Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Función continua y derivable 15

     

    Da un ejemplo, si es posible, de una función que en x = m sea:

    a)  Derivable y no continua.

    b)  Continua y no derivable.

    c)  Continua y derivable.

     

     

    Solución:

    a)  No existe, pues toda función derivable es continua.

    b)  Sea la función f(x) = |x – m|

    Esta función no es derivable en x = m, se trata de un punto anguloso.

    c)  Sea la función f(x) = x2

    Esta función es continua y derivable en todo punto.

     

     


  • Función continua y derivable 14

     

    Estudia la continuidad y derivabilidad de:

    FUNC CONT Y DERIV 14, 1

     

     

    Solución:

    Como el valor absoluto incluye +x y –x, estudiaremos los intervalos en donde sucede una cosa y la otra.

    Igualamos a cero la expresión que se encuentra dentro del valor absoluto y resolvemos la ecuación resultante, en este caso, x = 0.

    Vamos a dar dos valores arbitrarios, uno menor y el otro mayor que 0, a x. Por ejemplo: x = –1 que resultará que x < 0 y x = 1 que dará que x > 0, es decir:

    FUNC CONT Y DERIV 14, 2

    Esto nos indica que la función f(x) = |x| es positiva a la derecha del cero y negativa a la izquierda del cero.

    Ahora la función se puede expresar de la siguiente forma:

    FUNC CONT Y DERIV 14, 3

    Continuidad:

    Hay que estudiar la continuidad en x = –3, x = 0 y x = 3.

    En x = –3:

    FUNC CONT Y DERIV 14, 4

    La función tiene una discontinuidad de salto finito en x = –3.

    En x = 0:

    FUNC CONT Y DERIV 14, 5

    La función tiene una discontinuidad de salto finito en x = 0.

    En x = 3:

    FUNC CONT Y DERIV 14, 6

    La función es continua en x = 3.

    Derivabilidad:

    En x = –3 y en x = 0 la función no es derivable ya que no es continua.

    FUNC CONT Y DERIV 14, 7

    Como f(3) ≠ f’(3+) la función no es derivable en x = 3, se trata de un punto anguloso.

     

     


  • Función continua y derivable 13

     

    Se considera la función f(x) = g(x)·sen (x – 2). Sabiendo que g(x) es continua en 2, prueba que f(x) es derivable en 2 y calcula su deriva. (No se puede suponer que g(x) es derivable en 2; puede no serlo)

     

     

    Solución:

    FUNC CONT Y DERIV 13, 1

    Ahora tenemos que:

    FUNC CONT Y DERIV 13, 2

    ya que sen (x – 2) ≈ (x – 2) por infinitésimos equivalentes, o también, si y = x – 2 entonces  si x tiende a 2, y tiende a 0, luego:

    FUNC CONT Y DERIV 13, 3

    por infinitésimos equivalentes también.

    Por tanto:

    FUNC CONT Y DERIV 13, 4

     

    Luego: f’(2) = g(2)

     

     


  • Función continua y derivable 12

     

    Probar que la función f(x) = (x – 1)·g(x) es derivable en x = 1, sabiendo que g(x) es continua en x = 1. (No se puede suponer que g(x) es derivable, puede no serlo). Calcula f’(1)

     

     

    Solución:

    FUNC CONT Y DERIV 12, 1

    Como la función g(x) es continua tenemos que:

    FUNC CONT Y DERIV 12, 2

    luego f’(x) es derivable ya que f(1) = f’ (1+).

    FUNC CONT Y DERIV 12, 3

     

     

  • Función continua y derivable 11

     

    Estudia la continuidad y derivabilidad de la función:

    FUNC CONT Y DERIV 11, 1

     

     

    Solución:

    Como el valor absoluto incluye +(x + 1) y –(x + 1), estudiaremos los intervalos en donde sucede una cosa y la otra.

    x + 1 = 0 → x = –1

    Vamos a dar dos valores arbitrarios, uno menor y el otro mayor que –1, a x. Por ejemplo: x = –2 que resultará que (x + 1) < 0 y x = 0 que dará que (x + 1) > 0, es decir:

    FUNC CONT Y DERIV 11, 2

    La función se puede expresar:

    FUNC CONT Y DERIV 11, 3

    Continuidad:

    Dominio de la función:

    D(f) = R – {0}

    Por tanto hay que estudiar la continuidad en x = –1 y en x = 0.

    FUNC CONT Y DERIV 11, 4

    La función es continua en x = –1.

    FUNC CONT Y DERIV 11, 5

    En x = 0 existe una discontinuidad de salto infinito.

    Derivabilidad:

    FUNC CONT Y DERIV 11, 6

     

    Como f’(–1) ≠ f’(–1+) la función no es derivable en x = –1, se trata de un punto anguloso.

    La función no es continua en x = 0, por tanto no es derivable en dicho punto.