + 3 a = 12 → 3 a = 0 → a = 0