Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Programación lineal. Aplicaciones 01

     

    Un banco dispone de 18 millones de euros para ofrecer préstamos de riesgo alto y medio, con rendimiento del 14% y 7%, respectivamente. Sabiendo que debe dedicar al menos 4 millones de euros a préstamos de riesgo medio y que el dinero invertido en alto y medio riesgo debe estar a lo sumo a razón de 4 a 5, determina cuánto debe dedicarse a cada uno de los tipos de préstamo para maximizar el beneficio y calcular éste.

     

     

    Solución:

    Millones de euros invertidos en préstamos de riesgo alto  = x . Rendimiento 14%.

    Millones de euros invertidos en préstamos de riesgo medio  = y. Rendimiento 7%.

    Restricciones según el enunciado:

    P L APLICACIONES 01, 1

    Función objetivo:

    f(x, y) = 0,14x + 0,07y (en millones de euros), o también: f(x, y) = 2x + y

    Método analítico:

    Primero hallaremos los vértices de la región de validez.

    P L APLICACIONES 01, 2

    x + 4 = 18 ⇒ x = 14 ⇒ (14, 4)

    Debemos comprobar si las soluciones halladas verifican la tercera restricción.

    P L APLICACIONES 01, 3

    En este caso (14, 4) no es un vértice del recinto de validez ya que no se verifica la tercera restricción.

    P L APLICACIONES 01, 4

    x + (5/4)x = 18 ⇒ (9/4)x = 18 ⇒ x = 8

    y = (5/4)·8 = 10

    Las soluciones halladas verifican la segunda y la cuarta restricción ya que:

    P L APLICACIONES 01, 5

    Por tanto (8, 10) es un vértice del recinto de validez.

    P L APLICACIONES 01, 6

    y = 18 ⇒ (0, 18)

    Debemos comprobar si las soluciones halladas verifican la segunda y la tercera restricciones.

    P L APLICACIONES 01, 7

    Luego (0, 18) sí es un vértice del recinto de validez ya que verifica ambas restricciones.

    P L APLICACIONES 01, 8

    4 = (5/4)x ⇒ x = 16/5 ⇒ (16/5, 4)

    Comprobemos si las soluciones encontradas verifican la primera y la cuarta restricciones.

    P L APLICACIONES 01, 9

    Luego (16/5, 4) sí es un vértice pues verifica ambas restricciones.

    P L APLICACIONES 01, 10

    Comprobemos si las soluciones encontradas verifican la primera y la tercera restricciones.

    P L APLICACIONES 01, 11

    Luego (0, 4) sí es un vértice pues verifica ambas restricciones.

    P L APLICACIONES 01, 12

    Comprobemos si las soluciones encontradas verifican la primera y la segunda restricciones.

    P L APLICACIONES 01, 13

    Por tanto (0, 0) no es un vértice pues no verifica la segunda restricción.

    Averigüemos cuál de los vértices hallados hace máxima la función objetivo:

    f(8, 10) = 2·8 + 10 = 26

    f(0, 18) = 2·0 + 18 = 18

    f(16/5, 4) = 2·(16/5) + 4 = 52/5 = 10,4

    f(0, 4) = 2·0 + 4 = 4

    La función objetivo alcanza su máximo para: x = 8, y = 10.

    Para que el beneficio sea máximo se han de invertir 8 millones de euros en préstamos de riesgo alto y 10 millones de euros en préstamos de riesgo medio.

    Beneficio máximo = 0,14·8 + 0,07·10 = 1,82 millones de euros.

    Método gráfico:

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    P L APLICACIONES 01, 14

     

    Trazamos la recta: x + y = 18 ⇒ y = 18 – x

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 18

    y = 0 ⇒ x = 18

    P L APLICACIONES 01, 15

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0, 0):

    P L APLICACIONES 01, 16

    El punto satisface la inecuación luego la región buscada está por debajo de la recta.

    P L APLICACIONES 01, 17

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    P L APLICACIONES 01, 18                  

    Para ello trazaremos la recta y = 4 junto con la que ya tenemos trazada.

    P L APLICACIONES 01, 19

    De acuerdo con la inecuación anterior, la región buscada se encuentra por encima de la recta y = 4.

    P L APLICACIONES 01, 20

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    P L APLICACIONES 01, 21

    Para ello representaremos la recta y = 5x/4 junto con las dos anteriores.

