Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Distancia entre dos rectas 01

     

    Calcula la distancia ente las rectas r: 3x – 5y + 2 = 0; s: 3x – 5y +1 = 0.

     

     

    Solución:

     

     

    Como los coeficientes de x e y son iguales, ambas rectas son paralelas, luego la distancia que hay entre ellas, es la misma que la distancia que existe entre un punto de una de las rectas y la otra.

     

     

     

    Para hallar las coordenadas del punto A, daremos un valor cualquiera a una de las incógnitas de r y obtendremos las otra, por ejemplo: x = 1.

     

    3 · 1 – 5y + 2 = 0 → – 5y + 5 = 0 → y = 1   

     

    A(1, 1)

     

     Ahora se puede aplicar la fórmula de la distancia de un punto a una recta.

     

    También se puede resolver hallando la recta que pasa por A y es perpendicular a r. Después se halla el punto de corte con s, de la recta hallada y la distancia entre este punto y el punto A, es la distancia que existe entre las dos rectas.

     

     

    La ecuación de una recta perpendicular a otra, se puede obtener intercambiando los coeficientes de x e y de la recta conocida, cambiando de signo a uno de ellos.

     

    Ecuación de la recta perpendicular a r:

     

     t: 5x + 3y + C = 0

     

    Para hallar el valor de C, debemos tener en cuenta que la recta hallada debe pasar por A.

     

    5 · 1 + 3 · 1 + C = 0 → C = –8 → 5x + 3y – 8  = 0

     

    Punto de corte entre la recta hallada y s:

     

     

     

    Coordenadas del punto de corte de t y s:

     

    B(37/34, 29/34)

     

    La distancia del punto A a B es la distancia que hay entre las rectas r y s.

     

     

     

     

     

  • Distancia de un punto a una recta 02

     

    Un paralelogramo ABCD tiene tres vértices consecutivos en los puntos de coordenadas A(0, 1), B(1, –1) y C(4, 2). Calcula el punto D, el ángulo que forman las diagonales, y el área del paralelogramo ABCD.

     

     

    Solución:

    Sea D el punto de coordenadas D(x, y). Por tratarse de un paralelogramo:

     

     

    Ángulo que forman las diagonales:

     

     

    Hemos hallado el ángulo obtuso, el agudo es:

     

    Β = 180º – 125º 50’ 16” = 54º 9’ 44”

     

    Área o superficie del paralelogramo:

     

     

    La altura del paralelogramo es la distancia que hay del punto C a la recta r, siendo r la recta que pasa por los puntos A y B.

     

    Ecuación punto pendiente de r:

     

    y = 1 + m (x – 0) → y = 1 + m x

     

    Pendiente de r:

     

    m = (–1 – 1)/(1 – 0) = –2

     

    Ecuación general de r:

     

    y = 1 – 2x → 2x + y – 1 = 0 

     

     

     

  • Distancia de un punto a una recta 01

     Dado el punto P (1, –3), ¿cuánto dista de la recta determinada por los puntos: A (2, 1) y B (0, 1)?

     

    Solución:

     

    La recta r que pasa  por los puntos A y B tiene igual la ordenada, luego su ecuación es: y = 1. En forma general: y – 1 = 0.

     

     

     

     

     

    También se puede hacer de la siguiente forma:

     

     

    Sea t la recta perpendicular a r y que pasa por P:

     

     

    Ecuación de la recta t:

     

    Según la gráfica:

     

    x = 1 → x – 1 = 0

     

    O también:

     

    Ecuación punto pendiente de t:

     

    y = y0 + m (x – x0)

     

    Como ha de pasar por P:

     

    y = –3 + m (x – 1)

     

    Al ser perpendicular a r:

     

    m = –1/0 → y = –3 – (1/0) (x – 1) → y + 3 = – (1/0) (x – 1)

     

    0 = – x + 1 → t: x – 1 = 0

     

    Punto de corte de r y t:

     

    Según la gráfica:

     

    Q (1, 1)

     

    La distancia del punto P a la recta r, es la distancia que hay entre los puntos P y Q.