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Función continua y derivable 15
Da un ejemplo, si es posible, de una función que en x = m sea:
a) Derivable y no continua.
b) Continua y no derivable.
c) Continua y derivable.
Solución:
a) No existe, pues toda función derivable es continua.
b) Sea la función f(x) = |x – m|
Esta función no es derivable en x = m, se trata de un punto anguloso.
c) Sea la función f(x) = x2
Esta función es continua y derivable en todo punto.
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Función continua y derivable 14
Estudia la continuidad y derivabilidad de:
Solución:
Como el valor absoluto incluye +x y –x, estudiaremos los intervalos en donde sucede una cosa y la otra.
Igualamos a cero la expresión que se encuentra dentro del valor absoluto y resolvemos la ecuación resultante, en este caso, x = 0.
Vamos a dar dos valores arbitrarios, uno menor y el otro mayor que 0, a x. Por ejemplo: x = –1 que resultará que x < 0 y x = 1 que dará que x > 0, es decir:
Esto nos indica que la función f(x) = |x| es positiva a la derecha del cero y negativa a la izquierda del cero.
Ahora la función se puede expresar de la siguiente forma:
Continuidad:
Hay que estudiar la continuidad en x = –3, x = 0 y x = 3.
En x = –3:
La función tiene una discontinuidad de salto finito en x = –3.
En x = 0:
La función tiene una discontinuidad de salto finito en x = 0.
En x = 3:
La función es continua en x = 3.
Derivabilidad:
En x = –3 y en x = 0 la función no es derivable ya que no es continua.
Como f(3–) ≠ f’(3+) la función no es derivable en x = 3, se trata de un punto anguloso.
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Función continua y derivable 13
Se considera la función f(x) = g(x)·sen (x – 2). Sabiendo que g(x) es continua en 2, prueba que f(x) es derivable en 2 y calcula su deriva. (No se puede suponer que g(x) es derivable en 2; puede no serlo)
Solución:
Ahora tenemos que:
ya que sen (x – 2) ≈ (x – 2) por infinitésimos equivalentes, o también, si y = x – 2 entonces si x tiende a 2, y tiende a 0, luego:
por infinitésimos equivalentes también.
Por tanto:
Luego: f’(2) = g(2)
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Función continua y derivable 12
Probar que la función f(x) = (x – 1)·g(x) es derivable en x = 1, sabiendo que g(x) es continua en x = 1. (No se puede suponer que g(x) es derivable, puede no serlo). Calcula f’(1)
Solución:
Como la función g(x) es continua tenemos que:
luego f’(x) es derivable ya que f(1–) = f’ (1+).
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Función continua y derivable 11
Estudia la continuidad y derivabilidad de la función:
Solución:
Como el valor absoluto incluye +(x + 1) y –(x + 1), estudiaremos los intervalos en donde sucede una cosa y la otra.
x + 1 = 0 → x = –1
Vamos a dar dos valores arbitrarios, uno menor y el otro mayor que –1, a x. Por ejemplo: x = –2 que resultará que (x + 1) < 0 y x = 0 que dará que (x + 1) > 0, es decir:
La función se puede expresar:
Continuidad:
Dominio de la función:
D(f) = R – {0}
Por tanto hay que estudiar la continuidad en x = –1 y en x = 0.
La función es continua en x = –1.
En x = 0 existe una discontinuidad de salto infinito.
Derivabilidad:
Como f’(–1–) ≠ f’(–1+) la función no es derivable en x = –1, se trata de un punto anguloso.
La función no es continua en x = 0, por tanto no es derivable en dicho punto.
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