Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Rectas que se apoyan en otras dos 07

     

    Dada la recta:

      

     

    halla la ecuación de una paralela a ella que se apoya en las rectas:

     

     

     

     

    Solución:

    Primero estudiaremos la posición relativa de ambas rectas:

    Vector director de s:

     

    u = (–4, 3, –2)

     

    Vector director de t:

     

    v = (–1, –2, 5)

     

     

    Como los vectores no son proporcionales, las rectas no son paralelas.

    Ahora pasaremos a paramétricas ambas rectas:

     

     

     

    Si el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas es compatible éstas se cortarán, en caso contrario se cruzarán.

     

     

     

    1 – 11µ  = 0 → 11µ  = 1 → µ= 1/11

     

    –4λ = –1 – (1/11) = –12/11

     

    l  = 12/44 = 3/11

     

    Veamos si las soluciones halladas verifican la segunda ecuación:

    Primer miembro:

     

    2 + 3 (3/11) = 2 + (9/11) = 31/11

     

    Segundo miembro:

     

    3 – 2 (1/11) = 3 – (2/11) = 31/11

     

    Las soluciones halladas si verifican la segunda ecuación, por tanto el sistema es compatible, luego ambas rectas se cortan en un punto.

     

     

     

    Coordenadas del punto de corte A:

     

    x = –4 (3/11) = –12/11

     

    y = 2 + 3 (3/11) = 2 + (9/11) = 31/11

     

    z = –2 (3/11) = –6/11

     

    A(–12/11, 31/11, –6/11)

     

    Al ser paralelas la recta que se quiere hallar, r’,  tiene por vector director el mismo que el de la recta r, es decir, u = (3, 4, –1), por tanto sus ecuaciones paramétricas son:

     

     

     

     

     

     

  • Rectas que se apoyan en otras dos 06

     

    Dadas las rectas del espacio:

    a)  Di si se cortan, son paralelas, o se cruzan.

    b)  Halla la ecuación de la recta que pase por el origen y corta a las dos rectas dadas.

     

     

    Solución:

    a)  Pasando a paramétricas:

     

     

     

    Si ambas rectas son paralelas sus vectores directores serán proporcionales.

    Vector director de t: u = (1, –3, 1)

    Vector director de s: v = (5, 4, 1)

     

    (1/5) ≠ (–3/4) ≠ (1/1)

     

    Como los vectores no son proporcionales, las rectas no son paralelas.

    Si el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas es compatible éstas se cortarán, en caso contrario se cruzarán.

     

     

     

    Veamos si el valor encontrado verifica la segunda ecuación:

     

     

     

    Luego el sistema es incompatible, por tanto ambas rectas no tienen ningún punto en común y como no son paralelas, se cruzan.

    b)    

     

     

     Sea r la recta buscada que vendrá determinada por la intersección de los planos α y β que pasan por O(0, 0, 0) y por las rectas t y s, respectivamente.

    Ecuación general del plano α.

    Haz de planos de arista t:

     

    λ (x – z + 1) + μ (y + 3z – 2) = 0

     

    Plano perteneciente al haz de arista t y que pasa por el punto O.

     

    λ (0 – 0 + 1) + μ (0 + 0 – 2) = 0

     

    λ – 2 μ = 0 λ = 2 μ

     

    Si: μ = 1, entonces λ = 2.

     

    2 (x – z + 1) + 1 (y + 3z – 2) = 0

     

    2x – 2z + 2 + y + 3z – 2 = 0

     

    α ≡ 2x + y + z = 0

     

    Ecuación general del plano β.

    Haz de planos de arista s:

     

    λ (x – 5z – 4) + μ (y – 4z + 3) = 0

     

    Plano perteneciente al haz de arista s y que pasa por el punto O.

     

    λ (0 – 0 – 4) + μ (0 – 0 + 3) = 0

     

    –4λ + 3 μ = 0 λ = (3/4) μ

     

    Si: μ = 4, entonces λ = 3.

     

    3 (x – 5z – 4) + 4 (y – 4z + 3) = 0

     

    3x – 15z – 12 + 4y – 16z + 12 = 0

     

    β ≡ 3x + 4y – 31z = 0

     

    Ecuación general de la recta r:

     

     

     

     

     

     

  • Rectas que se apoyan en otras dos 05

     

    Halla las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P(1, 1, 2) y corta a las rectas:

     

     

     

    Solución:

    Primero estudiaremos la posición relativa de ambas rectas para lo cual se pasa a paramétricas ambas rectas.

     

     

     

    Si ambas rectas son paralelas sus vectores directores serán proporcionales.

    Vector director de s: u = (3, 1, –1)

    Vector director de t: v = (2, 1, 2)

     

    (3/2) ≠ (1/1) ≠ (–1/2)

     

    Como los vectores no son proporcionales, las rectas no son paralelas.

    Si el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas es compatible éstas se cortarán, en caso contrario se cruzarán.

