Ejercicios resueltos de Matemáticas
Bullet (black) RSS icon



  • Continuidad de una función en un punto 04

     

    Calcula el valor de k para que las siguientes funciones sean continuas:

     

    a)

    b)

    c)

    d)

     

     

    Solución:

    a)  Por estar defina por funciones continuas (funciones polinómicas), la función dada es continua para cualquier valor real de x, excepto en x = 2 donde la función cambia de expresión, por tanto hay que estudiar su comportamiento para dicho valor.

     

    Hallemos los límites laterales de la función en este punto.

     

     

    Para que la función sea continua en x = 2, los límites han de ser iguales, por tanto:

     

    12 – 2k = 3 → 2k = 9 →k = 9/2

     

    Si k = 9/2, la función es continua en x = 2 porque:

     

     

    b)  La función no puede ser continua ya que en x = 0 no tiene imagen por anularse el denominador de la fracción, aunque puede haber una discontinuidad evitable si existe el límite en ese punto.

     

    Para que exista el límite en x = 0, los límites laterales han de ser iguales, por tanto k = 4.

    En x = 0, la función tiene una discontinuidad evitable para k = 4.

     

    c)  En este caso podría existir un punto conflictivo en x = 2, pues este valor anula el denominador de la fracción y no tendría imagen, pero, para dicho valor de x, la función toma la siguiente expresión: y = k, luego no ocurre nada. Por tanto lo único que debemos comprobar es que exista el límite en x = 2 y que sea igual a f (2).

     

    Si k = 4, la función es continua.

    d)  Como en el apartado anterior podría existir un punto conflictivo en x = 0, pues anularía el denominador de la fracción, pero esto no puede suceder ya que, para ese valor, la función toma la siguiente expresión: y = k. Luego lo único que debemos comprobar es que exista el límite en x = 0 y que sea igual a f (0).

     

    Si k = 3 la función es continua.

     

  • Continuidad de una función en un punto 03

       

    Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

     a)

    b)

     

    Solución:

    a)  Primero estudiaremos el dominio de la función, por si hay algún punto conflictivo aparte de x = 2, que es donde la función cambia de expresión.

     

     

     

    Por tanto hay que estudiar la continuidad en x = –2 y x = 2.

    En x = –2 no existe imagen, por tanto puede haber una discontinuidad evitable si existe el límite, o una discontinuidad no evitable de salto infinito o asintótica si no existe el límite.

    En x = –2 existe una discontinuidad no evitable de salto infinito o asintótica (rama infinita).

    Estudio de la continuidad en x = 2:

    En x = 2 existe una discontinuidad no evitable de salto infinito o asintótica (rama infinita).

     

    b)  La función es continua para x ≠1 y para los valores de x que no anulen el denominador de la fracción:

     

    x – 1 = 0 → x =1

     

    Por tanto hay que estudiar la continuidad en x = 1, pues para todos los demás valores de x la función es continua.

     

    En este caso, no hace falta hallar los límites laterales, pues tanto por la derecha como por la izquierda de 1, la función tomaría la misma expresión.

     

     

    En x = 1 es continua.

     

    La función es continua en todo R. 

     

     

     

     

     

     

     

       

  • Continuidad de una función en un punto 02

     

    Estudia la continuidad de la siguiente función, indicando el tipo de discontinuidad que aparece en cada punto conflictivo:

     

    Solución:

     

    La función dada es continua en todo R – {0, 2}, por estar definida por funciones continuas (funciones polinómicas). Hay que estudiar su comportamiento en x = 0 y x = 2, en donde la función cambia de expresión y, además, no hay imagen para el primer valor de x, por lo que existirá una discontinuidad, aunque no sabemos de qué tipo.

     

    Para x = 0:

     

     

    En x = 0 existe una discontinuidad evitable, ya que en ese punto existe el límite (los límites laterales son iguales y finitos), pero, como ya se ha dicho, no existe su imagen.

     

    Para x = 2:

     

     

    En x = 2 existe una discontinuidad no evitable o de 1ª especie, de salto finito, ya que los límites laterales son diferentes pero finitos (no existe el límite).

     

     

     

  • Continuidad de una función en un punto 01

     

    Estudia la continuidad de la función:

     

     

    Solución:

     

    Para que una función sea continua en un punto x0, se han de cumplir las tres condiciones siguientes:

    Primero:

    Que exista la imagen de x0, es decir, que exista f(x0).

    Segundo:

    Que exista el límite de f(x) cuando x tiende a x0, o sea:

    Tercero:

    Que el límite y la imagen de la función en ese punto sean iguales, es decir:

     

    La función dada no tiene imagen para aquellos valores de x que anulan el denominador. Veamos para qué valores de x ocurre esto.

    x2 – 3 x + 2 = 0

     

    La función dada no es continua en x = 1 y en x = 2 por no estar definida en esos puntos; para el resto de los valores es continua. Estudiemos qué tipo de discontinuidad existe en esos puntos.

    En x = 1:

     

     En x = 1, existe una discontinuidad no evitable de salto infinito o asintótica.

    En x = 2:

     

    Estamos ante un caso de indeterminación.

    En x = 2, la función tiene una discontinuidad evitable porque, aunque no hay imagen, existe límite finito en ese punto.