Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Operaciones con números complejos en forma trigonométrica 03

     

    Si:

     

    es vértice de un hexágono centrado en el origen de coordenadas, halla el resto de los vértices.

     

    Solución:

     

     

     

    Sea:

     

     

    Los seis vértices son las soluciones de la raíz sexta de z, siendo z1 una solución.

     

     

    Los vértices del hexágono se encuentran sobre una circunferencia de radio 2 y los respectivos argumentos aumentan o disminuyen 60º, es decir: 330º, 270º, 210º, 150º, 90º y 30º; luego las raíces son:

     

     

     

     

     

  • Operaciones con números complejos en forma trigonométrica 02

     

    Calcula:

     

    dando el resultado en forma binómica.

     

    Solución:

    a)  Primero pasaremos el número complejo z = –1 – i a forma polar, para lo cual hallaremos su módulo y su argumento, realizando, previamente su representación gráfica:

     

     Módulo de z:

     

     

    Argumento de z:

     

    Según la representación gráfica de z:

     

     

    Forma polar de z:

     

     

    Ahora lo pasaremos a forma trigonométrica:

     

    Como: 1125º = 3·360º + 45º,entonces cos 1125º = cos 45º y sen 1125º = sen 45º, por tanto:

     

    b)  Primero pasaremos el número complejo:

     

    a forma polar, para lo cual, primero, haremos su representación gráfica.

     

     

     

    Módulo de z:

     

     

     

    Argumento de z:

     

     

     

    Al ser positivo el numerador (seno) y negativo el denominador (coseno) el ángulo se encuentra en el segundo cuadrante, como se puede ver en la representación gráfica.

     

    Forma polar de z:

     

     

     

     

     

  • Operaciones con números complejos en forma trigonométrica 01

     

    El afijo de un número complejo viene dado por el punto P(–3, 3). Expresa dicho número complejo en las siguientes formas: cartesiana, binómica, gráfica, polar y trigonométrica. Comprobar que el resultado final es igual al expresado en forma binómica.

     

    Solución:

    Forma cartesiana:

     

    z = (–3, 3)

     

    Forma binómica:

     

    z = –3 + 3i

     

    Forma gráfica:

     

     

     

    Forma polar:

     

    Módulo:

     

     

     

    Argumento:

     

     

     

    Forma trigonométrica:

     

     

     

    Comprobación:

     

     

     

     

  • Ecuaciones con números complejos 03

     

    Resuelve la ecuación: x4 + 81 = 0

     

    a)  En el conjunto de los números reales.

     

    b)  En el conjunto de los números complejos, representando las soluciones. ¿Qué figura se obtiene di unos sus afijos?

     

    Solución:

     

    a) 

     

     

    La ecuación dada no tiene solución en el conjunto de los números reales.

     

    b)  Sea el número complejo z = –81 + 0i. Según el apartado anterior:

     

     

     

    Ahora pasaremos z a forma polar.

     

     

     

    Según la anterior figura, el módulo de z es r = 81 y el argumento α = 180º.

     

    Forma polar de z:

     

    z = 81180º

     

    Por tanto:

     

     

     

    La figura que se obtiene es un cuadrado.

     

     

  • Ecuaciones con números complejos 02

     

    La diferencia de dos números complejos es 1 + i, la parte imaginaria de uno de ellos es 2 y el producto es imaginario puro. ¿De qué complejos se trata?

     

    Solución:

    Sean los números complejos: z = x + 2i y z’ = y + ti

    Según el enunciado del problema su diferencia ha de ser igual a 1 + i, por tanto:

    z – z’ = 1 + i

    x + 2i – y – ti = 1 + i (x – y) + (2 – t) i = 1 + i

    De la última expresión tenemos que:

    x – y = 1

    2 – t = 1 t = 1 

    Ahora debemos tener en cuenta que el producto es imaginario puro, es decir, que la parte real del número obtenido en la multiplicación de z y z’ ha de ser igual a cero (para que un número complejo sea un imaginario puro su parte real ha de ser igual a cero, por tanto:

    z·z’ = (x + 2i)·(y + ti) = (x + 2i)·(y + i) = xy + xi + 2yi + 2i2 =

    = xy + xi + 2yi – 2 = (xy – 2) + (x + 2y) i

    xy – 2 = 0

     Estamos ante un sistema de ecuaciones con dos incógnitas que debemos resolver:

     

    Si y = 1 entonces x = 1 + 1 = 2

    Si y = –2 entonces x = 1 – 2 = –1

    Los números complejos buscados son:

    z = 2 + 2i, z’ = 1 + i

     y también:

    z = –1 + 2i, z’ = –2 + i