Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Resolución de problemas 05

     

    Se venden tres especies de cereales: trigo, cebada y mijo. El trigo se vende cada “cahíz” por cuatro denarios. La cebada se vende cada “cahíz” por dos denarios. El mijo se vende cada “cahíz” por 0,5 denarios. Si se venden 100 “cahíces” se obtienen por la venta 100 denarios. ¿Cuántos “cahíces” de cada especie se venden? (Interpreta la(s) solución(es)).

     

     

    Solución:

     

     

     

    Precio

    Cantidad

     

     

    Trigo

    4

    x

     

     

    Cebada

    2

    y

     

     

    Mijo

    ½

    z

     

     

     

     

    100

     

     

     

     

    Como x ³ 0 entonces:

     

     

    Como y ³ 0 entonces:

     

     

     El sistema obtenido es compatible indeterminado, ya que tiene más incógnitas que ecuaciones, por tanto tiene infinitas soluciones pero teniendo en cuenta que:

     

     

     

     

     

     

  • Resolución de problemas 04

     

    Nuestro proveedor de pilas nos cobró 3,05 €  por una pequeña, dos medianas y una grande. En otra ocasión, por dos pequeñas, tres medianas y dos grandes, 5,40 €.

    a)     ¿Cuánto nos cuestan 5 pequeñas, 9 medianas y 5 grandes?

    b)     ¿Cuál es el precio de una pila mediana?

     

     

    Solución:

    Sea x el precio de las pequeñas, y el de las medianas, z el de las grandes y tengamos en cuenta que:

     

    Número de pilas · precio = importe

     

    a)     En forma matricial:

     

     

     

    Resolviendo por Gauss:

     

     

     

    Cinco pilas pequeñas, nueve medianas y cinco grandes costarán: 14,55 €.

    b)     Según el apartado anterior, una pila mediana cuesta: 0,70 €.   

     

     

     

     

  • Resolución de problemas 03

     

    Una heladería vende 110 helados a un instituto por un total de 540 €. Hay  helados de vainilla a 4 €, helados de chocolate a 5 € y helados de nata a 6 €. Conociendo los gustos de los estudiantes se sabe que los helados de chocolate y nata son el 20% más que los de vainilla.

     

     

    Solución:

    Sea x el número de helados de vainilla, y el número de helados de chocolate y z el número de helados de nata, su suma debe ser 110 helados, por tanto:

     

    x + y + z = 110

     

    El coste total es de 540 €, luego:

     

    4x + 5y + 6z = 540

     

    Los helados de chocolate más los de nata son el 20% más que los de vainilla, por consiguiente:

     

    y + z = x + 0,20x y + z = 1,2 x

     

    –1,2 x + y + z = 0 –12 x + 10y + 10 z = 0

     

     

     

    z = 40 y + 80 = 100 y = 20

     

    x + 20 + 40 = 110 x = 50

     

    Conclusión: El número de helados de vainilla es 50; el de chocolate es de 20 y el de nata 40.

     

     

  • Resolución de problemas 02

     

    Halla tres números sabiendo que el primero es igual a dos veces el segundo más la mitad del tercero, que la suma del segundo y el tercero es igual al primero más uno, y que si se resta el segundo de la suma del primero con el tercero, el resultado es 5. (Por Cramer)

     

    Solución:

    Si los números son: el primero x, el segundo y, y el tercero z, podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones:

     

    x = 2 y + (1/2) z

     

    y + z = x + 1

     

    y – (x + z) = 5

     

     

     

    Los números son: 5/2; 1/2 y 3

     

     

     

  • Resolución de problemas 01

     

    Una cooperativa farmacéutica distribuye un producto en tres tipos de envases, A, B y C. cuyos precios y pesos son los de la siguiente tabla:

     

     

     

    Peso (g)

    Precio (€)

     

     

    A

    250

    1,00

     

     

    B

    500

    1,80

     

     

    C

    1000

    3,30

     

     

    A una farmacia se le ha suministrado un pedido de 5 envases con un peso total de 2,5 kg por un importe de 8,90 € ¿Cuántos envases de cada tipo ha comprado la farmacia?

     

     

    Solución:

     

     

     

    Peso (g)

    Precio (€)

    Número de envases

     

     

    A

    250

    1,00

    x

     

     

    B

    500

    1,80

    y

     

     

    C

    1000

    3,30

    z

     

     

    Como se han suministrado 5 envase, se debe cumplir que:

     

    x + y + z = 5

     

    El peso total es 2,5 kg, es decir 2500 g, luego:

     

    250 x + 500 y + 1000 z = 2500

     

    Simplificando la anterior expresión:

     

    x + 2 y + 4 z = 10

     

    El importe es 8,90 €, por tanto:

     

    1,00 x + 1,80 y + 3,30 z = 8,90

     

    Multiplicando por 10 todos los términos de la anterior ecuación, obtendremos:

     

    10 x + 18 y + 33 z = 89

     

    Por tanto tenemos el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

     

     

     

    Hemos obtenido el siguiente sistema escalonado:

     

     

     

    y + 3 = 5 y = 2

     

    x + 2 + 1= 5 x = 2

     

    La farmacia ha comprado 2 envases del tipo A, 2 del tipo B y 1 del tipo C.