Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Volúmenes de cuerpos de revolución 04

     

    Halla el volumen del cuerpo engendrado al girar en torno al eje X el segmento de parábola que dicho eje determina con la curva x2 = –2 y + 4.

     

     

    Solución:

    VOLUMEN CUERPO 01,1

    x2 = –2y + 4 → 2y = –x2 + 4

    y = –(1/2)x2 + 2

    Vértice de la parábola:

    Vx = –b/2a = 0 → Vy = 2

    V(0, 2)

    Puntos de corte con el eje X:

    –(1/2)x2 + 2 = 0 → x2 = 4

    Primera solución:

    x = –2 → P1(–2, 0)

    Segunda solución:

    x = 2 → P2(2, 0)

    Gráfica:

    VOLUMEN CUERPO 04,1

    Por la simetría del cuerpo:

    VOLUMEN CUERPO 04,2

     

     

     

  • Volúmenes de cuerpos de revolución 03

     

    Halla el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje X la superficie determinada por la parábola y = 2x – x2 y dicho eje.

     

     

    Solución:

    VOLUMEN CUERPO 01,1

    Vértice de la parábola:

    Vx = –b/2a = –2/2·(–1) = 1 → Vy = 2·1 – 12 = 1

    V(1, 1)

    Puntos de corte con el eje X:

    2x – x2 = 0 → (2 – x)·x = 0

    Primera solución:

    x = 0 → P1(0, 0)

    Segunda solución:

    2 – x = 0 → x = 2 → P2(2, 0)

    Gráfica:

    VOLUMEN CUERPO 03,1

    Por la simetría del cuerpo:

    VOLUMEN CUERPO 03,2

     

     

  • Volúmenes de cuerpos de revolución 02

     

    Halla el volumen generado al girar alrededor del eje Y, el recinto limitado por la curva:

    VOLUMEN CUERPO 02,1

    entre y = 0 e y = 3

     

     

    Solución:

    Cuando se quiere hallar del cuerpo de revolución generado por una función al girar en torno al eje Y se realiza de la misma forma que cuando girar alrededor del eje X, pero poniendo la función de la forma x = g(y). Luego:

    VOLUMEN CUERPO 02,2

    En este caso: x = y2

    Si x = 0 → y = 0

    Si x = 9 → y = 3

    VOLUMEN CUERPO 02,3

     

     

  • Volúmenes de cuerpos de revolución 01

     

    Halla el volumen del cono de revolución generado al girar la recta y = (n/m) x, entre x = 0 y x = m, alrededor del eje OX.

     

     

    Solución:

    Volumen del cuerpo de revolución que engendra y = f(x), xÎ[a, b] al girar alrededor del eje X:

    VOLUMEN CUERPO 01,1

    En este caso xÎ[0, m]

    Si x = 0 → y = 0

    Si x = m → y = n

    VOLUMEN CUERPO 01,2

    VOLUMEN CUERPO 01,3

     

     


  • Áreas de recintos planos 05

     

    Calcula el área limitada por las funciones: y = x2 – 2x e y = –x2 + 4x

     

     

    Solución:

    Puntos de corte de ambas gráficas:

    x2 – 2x = –x2 + 4x → 2x2 – 6x = 0 → x2 – 3x = 0 → x·(x – 3) = 0

    Primera solución:

    x = 0 → y = 0

    P1(0, 0)

    Segunda solución:

    x – 3 = 0 → x = 3 → y = 32 – 2·3 = 3

    P2(3, 3)

    Vértice de las parábolas:

    Vx = –b/2a

    Vx,1 = 2/2 = 1 → Vy,1 = 1 – 2 = –1

    V1(1, –1)

     Vx,2 = –4/(–2) = 2 → Vy,1 = –4 + 8 = 4

    V2(2, 4)

    Tabla de valores y representación gráfica:

    x

    x2 – 2x

    –x2 + 4x

    0

    0

    0

    1

    –1

    3

    2

    0

    4

    3

    3

    3

    Representación gráfica:

    AREA DE RECINTO PLANO 05,1

    AREA DE RECINTO PLANO 05,2