Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Problemas de porcentajes 04

     
    Hace unos años, los conductores de camiones para el transporte de cemento fueron a la huelga durante 46 días, antes de la huelga, estos conductores ganaban 7,5 € por hora, trabajando 260 días al año, durante 8 horas diarias. ¿Qué porcentaje de aumento se requiere en sus ingresos anuales, para recuperar el tiempo perdido en un año?
     
     
    Solución:
     
    Ingreso que percibe un conductor, trabajando durante un año completo:
     
    I = 260 · 8 · 7,5 = 15600 €
     
    Ingreso que percibirá un conductor, si ha ido a la huelga:
     
    I’ = (260 – 46) · 8 · 7,5 = 12840 €
     
    El importe que un conductor va a recibir en este último caso, más cierto porcentaje de aumento sobre el mismo, ha de ser igual a lo que hubiera cobrado si no hubiera ido a la huelga, es decir:
     
    12840 + 12840 · (r / 100) = 15600     →        12840 · (r / 100) = – 12840 + 15600
     
    12840 · (r / 100) = 2760         →        r / 100 = 2760 / 12840
     
     
    Para que los trabajadores recuperen los ingresos anuales que perderán por causa de la huelga, deberán conseguir un aumento del 21,50% aproximadamente.
     
     
     
     
     
     
  • Amortización de préstamos 03

     

    Averigua la mensualidad que hay que pagar para amortizar en 3 años (36 pagos) una deuda de 20000 € al 10% anual. ¿Cuánto dinero se devuelve en total? ¿A cuánto ascienden los intereses? ¿Y si los pagos son anuales?
     
    Solución:
     
    Datos: t = 3 años; n = 36; C0 = 20000 €; r = 10% anual = 10/12 % mensual
     
    Como hay que amortizar el préstamo en tres años a razón de 36 pagos, se trata de mensualidades (3·12 = 36).
     
     
    La mensualidad también se puede resolver de la siguiente forma:
     
     
    El anterior importe es igual a la suma de los 36 términos de una progresión geométrica de razón [1+(r/100)] y primer término la mensualidad correspondiente, por tanto:
     
     
    Dinero total que se devuelve:
     
    645,34 · 36 = 23232,24 €
     
    Intereses que se paga:
     
    I = 23232,24 – 20000 = 3232,24 €
     
    Si los pagos son anuales:
     
    Datos: t = 3 años; n = 3; C0 = 20000 €; r = 10% anual
     
     
    O también:
     
     
    El anterior importe es igual a la suma de los tres términos de una progresión geométrica de razón [1+(r/100)], cuyo primer término es igual a la primera anualidad, x.
     
    Importe de las anualidades:
     
     
    Dinero total que se devuelve:
     
    8042,30 · 3 = 24126,90 €
     
    Intereses a pagar:
     
    I = 24126,90 – 20000 = 4126,90 €
     
     
     
     
     
  • Amortización de préstamos 02

    Averiguar si se puede amortizar un préstamo de 8000 euros al 6% anual mediante 4 pagos mensuales de 2025,06 euros.

     
    Solución:
     
    Datos: C0 = 8000 €; r = 6% anual; plazos = 4; mensualidad = 2025,06 €
     
    Si al año resulta un interés de 6%, cada mes pagamos un 6/12%, es decir, 0,5% mensual.
    Interés a pagar al final del primer período:
     
    I1 = 8000 · (0,5 /100) = 8000 · 0,005 = 40 €
     
    Se abona una mensualidad de 2025,06 euros y los intereses pagados son 40 euros, por tanto el préstamo amortizado es:
     
    2025,06 – 40 = 1985,06 €
     
    Es decir, que al término del primer período, el importe que se debe es:
     
    8000 – 1985,06 = 6014,94 €
     
    El proceso anteriormente realizado se puede repetir para los restantes períodos, quedando expuesto en la siguiente tabla:
     

     

    Plazos
    Préstamo pendiente de pago
    Intereses a pagar
    (0,005)
    Importe de cada mensualidad
    Importe préstamo amortizado
    Préstamo pendiente de amortizar
    1
    8000
    40
    2025,06
    1985,06
    6014,94
    2
    6014,94
    30,07
    2025,06
    1994,99
    4019,95
    3
    4019,95
    20,10
    2025,06
    2004,96
    2014,99
    4
    2014,99
    10,07
    2025,06
    2014,99
    0
     
    Según se puede observar en la tabla, al término del cuarto período no se debe nada, por tanto si se puede amortizar el préstamo con los datos dados en el problema.
     
    También se puede averiguar si la mensualidad es correcta aplicando la fórmula del cálculo de mensualidades.
     
     
    El importe de la mensualidad coincide con el que se da en el problema. Luego sí se puede amortizar el préstamo en el período exigido y con la mensualidad dada.

     

  • Amortización de préstamos 01

     

    Para comprar un piso, un banco nos han concedido un préstamo hipotecario por valor de 160000 euros, debiendo amortizarlos en 360 mensualidades con un interés del 4% anual. ¿A cuánto ascenderá el valor de cada mensualidad que tendremos que pagar?
     
    Solución:
     
    Datos: C0 = 160000 €; r = 4% anual; n = 360 mensualidades.
     
    Debemos tener en cuenta que si al año resulta un interés de 4%, cada mes pagamos un 4/12%.
     
    Primero averiguaremos el importe que se ha de devolver en el transcurso de los 360 meses:
     
     
    El anterior importe es igual a la suma de los 360 términos de una progresión geométrica, siendo:
     
    Primer término:
     
    a1 (primera mensualidad) = x
     
     
    Razón:
     
     
    Por tanto como:
     
     
    tendremos que:
     
     
    Mensualmente se tendrá que pagar 763,86 euros.
     
    Este tipo de problemas también se puede resolver mediante la fórmula del cálculo de mensualidades.

     

  • Interés compuesto. Capitalizaciones 03

    Se coloca un capital de 10000 euros en un banco al 2% de interés anual.

    a)      ¿En cuánto se convierte al cabo de 6 años?
     
    b)      ¿Y al cabo de x años?
     
    c)      ¿Cuántos años tendrán que transcurrir para que dicho capital se duplique?
     
    Solución:
     
    Datos: C0 = 10000; r = 2 % anual
     
    Capital final:
     
     
    a)      n = 6 años
     
     
    b)      n = x años
     
     
    c)      Cuando el capital se duplique, el capital final será: C = 20000 euros, por tanto:  
     
     
    Ahora hay que dar valores a n hasta que se cumpla que 1,02n = 2.
     
    Si n = 1 entonces: 1,021 = 1,02
     
    Si n = 2 → 1,022 = 1,0404
     
    Si n = 3 → 1,023 = 1,061208
     
    . . . . . . . . .
     
    Si n = 35 → 1,0235 = 2
     
    Para que el capital se duplique han de transcurrir 35 años.
     
    Una forma más rápida de resolver este apartado es utilizando logaritmos.