Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Problema del transporte 02

     

    Desde dos almacenes, A y B, se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad. El almacén A dispone de 10 toneladas de fruta diarias y el B, de 15 toneladas, que reparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan, diariamente, 8 toneladas de fruta, mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias. El coste del transporte desde cada almacén a cada mercado viene dado por los datos del cuadro. Planifica el transporte para que el coste sea mínimo.

     

     

    M1

    M2

    M3

     

     

    A

    10

    15

    20

     

     

    B

    15

    10

    10

     

     

     

    Solución:

    Sean x las toneladas de fruta que hay que enviar de A a M1 e y las toneladas de madera que hay que enviar de B a M2, por tanto:  

     

     

    M1(8t)

    M2(8t)

    M3(9t)

    A(10t)

    x

    y

    10 – (x + y)

    B(15t)

    8 – x

    8 – y

    9 – [10 – (x + y)] = x + y – 1

    Las restricciones del problema se obtienen al obligar a que todas las anteriores cantidades sean positivas.

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 02, 1

    La función de coste:

    f(x,y) = 10·x + 15·y + 20·[10 – (x + y)] + 15·(8 – x) + 10·(8 – y) + 10·(x + y – 1) =

    = 10x + 15y + 200 – 20x – 20y + 120 – 15x + 80 – 10y + 10x + 10y – 10

    f(x,y) = – 15x – 5y + 390 = 390 – (15x + 5y)

    f(x,y) = 390 – 5·(3x + y)

    El coste será mínimo cuando: 3x + y sea máximo.

    Ahora debemos buscar la región de validez.

    La  región de validez para x mayor o igual que cero e y mayor o igual que cero, es todo el primer cuadrante.

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 02, 2

    Trazamos la recta: x = 8.

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 02, 3

    En este caso la región de validez se encuentra a la izquierda de la recta trazada.

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 02, 4

    Trazamos la recta: y = 8.

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 02, 5

    En este caso la región de validez se encuentra por debajo de la recta trazada.

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 02, 6

    Trazamos la recta: x + y = 10 ⇒ y = 10 – x.

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 10

    x = 10 ⇒ y = 0

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 02, 7

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0,0):

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 02, 8

    El punto satisface la inecuación luego la región buscada está por debajo de la recta.

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 02, 9

    Trazamos la recta: x + y = 1 ⇒ y = 1 – x.

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 1

    x = 1 ⇒ y = 0

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 02, 10

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0,0):

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 02, 11

    El punto no satisface la inecuación luego la región buscada está por encima de la recta.

    Recinto de validez:

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 02, 12

    Trazamos la recta: 3x + y = 0 (Procedente de la función f(x,y) = 390 – 5·(3x +y))

    Recta: y = (–1/3)x

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 0

    x = 3 ⇒ y = –1

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 02, 13

    Las soluciones del máximo de la función objetivo f(x,y) = ax + by, si a·b > 0, son las coordenadas del vértice por donde pasa la paralela a la recta: ax + by = 0 y deja por debajo al recinto de validez. Si a·b < 0 el recinto de validez debe quedar por encima de la recta.

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 02, 14

    La recta paralela a: 3x + y = 0 (3x + y + C = 0) que toca al recinto de validez en un punto y lo deja por debajo de ella (ya que se trata de hallar de un máximo: 3·1 > 0) es la que pasa por el punto de corte de la recta: x = 8 y la recta: y = 10 – x, es decir, por el punto (8, 2). Las coordenadas de este punto son los valores pedidos. Por tanto:

     

     

     

    M1(8t)

    M2(8t)

    M3(9t)

    A(10t)

    8

    2

    0

    B(15t)

    0

    6

    9

    Para minimizar los costes del transporte, se han de enviar de A 8 toneladas a M1 y 2 toneladas a M2, y de B se han de enviar 2 toneladas a M2 y 9 toneladas a M3.

     

     


  • Problema del transporte 01

     

    Para abastecer de madera a tres aserraderos, A1, A2 y A3, hay dos bosques, B1 y B2, que producen 26 toneladas y 30 toneladas, respectivamente. Las necesidades de cada aserradero son: 20, 22 y 14 toneladas, respectivamente. Si los costes de transporte por tonelada de los bosques a los aserraderos son, en cientos de euros, los que se indican en la tabla adjunta, propón el transporte con el coste mínimo.

