Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Teorema de Weierstrass 03

     

    Averigua si está acotada en [0, 1] la función:

    T WEIERSTRASS 03

     

     

    Solución:

    Teorema de Weierstrass:

    Si f es continua en [a, b], entonces tiene un máximo y un mínimo absolutos (está acotada) en ese intervalo. O sea, existen sendos números, c y d, del intervalo [a, b] para los cuales se cumple que cualquiera que sea x perteneciente a [a, b] es f(c) ≤ f(x) ≤ f(d)

    Por lo tanto lo primero que debemos averiguar si f(x) es continua [0, 1], para lo cual debemos averiguar cuando se anula el denominador de la fracción.

    x + 5 = 0 → x = –5

    La función f(x) es continua en todo R – {–5}. Por lo tanto también lo es en el intervalo [0, 1]. Luego, según el teorema de Weierstrass, f(x) está acotada.

     

     


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  • Teorema de Weierstrass 02

     

    Dada la función:

    T WEIERSTRASS 02, 1

    a)  ¿Es continua en el intervalo (2, 3]?

    b)  ¿Está acotada en dicho intervalo?

    c)  ¿Tiene algún mínimo o máximo absolutos?

    d)  ¿Se contradice el teorema de Weierstrass?

     

     

    Solución:

    a)  Veamos para que valor de x el denominador de la fracción se anula.

    x – 2 = 0 → x = 2

    La función es continua en todo R–{2}, por tanto lo es en (2, 3].

    b)  La función no está acotada, pues:

    T WEIERSTRASS 02, 2

    c)  No tiene máximo absoluto, pues la función no está acotada superiormente.

    Averigüemos si tiene algún mínimo.

    T WEIERSTRASS 02, 3

    La función siempre es decreciente para cualquier valor de x, luego el mínimo en el intervalo (2, 3] es:

    f(3) = 1/(3 – 2) = 1

    d)  Teorema de Weierstrass:

    Si f(x) es continua en [a, b], entonces tiene un máximo y un mínimo absolutos (está acotada) en ese intervalo. O sea, existen sendos números, c y d, del intervalo [a, b] para los cuales se cumple que cualquiera que sea x perteneciente a [a, b] es f(c) ≤ f(x) ≤ f(d)

    Por tanto no se contradice dicho teorema, ya que el intervalo (2, 3] no es cerrado por ambos extremos.

     

     


  • Teorema de Weierstrass 01

     

    Sea la función f(x) = 1/(x + 2) definida en el intervalo [1, 4]. Decir si está o no acotada y si alcanza sus máximos y mínimos.

     

     

    Solución:

    Teorema de Weierstrass:

    Si f es continua en [a, b], entonces tiene un máximo y un mínimo absolutos (está acotada) en ese intervalo. O sea, existen sendos números, c y d, del intervalo [a, b] para los cuales se cumple que cualquiera que sea x  pertenecienta a [a, b] es f(c) ≤ f(x) ≤ f(d)

    Por lo tanto lo primero que debemos averiguar si f(x) es continua en [1, 4], para lo cual debemos averiguar cuando se anula el denominador de la fracción.

    x + 2 = 0 → x = –2

    La función f(x) es continua en todo R – {–2}. Por lo tanto también lo es en el intervalo [1, 4]. Luego, según el teorema de Weierstrass, f(x) alcanza su máximo y su mínimo y, por tanto, está acotada.

     

     

     


  • Teorema de los valores intermedios (Darboux) 03

     

    Comprueba que la función:

    DARBOUX 03, 1

    alcanza el valor 4 en el intervalo [–π/2, π/2].

     

     

    Solución:

    Teorema de los valores intermedios o propiedad de Darboux:

    Si una función f es continua en [a, b], entonces toma todos los valores intermedios entre f(a) y f(b).

    Es decir, cualquiera que sea el número k comprendido entre f(a) y f(b), existe un número c, a < c < b, tal que f(c) = k.

    La función f(x) es continua en todo R, pues el denominador de la fracción nunca se anula ya que sen x pertenece a [–1, 1], luego también lo es en [–π/2, π/2],

    DARBOUX 03, 2

    Por tanto, según el  teorema de los valores intermedios, la función recorre todo valor interior de (–π/2, π/2) y por tanto alcanza el valor 4.

    Este problema también se puede resolver aplicando el teorema de Bolzano:

    Sea la función:

    DARBOUX 03, 3

    F(x) es continua en [–π/2, π/2], pues el denominador de la fracción nunca se anula ya que sen x pertenece a [–1, 1].

    DARBOUX 03, 4

    Como se verifica el teorema de Bolzano, existe un número c perteneciente a [–π/2, π/2] tal que f(c) = 0.

    Por tanto:

    DARBOUX 03, 5

    Aunque el enunciado del problema no lo pide podemos intentar comprobar para qué valor de c, f(c) = 4.

    DARBOUX 03, 6

     

     

  • Teorema de los valores intermedios (Darboux) 02

     

    Sea la función:

    DARBOUX 02, 1

    ¿La función puede alcanzar el valor 3?

     

     

    Solución:

    Teorema de los valores intermedios o propiedad de Darboux:

    Si una función f es continua en [a, b], entonces toma todos los valores intermedios entre f(a) y f(b).

    Es decir, cualquiera que sea el número k comprendido entre f(a) y f(b), existe un número c, a < c < b, tal que f(c) = k.

    Estudiemos la continuidad de la función para lo cual averiguaremos si existe algún valor de x que anule el denominador de la fracción.

    3 + cos x = 0 → cos x = –3

    Para que se anule el denominador de la fracción el coseno de x ha de ser igual a –3, cosa que es imposible ya que cos x pertenece a [–1, 1], luego f(x) es continua en todo R.

    Busquemos un intervalo en donde las imágenes de sus extremos incluyan el valor 3.

    f(0) = 7/(3 + cos 0) = 7/4

    f(π) = 7/(3 + cos π) = 7/2

    Como f es continua en todo R  lo es en [0, π], por tanto, según el teorema de los valores intermedios, la función recorre todo valor interior de (7/4, 7/2) y por tanto alcanza el valor 3.

    Este problema también se puede resolver aplicando el teorema de Bolzano:

    Sea la función:

    DARBOUX 02, 2

    e impongamos la condición que se anula en [0, π].

    DARBOUX 02, 3

    F(x) es continua en [0, π], pues el denominador de la fracción nunca se anula ya que ya que cos x pertenece a [–1, 1], luego como se verifica el teorema de Bolzano, existe un número c perteneciente a (0, π) tal que F(c) = 0.

    Por tanto:

    DARBOUX 02, 4