     

     

     

    Veamos si las soluciones halladas verifican la tercera ecuación:

     

    Primer miembro: 1 – (–1) = 1 + 1 = 2

     

    Segundo miembro: –1 + 2·(–1) = –1 – 2 = –3

     

    2 ≠ –3

     

    Luego el sistema es incompatible, por tanto ambas rectas no tienen ningún punto en común y como no son paralelas, se cruzan.

     

     

     

    Sea r la recta buscada que vendrá determinada por la intersección de los planos α y β que pasan por P(1, 1, 2) y por las rectas s y t, respectivamente.

    Ecuación general del plano α.

    Primero pondremos en forma general la ecuación de t:

     

     

     

    Haz de planos de arista t:

     

    2x – 3y – 2 + k (y + 2z – 2) = 0

     

    Plano perteneciente al haz de arista t y que pasa por el punto P.

     

    2 (1) – 3 (1) – 2 + k (1 + 2·2 – 2) = 0

     

    –3 + 3k = 0 k = 1

     

    2x – 3y – 2 + 1(y + 2z – 2) = 0

     

    2x – 3y – 2 + y + 2z – 2 = 0

     

    2x – 2y + 2z – 4 = 0

     

    α ≡ x – y + z – 2 = 0

     

    Ecuación general del plano β.

    Primero pasaremos a general la ecuación de s:

     

     

     

    Haz de planos de arista s:

     

    x – 2y + k (x – z – 1) = 0

     

    Plano perteneciente al haz de arista s y que pasa por el punto P.

     

    1 – 2(1) + k (1 – 2 – 1) = 0

     

    –1 – 2k = 0 k = –1/2

     

    x – 2y + (–1/2) (x – z – 1) = 0

     

    2x – 4y – x + z + 1 = 0

     

    β ≡ x – 4y + z + 1 = 0 

     

    Ecuación general de la recta r:

     

     

     

     

     

     

  • Rectas que se apoyan en otras dos 04

     

    Halla la ecuación de la recta r  que pasa por el punto P(2, –1, 0) y corta a las rectas:

     

     

     

    Solución:

    Primero estudiaremos la posición relativa de ambas rectas para lo cual se pasa a paramétricas ambas rectas.

     

     

     

    Si ambas rectas son paralelas sus vectores directores serán proporcionales.

    Vector director de t: u = (1, 1, 1)

    Vector director de s: v = (3, 1, –1)

    (1/3) ≠ (1/1) ≠ (1/–1)

     

    Como los vectores no son proporcionales, las rectas no son paralelas.

    Si el sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas es compatible éstas se cortarán, en caso contrario se cruzarán.

     

     

     

    Veamos si las soluciones halladas verifican la tercera ecuación:

     

    1 – 1 = 0 ≠ 3

     

    Luego el sistema es incompatible, por tanto ambas rectas no tienen ningún punto en común y como no son paralelas, se cruzan.

     

     

     

    La recta buscada viene determinada por la intersección de los planos α y β que pasan por P y contienen a las rectas t y s, respectivamente.

    Ecuación general del plano α:

    Primero pondremos en forma general la ecuación de t:

     

     

     

    Haz de planos de arista t:

     

    x – y + k (x – z) = 0

     

    Plano perteneciente al haz de arista t y que pasa por el punto P:

     

    2 – (–1) + k (2 – 0) = 0

     

    3 + 2 k = 0 k = –3/2

     

    x – y – (3/2) (x – z) = 0

     

    2x – 2y – 3x + 3z = 0

     

    α ≡ x + 2y – 3z = 0

     

    Ecuación general del plano β:

    Primero pasaremos a general la ecuación de s:

     

     

     

    Haz de planos de arista s:

     

    x – 3y + 6 + k (x + 3z – 3) = 0

     

    Plano perteneciente al haz de arista s y que pasa por el punto P.

     

    2 – 3 (–1) + 0 + 6 + k (2 + 0 – 3) = 0

     

    11 – k = 0 k = 11

     

    x – 3y + 6 + 11x + 33z – 33 = 0

     

    12x – 3y + 33z – 27 = 0

     

    β ≡ 4x – y + 11z – 9 = 0

     

     Ecuación general de la recta r:

     

     

     

     

     

     

  • Rectas que se apoyan en otras dos 03

     

    Halla la ecuación de la recta que tiene por vector director v = (2, 3, 0) y corta a las rectas:

     

     

     

    Solución:

    Primero pasaremos a paramétricas las rectas r y s:

     

     

     

    Ecuación del conjunto de rectas que se apoyan en las rectas r y s:

     

     

     

    Si existe esta recta, su vector director ha de ser proporcional a v = (2, 3, 0), ya que el vector v debe ser un vector director de dicha recta, por tanto:

     

     

     

    Sustituyendo los valores de λ y μ en la ecuación de la recta buscada, tenemos:

     

     

     

    Inicialmente el resultado del vector director es (1/4, 3/8, 0) que es equivalente al (2, 3, 0) ya que sus coordenadas son proporcionales.

    El resultado obtenido indica que únicamente existe una recta que cumple las condiciones pedidas.

    La solución que se obtiene en este tipo de problemas depende de la posición relativa de las rectas en las que se apoya la recta buscada.