     

    A1

    A2

    A3

    B1

    1

    3

    1

    B2

    2

    1

    1

     

     

    Solución:

    Sean x las toneladas de madera que hay que enviar de B1 a A1 e y las toneladas de madera que hay que enviar de B1 a A2, por tanto:  

     

    A1(20t)

    A2(22t)

    A3(14t)

    B1(26t)

    x

    y

    26 – (x + y)

    B2(30t)

    20 – x

    22 – y

    14 – [26 – (x + y)] = x + y – 12

    Las restricciones del problema se obtienen al obligar a que todas las anteriores cantidades sean positivas.

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 01, 1

    La función de coste:

    f(x,y) = 1·x + 3·y + 1·[26 – (x + y)] + 2·(20 – x) + 1·(22 – y) + 1·( x + y – 12) =

    = x + 3y + 26 – x – y + 40 – 2x + 22 – y + x + y – 12 =

    f(x,y) = –x + 2y + 76 = 76 – (x – 2y) 

    El coste será mínimo cuando x – 2y sea máximo.

    Ahora debemos buscar la región de validez.

    La  región de validez para x mayor o igual que cero e y mayor o igual que cero, es todo el primer cuadrante.

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 01, 2

    Trazamos la recta: x = 20.

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 01, 3

    En este caso la región de validez se encuentra a la izquierda de la recta trazada.

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 01, 4

    Trazamos la recta: y = 22.

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 01, 5

    En este caso la región de validez se encuentra por debajo de la recta trazada.

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 01, 6

    Trazamos la recta: x + y = 26 ⇒ y = 26 – x.

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 26

    y = 0 ⇒ x = 26

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 01, 7

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0, 0):

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 01, 8

    El punto satisface la inecuación luego la región buscada está por debajo de la recta.

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 01, 9

    Trazamos la recta: x + y = 12 ⇒ y = 12 – x.

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 12

    y = 0 ⇒ x = 12

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 01, 10

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0, 0):

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 01, 11

    El punto no satisface la inecuación luego la región buscada está por encima de la recta.

    Recinto de validez:

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 01, 12

    Trazamos la recta: x – 2y = 0 (Procedente de la función f(x,y) = 76 – (x – 2y)).

    Recta: y = (1/2)x

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 0

    x = 24 ⇒ y = 12

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 01, 13

    Las soluciones del máximo de la función objetivo f(x,y) = ax + by, si a·b > 0, son las coordenadas del vértice por donde pasa la paralela a la recta: ax + by = 0 y deja por debajo al recinto de validez. Si a·b < 0 el recinto de validez debe quedar por encima de la recta.

    PROBLEMA DEL TRANSPORTE 01, 14

    La recta paralela a x – 2y = 0 (x – 2y + C = 0) que toca al recinto de validez en un punto y lo deja por encima de ella (ya que se trata de hallar de un máximo: 1·(–2) < 0) es la que pasa por el punto de corte de la recta x = 20 y el eje de abscisas, es decir, por el punto ( 20, 0). Las coordenadas de este punto son los valores pedidos. Por tanto:

     

    A1(20t)

    A2(22t)

    A3(14t)

    B1(26t)

    20

    0

    26 – 20 = 6

    B2(30t)

    0

    22

    20 – 12 = 8

     

     

    Para minimizar los costes del transporte, se han de enviar de B1 20 toneladas a A1 y 6 toneladas a A3, y de B2 se han de enviar 22 toneladas a A2 y 8 toneladas a A3.

     

     

     


  • Programación lineal. Aplicaciones 04

     

    Una empresa constructora dispone de dos tipos de camiones A y B y quiere transportar 100 tm de material al lugar de una obra. Sabiendo que dispone de 6 camiones del tipo A con una capacidad de 15 tm y con un costo de 40 € por viaje y de 10 camiones del tipo B con una capacidad de 5 tm y con un costo de 30 € por viaje, se pide:

    a)  El número posible de camiones de cada tipo que puede usar (solución gráfica)

    b)  El número de camiones de cada tipo que debe usar para que el coste sea mínimo y el valor de dicho coste.

     

     

    Solución:

    a)  Datos:

    Tipo de camión

    Capacidad en tm

    Camiones

    Costo

    Número de camiones

    A

    15

    6

    40

    x

    B

    5

    10

    30

    y

    Totales

    100

    Restricciones según el enunciado:

    Función objetivo:

    f(x, y) = 40x + 30y

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    Trazamos la recta: 3x + y = 20 → y = 20 – 3x.

    Tabla de valores:

    x = 0 → y = 20

    y = 0 → x = 20/3

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0, 0):

    0 + 0 ≥ 20

    El punto no satisface la inecuación luego la región buscada está por encima de la recta.