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 0

    x = 8 ⇒ y = 10

    P L APLICACIONES 01, 22

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (5, 0):

    P L APLICACIONES 01, 23

    El punto no satisface la inecuación luego la región buscada está por encima de la recta y como:

    P L APLICACIONES 01, 24

    la región de validez se encuentra a la derecha del eje Y.

    P L APLICACIONES 01, 25

    Recinto de validez:

    El recinto de validez es el que se encuentra encerrado entre las tres rectas trazadas y el eje Y.

    P L APLICACIONES 01, 26

    Por último representamos la recta: 2x + y = 0 (Procedente de la función objetivo f(x, y) = 2x + y)

    Tabla de valores:

    x = –2 ⇒ y = 4

    x = 2 ⇒ y = –4

    P L APLICACIONES 01, 27

    Las soluciones del máximo de la función objetivo f(x, y) = ax + b, si a·b > 0, son las coordenadas del vértice por donde pasa la paralela a la recta ax + by = 0 y deja por debajo al recinto de validez. Si a·b < 0 el recinto de validez debe quedar por encima de la recta.

    P L APLICACIONES 01, 28

    La recta paralela a 2x + y = 0 que pasa por el vértice (8, 10) tiene en común con el polígono de soluciones factibles sólo dicho punto (2·1 > 0 y el recinto de validez queda por debajo). Las coordenadas de este vértice son los valores pedidos.

    El resultado obtenido es el mismo que por el método analítico, 8 millones de euros en préstamos de riesgo alto  y 10 millones de euros en préstamos de riesgo medio y el benéfico máximo 1,82 millones de euros.

     

     


  • Optimización 07

     

    Determina la solución del siguiente problema de programación lineal:

    Función objetivo:

    Maximizar: f(x, y) = 3x + 2y

    Conjunto de restricciones:

    OPTIMIZACION 07, 1

     

     

    Solución:

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    OPTIMIZACION 07, 2

    Trazamos la recta: x + y = 5 ⇒ y = 5 – x

    OPTIMIZACION 07, 3

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0, 0):

    OPTIMIZACION 07, 4

    El punto no satisface la inecuación luego la región buscada está por encima de la recta (donde no se encuentra el punto (0, 0))

    OPTIMIZACION 07, 5

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    OPTIMIZACION 07, 6

    Trazamos la recta: 2x + y = 3 ⇒ y = 3 – 2x

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 3

    y = 0 ⇒ x = 3/2

    OPTIMIZACION 07, 7

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0, 0):

    OPTIMIZACION 07, 8

    El punto satisface la inecuación luego la región buscada está por debajo de la recta (donde se encuentra el punto (0, 0))

    OPTIMIZACION 07, 9

    Región que verifica la inecuación:

    OPTIMIZACION 07, 10

    Trazamos la recta: x = 0

    OPTIMIZACION 07, 11

    En este caso la región factible es el semiplano que se encuentra a la derecha de la recta x = 0 (valores de x mayores que 0).

    OPTIMIZACION 07, 12

    Región que verifica la inecuación:

    OPTIMIZACION 07, 13

    Trazamos la recta: y = 0

    OPTIMIZACION 07, 14

    En este caso la región factible es el semiplano que se encuentra por encima de la recta y = 0 (valores de y mayores que 0).

    OPTIMIZACION 07, 15

    Recinto de validez:

    OPTIMIZACION 07, 16

    No existe región de validez, luego el problema carece de solución.

     

     

  • Optimización 06

     

    Calcula los puntos de la región definida por:

    OPTIMIZACION 06, 1

    donde la función z = 3x + 2y alcanza los valores máximo y mínimo. Calcula dichos valores.

     

     

    Solución:

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    OPTIMIZACION 06, 2

    Trazamos la recta: x + y = 6 ⇒ y = –x + 6

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 6

    y = 0 ⇒ x = 6

    OPTIMIZACION 06, 3

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0, 0):

    OPTIMIZACION 06, 4

    El punto no satisface la inecuación luego la región buscada está por encima de la recta (donde no se encuentra el punto (0, 0))

    OPTIMIZACION 06, 5

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    OPTIMIZACION 06, 6

    Trazamos la recta: 2x + y =15 ⇒ y = –2x + 15

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 15

    y = 0 ⇒ x = 15/2

    OPTIMIZACION 06, 7

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0, 0):

    OPTIMIZACION 06, 8

    El punto satisface la inecuación luego la región buscada está por debajo de la recta (donde se encuentra el punto (0, 0))

    OPTIMIZACION 06, 9

    Representación gráfica de:

    OPTIMIZACION 06, 10

    OPTIMIZACION 06, 11

    Región de validez:

    OPTIMIZACION 06, 12

    La región de validez es el espacio comprendido entre las cuatro rectas.

