Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Ecuaciones de la recta 03

     
    Dada la recta r: 2 x + 5 y – 3 = 0, halla dos puntos de r, un vector director, la pendiente y escríbela en forma vectorial y continua.
     
     
    Solución:
     
    Despejando y, obtenemos:
     
     
    Puntos:
     
     
    Si queremos hallar otra solución entera, sumaremos o restaremos el denominador de la fracción, al valor anteriormente dado a x, por ejemplo:
     
     
    Vector director:
     
     
    Pendiente:
     
     
    Ecuación vectorial:
     
     
    Ecuación continua:
     
    Para expresar la recta en forma continua, primero la escribiremos en forma paramétrica y después, despejando t, a continua.
     
     
    Es interesante observar que en la ecuación paramétrica aparecen las coordenadas de un punto, (–1, 1), y las componentes del vector director, (5, –2), mientras que en la continua las coordenadas del punto se encuentran con el signo cambiado, (1, –1), siendo los denominadores de las fracciones las componentes del vector director.
     
     
     
     
  • Ecuaciones de la recta 02

    Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos P (1, 1) y Q (2, 3), en forma: vectorial, paramétrica, continua, punto pendiente, explicita y general, indicando: un vector director, su pendiente y puntos de corte con los ejes.
     
    Solución:
     
    Antes de realizar este problema debemos hacer notar que, por lo general, lo mínimo que necesitamos saber para hallar las diferentes ecuaciones de una recta, son: un vector director o la pendiente y un punto de la recta.
     
    En este caso ni se conoce el vector director ni la pendiente, pero se pueden hallar.
     
     
    Ecuación vectorial:
     
    (x, y) = (1, 1) + t (1, 2)
     
    Es conveniente señalar que también se podía haber tomado el punto Q. 
     
    Ecuación paramétrica:
     
    Operando la anterior ecuación, se obtiene la ecuación paramétrica de la recta.
     
     
    Ecuación continua:
     
     
    Ecuación punto pendiente:
     
    y – 1 = 2 (x – 1)
     
    La pendiente de la recta es m = 2, que también se podía haber hallado utilizando el vector director o a ambos puntos.
     
     
    Ecuación explícita:
     
    Despejando y de la ecuación punto pendiente y operando:
     
    y – 1 = 2 (x – 1) → y – 1 = 2 x – 2 → y = 2 x – 1
     
    Ecuación general:
     
    Pasando al primer miembro todos los términos de la anterior ecuación, se obtiene la ecuación general o implícita de la recta.
     
    – 2 x + y + 1 = 0 → 2 x – y – 1 = 0
     
    Puntos de corte con los ejes:
     
    La recta corta al eje Y cuando x = 0 (ordenada en el origen), por tanto de la ecuación explicita se tiene: (0, –1) 
     
    La recta corta al eje X cuando y = 0. Sustituyendo en la ecuación general se obtiene el valor de x.
     
    2 x – 0 – 1 = 0 → 2 x = 1 → x = ½
     
    Las coordenadas son: (1/2, 0).
     
     
  • Ecuaciones de la recta 01

     
    Expresa la ecuación de la recta que pasa por el punto P (x0, y0) y tiene por vector director:
     
     
    en forma: vectorial, paramétrica, continua, punto pendiente y general.
     
     
    Solución:
     
     
    Ecuación vectorial:
     
    De la suma de vectores, se tienen que:
     
     
    siendo Q (x, y), un punto genérico de la recta r.
     
    Como el vector director tiene la misma dirección, se puede multiplicar por un valor t (parámetro), de manera que se cumpla que:
     
     
    Por tanto:
     
     
    Coordenadas de los vectores que intervienen en la suma:
     
     
    Haciendo la correspondiente sustitución en la expresión inicial, se obtiene la ecuación vectorial de la recta.
     
    (x, y) = (x0, y0) + t (ux, uy)
     
    Ecuación paramétrica:
     
    Operando la anterior expresión, tenemos que:
     
    (x, y) = (x0, y0) + (tux, tuy) → (x, y) = (x0 + tux, y0 + tuy)
     
    De esta última ecuación se obtiene la ecuación paramétrica de la recta.
     
     
    Ecuación continua:
     
    Ahora despejaremos el parámetro t del anterior sistema.
     
    x – x0 = tux → t = (x – x0)/ux               y – y0 = tuy → t = (y – y0)/uy
     
    Como el primer miembro de las anteriores ecuaciones son iguales, también lo serán los segundos miembros, por tanto:
     
     
    Ecuación punto pendiente:
     
    De la anterior expresión, se obtiene:
     
    y – y0 = (uy/ux) (x – x0)
     
    Haciendo, m = uy/ux, tenemos la ecuación punto pendiente de la recta r.
     
    y – y0 = m (x – x0)
     
    Conviene señalar que la pendiente de la recta es el conciente entre la segunda coordenada y la primera del vector director.
     
    Ecuación general o implícita:
     
    De la ecuación continua, tenemos:
     
    uy (x – x0) = ux ( y – y0) → uy x – uy x0 = ux y – ux y0
     
     uy x – uy x0 – ux y + ux y0 = 0 → uy x – ux y – uy x0 + ux y0 = 0
     
    Haciendo, A = uy, B = –ux y C = ux – uy, se obtiene la ecuación general de la recta.
     
    A x + B y + C = 0