    Hallamos la región que verifica las inecuaciones:

           0 x ≤ 6          y          0 y ≤ 10                      

    Para ello trazaremos las rectas x = 6 e y = 10 junto con la que ya tenemos dibujada.

    De acuerdo con las inecuaciones anteriores, la región buscada se encuentra entre las rectas y = 10 y x = 6.

    El recinto de validez está limitado por las dos rectas anteriores y por la recta y = 20 – 3x.

    La solución de este apartado son los puntos del recinto de validez cuyas coordenadas son números naturales, los cuales se pueden hallar de la siguiente forma:

    De la ecuación 3x + y = 20 tenemos que x = (20 – y)/3

    Si y = 10 entonces x = 10/3 valor que no nos sirve pues no es un número natural, pero x si puede tomar los valores 4, 5 y 6 que sí son naturales.

    Por tanto:

    Si x = 4, y = 20 – 3·4 = 8 → (4, 8)

    Si x = 5, y = 20 – 3·5 = 5 → (5, 5)

    Si x = 6, y = 20 – 3·6 = 2 → (6, 2) y también (6, 10)

    Por consiguiente el número posible de camiones de cada tipo que puede usar son:

    4 del tipo A y 8 del tipo B, o 5 del tipo A y 5 del tipo B, o 6 del tipo A y 2 del tipo B, o 6 del tipo A y 10 del tipo B.

    b)  Para hallar el coste mínimo trazamos la recta: 4x +3y = 0 (Procedente de la función f(x, y) = 40x + 30y)

    La recta paralela a 4x +3y = 0 que toca al recinto de validez en un punto y lo deja encima de ella, ya que se trata de hallar de un mínimo y es la que pasa por el punto de corte de las rectas: 3x + y = 20 y x = 6. Las coordenadas de este punto (6, 2) son los valores pedidos.

    El coste mínimo se consigue cuando se usan 6 camiones del tipo A y 2 camiones del tipo B.

    Para hallar el importe del coste mínimo utilizaremos la función objetivo.

    f(6, 2) = 40·6 + 30·2 = 300 €

     

     

  • Programación lineal. Aplicaciones 03

     

    Un cliente de un Banco dispone de 18000 € para invertir. El Banco ofrece dos tipos de fondos A y B. El tipo A tiene una rentabilidad del 12% y unas limitaciones legales de 7200 € de inversión máxima. El tipo B tiene una rentabilidad del 8% sin limitación. Si el cliente invierte en B, como máximo  invierte el doble de lo invertido en A.

    a)  ¿Qué cantidad de dinero debe invertir en cada tipo para obtener el beneficio máximo?

    b)  ¿Cuál será el valor del beneficio?

     

     

    Solución:

    Con el fin de facilitar los cálculos y poder visualizar las gráficas con más comodidad trabajaremos en miles de euros.

    Capital invertido en fondos del tipo A = x

    Capital invertido en fondos del tipo B = y

    Restricciones según el enunciado:

    P L APLICACIONES, 1

    Función objetivo:

    f(x, y) = 0,12x + 0,08y, o también: f(x, y) = 3x + 2y

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    P L APLICACIONES, 2

    Trazamos la recta: x + y = 18 ⇒ y = 18 – x

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 18

    x = 18 ⇒ y = 0

    P L APLICACIONES, 3

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0, 0):

    P L APLICACIONES, 4

    El punto satisface la inecuación luego la región buscada está por debajo de la recta.

    P L APLICACIONES, 5

     

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

                P L APLICACIONES, 6      

    Para ello trazaremos la recta x = 7,2 junto con la que ya tenemos trazada.

    P L APLICACIONES, 7

    De acuerdo con las inecuaciones anteriores, la región buscada se encuentra entre las rectas x = 0 (el eje Y) y x = 7,5.

    P L APLICACIONES, 8

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    P L APLICACIONES, 9                  

    Para ello trazaremos las rectas y = 2x junto con las que ya tenemos trazadas.

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 0

    x = 9 ⇒ y = 18

    P L APLICACIONES, 16

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (5, 5):

    P L APLICACIONES, 10

    El punto satisface la inecuación luego la región buscada está por debajo de la recta.

    P L APLICACIONES, 11

    Recinto de validez:

    P L APLICACIONES, 12

    Por último representamos la recta: 3x + 2y = 0 (Procedente de la función objetivo f(x, y) = 3x + 2y).