    Ahora representaremos la recta 3x + 2y + C (procedente de z = 3x + 2y ):

    Trazamos la recta: 3x + 2y = 0 (En este caso C = 0)

    Recta: y = (–3/2)x

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 0

    x = 2 ⇒ y = –3

    OPTIMIZACION 06, 13

    Las soluciones del máximo de la función objetivo f(x, y) = ax + by, si a·b > 0, son las coordenadas del vértice de la región factible (polígono ABCD) por donde pasa la paralela a la recta ax + by = 0 y deja por debajo a dicha región. Si a·b < 0 la región factible debe quedar por encima de la recta.

    Las soluciones del mínimo de la función objetivo (x, y) = ax + by, si a·b > 0, son las coordenadas del vértice de la región factible por donde pasa la paralela a la recta ax + by = 0  y deja por encima a dicha región. Si a·b < 0 la región factible debe quedar por debajo de la recta.

    OPTIMIZACION 06, 14

    Como 3·2 > 0, el mínimo se encuentra en el primer punto de contacto entre la recta paralela a 3x + 2y = 0 y el recinto de validez, o sea, (3, 3).

    Su valor es:

    z = 3·3 + 2·4 = 9 + 8 = 17

    OPTIMIZACION 06, 15

    Como 3·2 > 0, el máximo son las coordenadas del vértice por donde pasa la paralela a la recta 3x + 2y = 0 y deja por debajo al recinto de validez, o sea, (5, 5).

    Su valor es:

    z = 3·5 + 2·5 = 15 + 10 = 25

     

     


  • Optimización 05

     

    Determina la solución del siguiente problema de programación lineal:

    Función objetivo:

    Maximizar: f(x, y) = x + y

    Conjunto de restricciones:

    OPTIMIZACION 05, 1

     

     

    Solución:

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    OPTIMIZACION 05, 2

    Trazamos la recta: x – y = 3 ⇒ y = x – 3

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = –3

    y = 0 ⇒ x = 3

    OPTIMIZACION 05, 3

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0, 0):

    OPTIMIZACION 05, 4

    El punto no satisface la inecuación luego la región buscada está por debajo de la recta (donde no se encuentra el punto (0, 0))

    OPTIMIZACION 05, 5

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    OPTIMIZACION 05, 6

    Trazamos la recta: x – 2y = 2 ⇒ y = (1/2)x – 1

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = –1

    x = 2 ⇒ y = 0

    OPTIMIZACION 05, 7

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0, 0):

    OPTIMIZACION 05, 8

    El punto satisface la inecuación luego la región buscada está por encima de la recta (donde se encuentra el punto (0, 0))

    OPTIMIZACION 05, 9

    Región que verifica la inecuación:

    PROGRAMACION 03, 10

    Trazamos la recta: x = 0

    PROGRAMACION 03, 11

    En este caso la región factible es el semiplano que se encuentra a la derecha de la recta x = 0 (valores de x mayores que 0).

    PROGRAMACION 03, 12

    Región que verifica la inecuación:

    PROGRAMACION 03, 14

    Trazamos la recta: y = 0

    PROGRAMACION 03, 15 bis

    En este caso la región factible es el semiplano que se encuentra por encima de la recta y = 0 (valores de y mayores que 0).

    PROGRAMACION 03, 15

    Recinto de validez:

    OPTIMIZACION 05, 16

    En este caso no hay máximo pues el recinto de validez es infinito (no está acotado)

     

     

  • Optimización 04

     

    ¿Puede un problema de programación lineal tener infinitas soluciones? ¿Por qué?

     

     

    Solución:

    Sí puede tener infinitas soluciones, las cuales se encontrarán en un lado del recinto de validez.

    Porque la función objeto puede ser paralela a uno de los lados de la región de validez y tiene, por tanto, infinitos puntos de contacto, es decir, soluciones.