Operaciones con números complejos en forma trigonométrica 03

Si:

es vértice de un hexágono centrado en el origen de coordenadas, halla el resto de los vértices.

Solución:

Sea:

Los seis vértices son las soluciones de la raíz sexta de z, siendo z₁ una solución.

Los vértices del hexágono se encuentran sobre una circunferencia de radio 2 y los respectivos argumentos aumentan o disminuyen 60º, es decir: 330º, 270º, 210º, 150º, 90º y 30º; luego las raíces son:

Operaciones con números complejos en forma trigonométrica 02

Calcula:

dando el resultado en forma binómica.

Solución:

a)  Primero pasaremos el número complejo z = –1 – i a forma polar, para lo cual hallaremos su módulo y su argumento, realizando, previamente su representación gráfica:

 Módulo de z:

Argumento de z:

Según la representación gráfica de z:

Forma polar de z:

Ahora lo pasaremos a forma trigonométrica:

Como: 1125º = 3·360º + 45º,entonces cos 1125º = cos 45º y sen 1125º = sen 45º, por tanto:

b)  Primero pasaremos el número complejo:

a forma polar, para lo cual, primero, haremos su representación gráfica.

Módulo de z:

Argumento de z:

Al ser positivo el numerador (seno) y negativo el denominador (coseno) el ángulo se encuentra en el segundo cuadrante, como se puede ver en la representación gráfica.

Forma polar de z:

Operaciones con números complejos en forma trigonométrica 01

El afijo de un número complejo viene dado por el punto P(–3, 3). Expresa dicho número complejo en las siguientes formas: cartesiana, binómica, gráfica, polar y trigonométrica. Comprobar que el resultado final es igual al expresado en forma binómica.

Solución:

Forma cartesiana:

z = (–3, 3)

Forma binómica:

z = –3 + 3i

Forma gráfica:

Forma polar:

Módulo:

Argumento:

Forma trigonométrica:

Comprobación:

Ecuaciones con números complejos 03

Resuelve la ecuación: x⁴ + 81 = 0

a)  En el conjunto de los números reales.

b)  En el conjunto de los números complejos, representando las soluciones. ¿Qué figura se obtiene di unos sus afijos?

Solución:

a) 

La ecuación dada no tiene solución en el conjunto de los números reales.

b)  Sea el número complejo z = –81 + 0i. Según el apartado anterior:

Ahora pasaremos z a forma polar.

Según la anterior figura, el módulo de z es r = 81 y el argumento α = 180º.

Forma polar de z:

z = 81_180º

Por tanto:

La figura que se obtiene es un cuadrado.

Ecuaciones con números complejos 02

La diferencia de dos números complejos es 1 + i, la parte imaginaria de uno de ellos es 2 y el producto es imaginario puro. ¿De qué complejos se trata?

Solución:

Sean los números complejos: z = x + 2i y z’ = y + ti

Según el enunciado del problema su diferencia ha de ser igual a 1 + i, por tanto:

z – z’ = 1 + i

x + 2i – y – ti = 1 + i → (x – y) + (2 – t) i = 1 + i

De la última expresión tenemos que:

x – y = 1

2 – t = 1 → t = 1 

Ahora debemos tener en cuenta que el producto es imaginario puro, es decir, que la parte real del número obtenido en la multiplicación de z y z’ ha de ser igual a cero (para que un número complejo sea un imaginario puro su parte real ha de ser igual a cero, por tanto:

z·z’ = (x + 2i)·(y + ti) = (x + 2i)·(y + i) = xy + xi + 2yi + 2i² =

= xy + xi + 2yi – 2 = (xy – 2) + (x + 2y) i

xy – 2 = 0

 Estamos ante un sistema de ecuaciones con dos incógnitas que debemos resolver:

Si y = 1 entonces x = 1 + 1 = 2

Si y = –2 entonces x = 1 – 2 = –1

Los números complejos buscados son:

z = 2 + 2i, z’ = 1 + i

 y también:

z = –1 + 2i, z’ = –2 + i