Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Rectas perpendiculares 01

     
    Halla la ecuación general de recta perpendicular a la recta r: 2x – 6y + 1 = 0 y que pasa por el punto A (5, –2)
     
     
    Solución:
     
    Sean las rectas s de pendiente ms y la recta t de pendiente mt. Si ambas rectas son perpendiculares se cumplirá que:
     
    ms = –1/mt
     
    es decir que la pendiente de una es la opuesta de la inversa de la otra.
     
    Por tanto, lo primero que debemos hallar es la pendiente de r, para lo cual la expresaremos en forma explícita.
     
    2x – 6y + 1 = 0 → 6y = 2x + 1 → y = (2/6) x + (1/6) → y = (1/3) x + (1/6)
     
    La pendiente de r es m = 1/3, luego la pendiente de la recta buscada será: m’ = –3, y como ha de pasar por el punto A (5, –2), su ecuación punto pendiente es:
     
    y = –2 – 3 (x – 5)
     
    Ahora hay que expresarla en forma general:
     
    y = –2 – 3x + 15 → y = –3x +13 → 3x +y – 13 = 0
     
    También se puede hacer teniendo en cuenta que como las rectas han de ser perpendiculares, el producto escalar de sus vectores directores ha de ser igual ha cero. 
     
    Un vector director de r tiene como primera componente el coeficiente de y, y como segunda componente el coeficiente de x, con el signo cambiado en uno de ellos, es decir:
     
     
    Para hallar el vector director de la recta buscada, debemos tener en cuenta que ha de pasar por el punto A (5, –2) y que un punto genérico de ella es (x, y), luego un vector director de la misma será: (x – 5, y + 2), por tanto:
     
    (6, 2) · (x – 5 , y +2) = 0 → 6x – 30 + 2y + 4 = 0 → 6x + 2y – 26 = 0
     
    Dividiendo todos los términos por dos, obtendremos la ecuación general de la recta buscada.
     
    3x + y – 13 = 0

     

  • Rectas paralelas 03

    a)      Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (–3, 1) y B (1, 5) en forma general.
     
    b)      ¿Cuál es la ordenada en el origen?
     
    c)      Halla la ecuación de una recta paralela a la anterior que pase por el punto (4, 3). ¿Cuáles son los puntos de corte de esta recta con los ejes coordenados?
     
    Solución:
     
    a)      Para hallar la ecuación de una recta, debemos utilizar una de las ecuaciones de la misma. En este caso usaremos la ecuación punto pendiente:
     
    y = y0 + m (x – x0
     
    Según la ecuación anterior, necesitamos las coordenadas de un punto y la pendiente de la recta.
     
    Para las coordenadas de un punto podemos utilizar cualquiera de los dos que nos han dado, por ejemplo: B (1, 5).
     
    Ahora nos falta saber lo que vale la pendiente. 
     
     
    Ecuación punto pendiente de la recta buscada:
     
    y = 5 + (x – 1)
     
    Ecuación general:
     
    y = 5 + x – 1 → y = x + 4 → x – y + 4 = 0  
     
    b)      Una de las posibles formas de hallar la ordenada en el origen, es hacer x = 0 y sustituir en la ecuación general, para halla el valor de y.
     
     – y + 4 = 0 → y = 4    
     
    También se puede hacer, pasando a explícita la ecuación de la recta hallada:
     
    y = m x + n
     
    siendo m la pendiente de la recta y n la ordenada en el origen.  
     
    y = x + 4 → n = 4
     
    c)      Para que la recta buscada sea paralela a la anterior, ha de tener la misma pendiente, es decir, m = 1, luego:
     
    Ecuación punto pendiente:
     
    y = 3 + (x – 4)
     
    Ecuación general:
     
    y = 3 + x – 4 → y = x – 1 → x – y – 1 = 0  
     
    Puntos de corte con los ejes:
     
     
    Si nos fijamos en la gráfica, cuando una recta corta al eje de abscisas (X), y = 0; y cuando corta al eje de ordenadas (Y), x = 0, por tanto:
     
    Punto de corte con el eje X:
     
    y = 0 → x – 1 = 0 → x = 1 → (1, 0)     
     
    Punto de corte con el eje Y:

    x = 0 → – y – 1 = 0 → y = –1 → (0, –1)
     
  • Rectas paralelas 02

    Halla la ecuación de la recta paralela a y = 3 x – 4, que pasa por el punto (–3, 5)
     
    Solución:
     
    Ecuación explícita de la recta buscada:
     
    y = m x + n
     
    Para que la anterior recta sea paralela a y = 3 x – 4, sus pendientes han de ser iguales, es decir, m = 3, por tanto la recta buscada es:
     
    y = 3 x + n
     
    Ahora nos falta conocer el valor de n, para lo cual debemos tener en cuenta que la recta que buscamos pasa por el punto (–3, 5), luego sustituyendo los valores de las coordenadas del punto en la ecuación de la recta que deseamos hallar, tenemos que:
     
    5 = 3 (–3) + n → 5 = –9 + n → n = 14
     
    Ecuación explicita de la recta buscada:
    y = 3 x + 14
     
     
  • Rectas paralelas 01

    Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (–5, 2) y es paralela a la recta 8 x + 5 y + 2 = 0
     
    Solución:
     
    Una recta es paralela a otra cuando los coeficientes de x e y son proporcionales o tienen la misma pendiente, por tanto la recta buscada tendrá como ecuación: 8 x + 5 y + C = 0.
     
    Para hallar el valor de C, debemos tener en cuenta que dicha recta pasa por el punto (–5, 2), por tanto sustituiremos los valores de x e y en la recta, con lo que se obtiene que:
     
    8 · (–5) + 5 · 2 + C = 0 → –40 + 10 + C = 0 → C = 30 
     
    Ecuación de la recta buscada:
     
    8 x + 5 y + 30 = 0