Ejercicios resueltos de Matemáticas
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  • Operaciones 03

     
    Calcula el simétrico del punto A = (1, 6), respecto del punto P = (0,6)
     
     
    Solución:

     

    Para que B sea el simétrico de A respecto de P, se debe cumplir que P sea el punto medio del segmento AB, luego:

    Si las coordenadas de B = (x, y), tenemos que:
     
    (0 – 1, 6 – 6) = (x – 0, y – 6) → (–1, 0) = (x – 0, y – 6) 
     
    (–1, 0) = (x, y – 6) 
     
    x = –1             y – 6 = 0 → y = 6
     
    Las coordenadas de B son (–1, 6)
     
     
     
     
     
  • Operaciones 02

     
    Sean los vectores libres:
     
     
    Haz la suma geométricamente y comprueba que el resultado coincide con la suma hecha algebraicamente.
     
     
    Solución:
     
    Para realizar geométricamente la suma de ambos vectores utilizaremos la regla del paralelogramo.
     
    Primero representaremos cada uno de los vectores. Después trazaremos por el extremo del primer vector una recta paralela al segundo vector y luego por el extremo del segundo vector trazaremos otra recta paralela al primero. Ambas recta se prolongarán hasta que se corten en un punto y formen con ambos vectores un paralelogramo, cuya diagonal es la suma de los dos vectores.

     

    Otra forma de hacer la suma de los vectores, es representar un vector a partir del extremo del otro y la suma será el vector que cierra el triángulo.

    Suma algebraica:
     
     
    Como se puede ver los tres resultados coinciden.
     
     
     
  • Operaciones 01

     
    Calcula x e y para que se cumpla la igualdad: 2 (x, y) + (3, –5) = 5 (–1, 4)
     
     
    Solución:
     
    2 (x, y) + (3, –5) = 5 (–1, 4) → (2 x, 2 y) + (3, –5) = (–5, 20) 
     
    (2 x + 3, 2 y – 5) = (–5, 20)
     
    Para que ambos vectores sean iguales, la primera componente de cada uno de ellos también han de serlo, luego:
     
    2 x + 3 = –5 → 2 x = –5 – 3 → 2 x = –8
     
    x = –8 / 2 → x = –4     
     
    Lo mismo ocurre con las segundas componentes, por tanto:
     
    2 y – 5 = 20 → 2 y = 20 + 5 → 2 y = 25
     
    y = 25 / 2
     
     
     
  • Producto escalar 03

     
    Comprueba si son perpendiculares u ortogonales los vectores:
     
     
    Dibújalos y observa si forman ángulo recto.
     
     
    Solución:
     
    Producto escalar de los vectores:
     
     
    Si los vectores son perpendiculares u ortogonales, α = 90º, por tanto:
     
     
    Es decir, dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es igual a cero.
     
     
    Los vectores dados son perpendiculares.

     

     

     

  • Producto escalar 02

     
    Sean los vectores libres:
     
    Calcula:
     
    a)      Sus módulos.
     
    b)      El ángulo que forma cada vector con el eje de abscisas.
     
    c)      El ángulo que forman esos vectores.
     
    d)      El producto escalar de esos dos vectores de las dos formas posibles y comprueba que coinciden.
     
     
    Solución:
     
    a)
     
    b)
     
     
    c)  Sea x el ángulo que forman ambos vectores.
     
     
    d)  Primera forma:
     
     
    Segunda forma:
     
     
    Se puede ver que ambas soluciones coinciden.