    Recta: y = (–3/2)x

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 0

    x = 6 ⇒ y = –9

    P L APLICACIONES, 13

    Las soluciones del máximo de la función objetivo f(x, y) = ax + by, si a·b > 0, son las coordenadas del vértice del recinto de validez por donde pasa la paralela a la recta ax + by = 0 y deja por debajo a dicho recinto. Si a·b < 0 el recinto de validez debe quedar por encima de la recta.

    P L APLICACIONES, 14

    La recta paralela a 3x + 2y = 0 que pasa por el vértice A tiene en común con el polígono de soluciones factibles sólo el punto A (10·8 > 0 y el recinto de validez queda por debajo). Las coordenadas de este vértice son los valores pedidos.

    P L APLICACIONES, 15

    a)  Para obtener el beneficio máximo se debe invertir 7200 € en fondos del tipo A y 10800 € en fondos del tipo B.

    b)  El valor del benefició será:

    f(7200, 10800) = 0,12·7200 + 0,08·10800 = 1728 €

     

     


  • Programación lineal. Aplicaciones 02

     

    Un comerciante dispone de 500 jamones, 400 botellas de vino y 225 bolas de queso con las que confecciona dos tipos de lotes de regalo A y B. El lote A consta de un jamón y 2 botellas de vino, mientras que el B consta de 2 jamones, 1 botella de vino y 1 bola de queso. Por cada lote de tipo A obtiene un beneficio de 20 euros y 30 euros por cada uno de tipo B.

    a)  Cuántos debe confeccionar de cada tipo para maximizar sus beneficios.

    b)  ¿Cuál es el beneficio máximo obtenido?

     

     

    Solución:

    a)   

    Tipo de lote

    Número de lotes

    Jamón

    Vino

    Queso

    Beneficio (€)

    A

    x

    1

    2

    20

    B

    y

    2

    1

    1

    30

    Total

    x + y

    500

    400

    225

    20x + 30 y

    Restricciones según el enunciado:

    OPT APLIC 02, 1

    Función objetivo:

    f(x, y) = 20x + 30y

    Antes de responder a los dos apartados, hallaremos la región de validez.

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    OPT APLIC 02, 2

    Trazamos la recta: x + 2 y = 500 ⇒ x = 500 – 2y

    Tabla de valores:

    y = 0 ⇒ x = 500

    y = 250 ⇒ x = 0

    OPT APLIC 02, 3

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0, 0):

    OPT APLIC 02, 4

    El punto satisface la inecuación luego la región buscada está por debajo de la recta.

    OPT APLIC 02, 5

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    OPT APLIC 02, 6

    Trazamos la recta: 2x + y = 400 ⇒ y = 400 – 2x

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 400

    x = 200 ⇒ y = 0

    OPT APLIC 02, 7

    Para saber si la región de validez se encuentra por encima o por debajo de la recta probamos con un valor para saber si verifica la inecuación, por ejemplo el punto (0, 0):

    OPT APLIC 02, 8

    El punto satisface la inecuación luego la región buscada está por debajo de la recta.

    OPT APLIC 02, 9

    Hallamos la región que verifica la inecuación:

    OPT APLIC 02, 10

    Trazamos la recta: y = 225

    OPT APLIC 02, 11

    En este caso la región de validez se encuentra por debajo de la recta trazada ya que y ha de ser menor que 225.

    OPT APLIC 02, 12

    La  región de validez para

    OPT APLIC 02, 13

    es todo el primer cuadrante.

    Recinto de validez:

    OPT APLIC 02, 14

    Trazamos la recta: 20x + 30y = 0 (Procedente de la función f(x , y))

    Tabla de valores:

    x = 0 ⇒ y = 0

    x = 300 ⇒ y = –200

    OPT APLIC 02, 15

    Las soluciones del máximo de la función objetivo f(x, y) = ax + b, si a·b > 0, son las coordenadas del vértice por donde pasa la paralela a la recta ax + by = 0 y deja por debajo al recinto de validez. Si a·b < 0 el recinto de validez debe quedar por encima de la recta.

    OPT APLIC 02, 16

    La recta paralela a 20x + 30 y = 0 (20x + 30y + C = 0) que toca al recinto de validez en un punto y lo deja debajo de ella (ya que se trata de hallar de un máximo y 20·30 > 0) es la que pasa por el punto de corte de las rectas: x + 2y y 2x + y = 400. Las coordenadas de este punto son los valores pedidos.

    OPT APLIC 02, 17

    x = 500 – 400 = 100

    Para conseguir el máximo beneficio se han confeccionar 100 lotes A y 200 lotes B.

    b)  Beneficio máximo obtenido:

    f(100, 200) = 20·100 + 30·200 = 8000 €