Función continua y derivable 15

Da un ejemplo, si es posible, de una función que en x = m sea:

a)  Derivable y no continua.

b)  Continua y no derivable.

c)  Continua y derivable.

Solución:

a)  No existe, pues toda función derivable es continua.

b)  Sea la función f(x) = |x – m|

Esta función no es derivable en x = m, se trata de un punto anguloso.

c)  Sea la función f(x) = x²

Esta función es continua y derivable en todo punto.

Función continua y derivable 14

Estudia la continuidad y derivabilidad de:

Solución:

Como el valor absoluto incluye +x y –x, estudiaremos los intervalos en donde sucede una cosa y la otra.

Igualamos a cero la expresión que se encuentra dentro del valor absoluto y resolvemos la ecuación resultante, en este caso, x = 0.

Vamos a dar dos valores arbitrarios, uno menor y el otro mayor que 0, a x. Por ejemplo: x = –1 que resultará que x < 0 y x = 1 que dará que x > 0, es decir:

Esto nos indica que la función f(x) = |x| es positiva a la derecha del cero y negativa a la izquierda del cero.

Ahora la función se puede expresar de la siguiente forma:

Continuidad:

Hay que estudiar la continuidad en x = –3, x = 0 y x = 3.

En x = –3:

La función tiene una discontinuidad de salto finito en x = –3.

En x = 0:

La función tiene una discontinuidad de salto finito en x = 0.

En x = 3:

La función es continua en x = 3.

Derivabilidad:

En x = –3 y en x = 0 la función no es derivable ya que no es continua.

Como f(3^–) ≠ f’(3⁺) la función no es derivable en x = 3, se trata de un punto anguloso.

Función continua y derivable 13

Se considera la función f(x) = g(x)·sen (x – 2). Sabiendo que g(x) es continua en 2, prueba que f(x) es derivable en 2 y calcula su deriva. (No se puede suponer que g(x) es derivable en 2; puede no serlo)

Solución:

Ahora tenemos que:

ya que sen (x – 2) ≈ (x – 2) por infinitésimos equivalentes, o también, si y = x – 2 entonces  si x tiende a 2, y tiende a 0, luego:

por infinitésimos equivalentes también.

Por tanto:

Luego: f’(2) = g(2)

Función continua y derivable 12

Probar que la función f(x) = (x – 1)·g(x) es derivable en x = 1, sabiendo que g(x) es continua en x = 1. (No se puede suponer que g(x) es derivable, puede no serlo). Calcula f’(1)

Solución:

Como la función g(x) es continua tenemos que:

luego f’(x) es derivable ya que f(1^–) = f’ (1⁺).

Función continua y derivable 11

Estudia la continuidad y derivabilidad de la función:

Solución:

Como el valor absoluto incluye +(x + 1) y –(x + 1), estudiaremos los intervalos en donde sucede una cosa y la otra.

x + 1 = 0 → x = –1

Vamos a dar dos valores arbitrarios, uno menor y el otro mayor que –1, a x. Por ejemplo: x = –2 que resultará que (x + 1) < 0 y x = 0 que dará que (x + 1) > 0, es decir:

La función se puede expresar:

Continuidad:

Dominio de la función:

D(f) = R – {0}

Por tanto hay que estudiar la continuidad en x = –1 y en x = 0.

La función es continua en x = –1.

En x = 0 existe una discontinuidad de salto infinito.

Derivabilidad:

Como f’(–1^–) ≠ f’(–1⁺) la función no es derivable en x = –1, se trata de un punto anguloso.

La función no es continua en x = 0, por tanto no es derivable en dicho punto.